Как доказать что 2 единственное четное простое число

Волжский класс

Боковая колонка

Рубрики

Видео

Книжная полка

Малина для Админа

Боковая колонка

Опросы

Календарь

Декабрь 2021

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Ноя
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

7 класс. Алгебра. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 11

Действительные числа
Натуральные числа
Простые и составные числа

Ответы к стр. 11

38. Выпишите первые 25 простых чисел в порядке возрастания.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

39. Выпишите все составные числа, не превышающие 50, в порядке возрастания.

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49.

40. Доказываем. Докажите, что 2 − единственное чётное простое число.

2 − единственно чётное простое число, так как имеет только два делителя: число 1 и само число 2. Все остальные чётные числа делятся на 1, сами на себя и на число 2, то есть имеют более двух делителей и являются составными.

41. Запишите числа 48 и 96 в виде разности квадратов двух простых чисел.

Исследуем (42-43)

42. Можно ли простое число записать в виде суммы:
а) двух чётных чисел; б) двух нечётных чисел;
в) чётного и нечётного чисел?

а) нельзя, так как сумма двух чётных чисел является чётным числом и делится на 2;
б) можно, единственный случай: 1 + 1 = 2;
в) можно, например: 2 + 3 = 5, 2 + 5 = 7.

43. Леонард Эйлер предложил такую формулу простых чисел: p = n 2 – n + 41. Сколько простых чисел дает эта формула при подстановке в неё последовательных натуральных чисел, начиная с 1? Выполните вычисления до получения первого составного числа.

Чтобы сумма делилась на какое−то число, нужно чтобы каждое слагаемое делилось на это число. Так как число 41 простое, значит оно может делиться только на 41, значит n 2 и n тоже должны делиться на 41, а это достигается при n = 41, так как 412 ⋮ 41 и 41 ⋮ 41.
Таким образом, эта формула при подстановке в неё последовательных натуральных чисел, начиная с 1, даёт 40 простых чисел (при n = 41 получается составное число, которое делится на 41):
при n = 1 ⇒ p = 1 2 – 1 + 41 = 1 + 40 = 41 − простое число;
при n = 2 ⇒ p = 2 2 – 2 + 41 = 4 + 39 = 43 − простое число;
при n = 3 ⇒ p = 3 2 – 3 + 41 = 9 + 38 = 47 − простое число;
при n = 4 ⇒ p = 4 2 – 4 + 41 = 16 + 37 = 53 − простое число;
при n = 5 ⇒ p = 5 2 – 5 + 41 = 25 + 36 = 61 − простое число;
при n = 6 ⇒ p = 6 2 – 6 + 41 = 36 + 35 = 71 − простое число;
при n = 7 ⇒ p = 7 2 – 7 + 41 = 49 + 34 = 83 − простое число;
при n = 8 ⇒ p = 8 2 – 8 + 41 = 64 + 33 = 97 − простое число;
при n = 9 ⇒ p = 9 2 – 9 + 41 = 81 + 32 = 113 − простое число;
при n = 10 ⇒ p = 10 2 – 10 + 41 = 100 + 31 = 131 − простое число;
при n = 11 ⇒ p = 11 2 – 11 + 41 = 121 + 30 = 151 − простое число;
при n = 12 ⇒ p = 12 2 – 12 + 41 = 144 + 29 = 173 − простое число;
при n = 13 ⇒ p = 13 2 – 13 + 41 = 169 + 28 = 197 − простое число;
при n = 14 ⇒ p = 14 2 – 14 + 41 = 196 + 27 = 223 − простое число;
при n = 15 ⇒ p = 15 2 – 15 + 41 = 225 + 26 = 251 − простое число;
при n = 16 ⇒ p = 16 2 – 16 + 41 = 256 + 25 = 281 − простое число;
при n = 17 ⇒ p = 17 2 – 17 + 41 = 289 + 24 = 313 − простое число;
при n = 18 ⇒ p = 18 2 – 18 + 41 = 324 + 23 = 347 − простое число;
при n = 19 ⇒ p = 19 2 – 19 + 41 = 361 + 22 = 383 − простое число;
при n = 20 ⇒ p = 20 2 – 20 + 41 = 400 + 21 = 421 − простое число;
при n = 21 ⇒ p = 21 2 – 21 + 41 = 441 + 20 = 461 − простое число;
при n = 22 ⇒ p = 22 2 – 22 + 41 = 484 + 19 = 503 − простое число;
при n = 23 ⇒ p = 23 2 – 23 + 41 = 529 + 18 = 547 − простое число;
при n = 24 ⇒ p = 24 2 – 24 + 41 = 576 + 17 = 593 − простое число;
при n = 25 ⇒ p = 25 2 – 25 + 41 = 625 + 16 = 641 − простое число;
при n = 26 ⇒ p = 26 2 – 26 + 41 = 676 + 15 = 691 − простое число;
при n = 27 ⇒ p = 27 2 – 27 + 41 = 729 + 14 = 743 − простое число;
при n = 28 ⇒ p = 28 2 – 28 + 41 = 784 + 13 = 797 − простое число;
при n = 29 ⇒ p = 29 2 – 29 + 41 = 841 + 12 = 853 − простое число;
при n = 30 ⇒ p = 30 2 – 30 + 41 = 900 + 11 = 911 − простое число;
при n = 31 ⇒ p = 31 2 – 31 + 41 = 961 + 10 = 971 − простое число;
при n = 32 ⇒ p = 32 2 – 32 + 41 = 1024 + 9 = 1033 − простое число;
при n = 33 ⇒ p = 33 2 – 33 + 41 = 1089 + 8 = 1097 − простое число;
при n = 34 ⇒ p = 34 2 – 34 + 41 = 1156 + 7 = 1163 − простое число;
при n = 35 ⇒ p = 35 2 – 35 + 41 = 1225 + 6 = 1231 − простое число;
при n = 36 ⇒ p = 36 2 – 36 + 41 = 1296 + 5 = 1301 − простое число;
при n = 37 ⇒ p = 37 2 – 37 + 41 = 1369 + 4 = 1373 − простое число;
при n = 38 ⇒ p = 38 2 – 38 + 41 = 1444 + 3 = 1447 − простое число;
при n = 39 ⇒ p = 39 2 – 39 + 41 = 1521 + 2 = 1523 − простое число;
при n = 40 ⇒ p = 40 2 – 40 + 41 = 1600 + 1 = 1601 − простое число;
при n = 41 ⇒ p = 41 2 – 41 + 41 = 1681 + 0 = 1681 − составное число, делится на 41.

