Как доказать что число делится нацело
Признаки делимости чисел
В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.
Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.
Примеры:
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.
Примеры:
Признак делимости на 4
Двузначное число
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.
Число разрядов больше 2
Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.
Примечание:
Число делится на 4 без остатка, если:
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.
Примеры:
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).
Примеры:
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.
Признак делимости на 8
Трехзначное число
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.
Число разрядов больше 3
Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.
Примеры:
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Примеры:
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.
Примеры:
Метод анализа делимости нацело
Метод анализа делимости нацело. Использование признаков делимости
Рассмотрим примеры, когда при решении задачи возникает необходимость проанализировать делимость нацело того или иного целочисленного выражения.
Пример №7.
Доказать, что при любом натуральном п выражение 
делится нацело на 6.
Решение:
Преобразуем выражение к виду 
и докажем, что произведение трёх последовательных целых чисел всегда делится нацело на 6. В самом деле, каждое второе