Доказываем (44-45)

44. Докажите, что найдется такое натуральное число n, для которого n 2 – n + 41 является составным числом.

n 2 – n + 41 = n 2 + (−n) + 41
Чтобы сумма делилась на какое−то число, нужно чтобы каждое слагаемое делилось на это число. Так как число 41 простое, значит оно может делиться только на 41, значит n 2 и (−n) − должны делиться на 41, а это достигается при n = 41, так как 41 2 = 412 ⋮ 41 и 41 ⋮ 41.
Значит, при n = 41 выражение n 2 − n + 41 (41 2 – 41 + 41 = 41 • 41 = 1681) делится на 1, 41, 1681, то есть имеет более двух натуральных делителей и является составным числом.

45. а) Докажите, что одно из трёх соседних нечётных чисел делится на 3.
б) Известно, что p, p + 2, p + 4 − простые числа. Найдите p. Докажите, что других p не существует.

а) Пусть х — одно из нечётных чисел, тогда следующие за ним нечётные числа х + 2 и х + 4. При делении числа на 3 в остатке может получится 0 или 1 или 2.

Если при делении числа х на 3 остаток получился 0, то это деление нацело.

Если при делении числа х на 3 остаток получился 1, то можно представить результат деления, как сумму целой части n (получившейся при делении) и единицы: n + 1, а число х представить в виде: 3n + 1 (поскольку целая часть n кратна делителю 3). Тогда можно заменить х в числах х + 2 и х + 4 на 3n + 1:
х + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3 • (n + 1) — это число делится на 3, так как один из его множителей делится на 3;
х + 4 = 3n + 1 + 4 = 3n + 5 — это число не делится на 3.

Получается, что из трёх последовательных нечётных чисел на 3 может делиться первое число, а если оно не делится (с остатком 1), то может делиться второе число или третье число (если первое число не делится на 3 с остатком 2).

б) Чётных простых чисел, кроме числа 2, не существует. Поскольку при сложении чётных чисел получается чётное число, то р — нечётное простое число, а представленная в условии задачи последовательность — последовательность трёх соседних нечётных чисел.
Из пункта а) известно, что из трёх последовательных нечётных чисел одно обязательно делится на 3, следовательно, р = 3 (р + 2 = 3 + 2 = 5, а р + 4 = 3 + 4 = 7, что соответствует условию задачи).
Пусть p > 3. Тогда числа p, p + 2 и p + 4 дают при делении на 3 различные остатки, среди которых есть 0. Следовательно, среди чисел p, p + 2 и p + 4 найдётся число, делящееся на 3 без остатка. И оно больше трёх, а значит, делится на 1, на 3 и на само себя — это составное число, что противоречит условию задачи.

Источник

Как доказать, что кроме числа 2 не существует других четных простых чисел?

Задание по математике

Для доказательства достаточно опереться на два определения: простого числа и четного числа.

Как видим, число 2 удовлетворят данным условиям.

Ну а согласно второму определению

Стало быть, любое четное число, большее двух, имеет как минимум три различных натур. делителя (единичку, двойку и само себя), а потому под определение простых чисел ну никак не попадает. Таким образом, единственным четным числом, принадлежащим множеству простых, является двойка, прочие же четные числа по определению являются составными.

Ну уж для полноты картины и расширения кругозора приведу и определение составн. числа.

Чтобы доказать это положение, давайте вспомним две ключевые характеристики простого четного числа:

Во-первых, оно должно делиться без остатка на два. И, во-вторых, должно иметь ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Принимая во внимание обе эти характеристики, можно утверждать, что других простых четных чисел нет, поскольку:

Любое следующее четное число делится на два:

т.е. любое четное число задается формулой 2k.

Математика о отличии от геометрии не нуждается в доказательствах и не может их иметь так как она не имеет аксиоматической базы (которая тоже в принципе бред )

А все парные числ (кроме 2) имеют третий делитель:2.

Существует определенный алгоритм действий по использованию этого метода. Приведу его здесь:

И конкретный пример расчета:

После этого все цифры, которые мы получили плюс все цифры даты рождения: 22081987 размещаем в девяти ячейках квадрата Пифагора (3Х3): все единицы в первом квадратике, двойки во втором и т.д. И анализируем их. Анализ каждой цифры будет зависеть от того, сколько одинаковых цифр в каждом квадрате. Анализ можно посмотреть тут.

Вычитанием называется двухместная операция, обратная сложению. Она не коммутативна и не ассоциативна, обладает антикоммутативностью. В случае, если на том же множестве определено ещё и умножение, то вычитание должно быть дистрибутивно по отношению к нему.

То есть, в арифметике у вычитания выделяют лишь 2 свойства:

Ассоциативность и привычная по сложению коммутативность отсутствуют:

Итак, к середине первого месяца Яков должен был банку (1+b/100)*60000 рублей. К концу месяца после первого гашения долга осталась сумма ((1+b/100)*60000-12900) рублей.

К середине следующего месяца долг составил (1+b/100)*((1+b/100)*60000- 12900) рублей, что в соответствии с условиями равно 52605 рублям.

Таким образом, получаем квадратное уравнение 6b^2+1071b-5505=0, единственным положительным корнем которого является b=5, то есть процентная ставка равна 5%.

У умножения есть переместительное, сочетательное и распределительное свойство (которые чаше называются законами). Записываются они так (в том же порядке):

Могу посоветовать сайт, которым пользуемся мы, когда ищем ответы по математике. Он называется слово, потом точка, потом домен ws (а не ru).

Там постранично отсканирован решебник, просто и понятно изложено. Вот выдержка именно из него:

Там есть и другие решебники, пригодятся ребенку позже.

Есть еще математикус.ру.

Есть сайт алленг.ру, там можно помимо готовых домашних заданий найти учебники (в том числе и для высшего и средне-профессионального образования), их количество постоянно пополняется.

Источник

Задачи с решениями. Простые числа

Задачи с решениями. Простые числа. Предлагается 15 задач с подробными решениями.

Просмотр содержимого документа
«Задачи с решениями. Простые числа»

Задачи с решениями. Простые числа

Решение:

Решение:

3.Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

Решение: Да, может, но при условии, что одно из этих чисел будет равно 2, иначе мы получим сумму двух нечётных чисел, которая в результате будет чётным числом, следовательно, делится на 2 и не является простым.

4.Может ли сумма двух последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Решение: 2+3=5, 3+4=7, 5+6=11, 6+7=13, 8+9=17; 5, 7, 11, 13, 17 – простые числа;

Попробуем показать это в общем виде:

Пусть n и n+1 два последовательных натуральных числа, значит одно из них чётное и делится на 2. Тогда их сумма будет равна n+n+1 = 2n+1.

Если n2 и n – чётное, то после сокращения n на 2 получится число, большее одного. Тогда данная сумма будет равна произведению двух чисел, больших 1 и меньших её самой (одно из них – это (n+1), другое то, что получилось после сокращения n на 2). Значит, эта сумма не может быть простым числом, так как имеет делители, отличные от 1 и самой себя.

Аналогично рассматривается случай, когда n2 и n – нечётное. (В этом случае, (n+1) – чётное и большее 2.)

Остались два возможных случая: n=1 и n=2. Если n=1, то сумма будет равна 2n+1 = 2?1+1 = 3 – простое число. Если n=2, то 2n+1= 2?2+1=5 – тоже простое число.

Ответ. На основании этого можно сказать, что сумма двух последовательных натуральных чисел может оказаться простым числом

5.Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Решение: Проведём рассуждения в общем виде:

Пусть n, n+1и n+2 – три последовательных натуральных числа, тогда их сумма равна n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1), т.е. всегда делится на 3, следовательно, составное число.

Ответ. Нет, не может, т.к. полученная сумма является составным числом.

6.Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Решение: Пусть n, n+1и n+2 и n+3 – четыре последовательных натуральных числа, тогда их сумма равна n+(n+1)+(n+2)+( n+3) = 4n+6 = 2(2n+3), т.е. всегда делится на 2, следовательно, составное число.

Ответ. Нет, не может, т.к. полученная сумма является составным числом.

7.Может ли любое натуральное число быть представлено в виде произведения простых чисел?

Решение: Разложим число n, где n – составное число и 16≤ n

Вывод: Из данного разложения замечаем, что любое указанное n может быть представлено в виде произведения, не более трёх простых множителей.

Возникает вопрос: любое ли натуральное число представимо в виде произведения простых множителей?

Ответ на поставленный вопрос даёт основная теорема арифметики:

Всякое натуральное число n1 либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом, в виде произведения простых множителей.

8.Может ли площадь квадрата, длина стороны которого выражена натуральным числом, быть простым числом?

Ответ. Нет, не может.

9.Клиент банка забыл четырёхзначный шифр своего сейфа и помнил лишь, что этот шифр – простое число, а произведение его цифр равно 243. За какое наименьшее число попыток он наверняка сможет открыть свой сейф.

Решение: Пусть abcd – искомое число. Разложим число 243 на простые множители: 243 = 3?3?3?3?3. Тогда возможны несколько случаев:

243 = 3?3?3?9, но тогда число, составленное из этих цифр будет делиться на 3 (по признаку делимости, сумма цифр равна 18, а 18 делится на 3), значит оно составное;

Из четырех цифр 1,3,9,9 можно составить следующие комбинации: 1399, 1993, 1939, 3991, 3199, 3919, 9139, 9193, 9319, 9391, 9913, 9931. По условию задачи числа должны оказаться простыми. Пользуясь таблице простых чисел, оставляем только простые числа: 1993, 1399, 3919, 9931, 9319, 9391. Остаётся 6 простых чисел, это и есть число попыток, за которое клиент банка сможет открыть сейф.

Ответ. За 6 попыток.

10..Вася умножил некоторое число на 10 и получил простое число. А Петя умножил то же самое число на 15, но всё равно получил простое число. Может ли быть так, что никто из них не ошибся?

Решение: 0,2· 10 = 2 и 0,2·15 = 3 – простые числа.

11.Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: «Это число 9». Роман: «Это простое число». Катя: «Это четное число». А Наташа сказала, что это число делится на 15. Один мальчик и одна девочка ответили верно, а двое остальных ошиблись. Какой ответ в задаче на самом деле?

Решение

Если Коля ответил верно, то обе девочки ошиблись, так как число 9 нечётное и не делится на 15. Значит, верный ответ дал Роман. Но простое число не делится на 15, а единственное чётное простое число – это 2.

12. Докажите, что для произвольного натурального числа n найдётся натуральное m такое, что nm + 1 – составное число.

Решение: Можно выбрать m = n + 2, тогда

nm + 1 = n(n + 2) + 1 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2

является составным числом.

13. Найдите все целые числа n, для которых модуль значения трёхчлена n 2 – 7n + 10 будет простым числом.

Решение: Так как |n 2 – 7n + 10| = |n –2| · |n – 5|,

то следует искать такие n при которых один из множителей последнего произведения равен 1, а второй является простым числом.

Этому требованию удовлетворяют n = 3 и n = 4.

14.Доказать, что каждое простое число вида 4k + 1 является длиной гипотенузы прямоугольного треугольника, стороны которого выражаются натуральными числами.

Замечание. Другие примеры подобных троек можно найти в таблице пифагоровых чисел с наибольшим числом не превосходящим 110 и в таблице примитивных пифагоровых чисел со средними числами, не превосходящими 256.

15.Сколькими способами можно раскрасить круг, разбитый на р равных секторов с помощью n красок, если р – простое число и каждый сектор раскрашиваем одной краской? Две раскраски, совпадающие при повороте круга, считаем одинаковыми.

Решение: Каждый сектор можно раскрасить в любой из n цветов, поэтому для круга с р секторами получим n p раскрасок, среди которых (n p – n) не одноцветных. Каждая из этих раскрасок поворотами переходит в (р – 1) одинаковую с ней, значит, существенно различных не одноцветных раскрасок будет (n p – n)/p, откуда общее число раскрасок равно n + (n p – n)/p.

Источник

Совершенные числа

Собственный делитель натурального числа — это любой делитель, кроме самого этого числа. Если число равно сумме своих собственных делителей, то оно называется совершенным. Так, 6 = 3 + 2 + 1 — это наименьшее из всех совершенных чисел (1 не в счет), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 — это еще одно такое число.

Совершенные числа были известны еще в древности и интересовали ученых во все времена. В «Началах» Евклида доказано, что если простое число имеет вид 2 n – 1 (такие числа называют простыми числами Мерсенна), то число 2 n–1 (2 n – 1) — совершенное. А в XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число имеет такой вид.

Задача

Попробуйте доказать эти факты и найти еще пару-тройку совершенных чисел.

Подсказка 1

а) Чтобы доказать утверждение из «Начал» (что если простое число имеет вид 2 n – 1, то число 2 n –1 (2 n – 1) — совершенное), удобно рассмотреть сигма-функцию, которая равна сумме всех положительных делителей натурального числа n. Например, σ(3) = 1 + 3 = 4, а σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7. Эта функция обладает полезным свойством: она мультипликативна, то есть σ(ab) = σ(a)σ(b); равенство выполняется для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b (взаимно простыми называются числа, у которых нет общих делителей). Это свойство можно попытаться доказать или принять на веру.

При помощи сигма-функции доказательство совершенности числа N = 2 n –1 (2 n – 1) сводится к проверке того, что σ(N) = 2N. Для этого пригодится мультипликативность этой функции.

б) Другой путь решения не использует никаких дополнительных конструкций вроде сигма-функции. Он опирается только на определение совершенного числа: нужно выписать все делители числа 2 n–1 (2 n – 1) и найти их сумму. Должно получиться это же число.

Подсказка 2

Получается, что 2·2 k ·m = (2 k +1 – 1)σ(m). Значит, 2 k +1 – 1 делит произведение 2 k +1 ·m, а поскольку 2 k +1 – 1 и 2 k +1 взаимно просты, то m должно делиться на 2 k +1 – 1. То есть m можно записать в виде m = (2 k +1 – 1)·M. Подставив это выражение в предыдущее равенство и сократив на 2 k +1 – 1, получим 2 k +1 ·M = σ(m). Теперь до окончания доказательства остается всего один, хотя и не самый очевидный, шаг.

Решение

В подсказках содержится значительная часть доказательств обоих фактов. Восполним здесь недостающие шаги.

а) Для начала нужно доказать, что сигма-функция действительно мультипликативна. На самом деле, поскольку каждое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители (это утверждение называют основной теоремой арифметики), достаточно доказать, что σ(pq) = σ(p)σ(q), где p и q — различные простые числа. Но довольно очевидно, что в этом случае σ(p) = 1 + p, σ(q) = 1 + q, а σ(pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p)(1 + q).

Скорее всего, Евклид не был знаком с сигма-функцией (да и вообще с понятием функции), поэтому его доказательство изложено несколько другим языком и ближе к решению из пункта б). Оно содержится в предложении 36 из IX книги «Начал» и доступно, например, здесь.

Прежде чем доказывать теорему Эйлера, отметим еще, что если 2 n – 1 — простое число Мерсенна, то n также должно быть простым числом. Дело в том, что если n = km — составное, то 2 km – 1 = (2 k ) m – 1 делится на 2 k – 1 (поскольку выражение x m – 1 делится на x – 1, это одна из формул сокращенного умножения). А это противоречит простоте числа 2 n – 1. Обратное утверждение — «если n — простое, то 2 n – 1 также простое» — не верно: 2 11 – 1 = 23·89.

Вернемся к теореме Эйлера. Наша цель — доказать, что любое четное совершенное число имеет вид, полученный еще Евклидом. В подсказке 2 были намечены первые этапы доказательства, и осталось сделать решающий шаг. Из равенства 2 k +1 ·M = σ(m) следует, что m делится на M. Но m делится также и на само себя. При этом M + m = M + (2 k +1 – 1)·M = 2 k +1 ·M = σ(m). Это означает, что у числа m нет других делителей, кроме M и m. Значит, M = 1, а m — простое число, которое имеет вид 2 k +1 – 1. Тогда N = 2 k ·m = 2 k (2 k +1 – 1), что и требовалось.

Итак, формулы доказаны. Применим их, чтобы найти какие-нибудь совершенные числа. При n = 2 формула дает 6, а при n = 3 получается 28; это первые два совершенных числа. По свойству простых чисел Мерсенна, нам нужно подобрать такое простое n, что 2 n – 1 будет также простым числом, а составные n можно вообще не рассматривать. При n = 5 получится 2 n – 1 = 32 – 1 = 31, это нам подходит. Вот и третье совершенное число — 16·31 = 496. На всякий случай проверим его совершенность явно. Выпишем все собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Их сумма равна 496, так что всё в порядке. Следующее совершенное число получается при n = 7, это 8128. Соответствующее простое число Мерсенна равно 2 7 – 1 = 127, и довольно легко проверить, что оно действительно простое. А вот пятое совершенное число получается при n = 13 и равно 33 550 336. Но проверять его вручную уже очень утомительно (однако это не помешало кому-то открыть его еще в XV веке!).

Послесловие

Первые два совершенных числа — 6 и 28 — были известны с незапамятных времен. Евклид (и мы вслед за ним), применив доказанную нами формулу из «Начал», нашел третье и четвертое совершенные числа — 496 и 8128. То есть сначала было известно всего два, а потом четыре числа с красивым свойством «быть равными сумме своих делителей». Больше таких чисел обнаружить не могли, да и эти, на первый взгляд, ничего не объединяло. В эпоху древности люди были склонны вкладывать мистический смысл в таинственные и непонятные явления, поэтому и совершенные числа получили особый статус. Пифагорейцы, оказавшие сильное влияние на развитие науки и культуры того времени, также поспособствовали этому. «Всё есть число», — говорили они; число 6 в их учении обладало особыми магическими свойствами. А ранние толкователи Библии объясняли, что мир был сотворен именно на шестой день, потому что число 6 — самое совершенное среди чисел, ибо оно первое среди них. Также многим казалось неслучайным, что Луна делает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Пятое совершенное число — 33 550 336 — было найдено только в XV веке. Еще почти через полтора века итальянец Катальди нашел шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Им соответствуют n = 17 и n = 19 в формуле Евклида. Обратите внимание, что счет идет уже на миллиарды, и страшно даже представить, что все вычисления были проделаны без калькуляторов и компьютеров!

Вернемся к четным совершенным числам. Девятое число было найдено в 1883 году сельским священником из Пермcкой губернии И. М. Первушиным. В этом числе 37 цифр. Таким образом, к началу XX века было найдено всего 9 совершенных чисел. В это время появились механические арифметические машины, а в середине века — и первые компьютеры. С их помощью дело пошло быстрее. Сейчас найдено 47 совершенных чисел. Причем только у первых сорока известны порядковые номера. Еще про семь чисел пока точно не установлено, какие они по счету. В основном поиском новых мерсенновских простых (а с ними — и новых совершенных чисел) занимаются участники проекта GIMPS (mersenne.org).

Источник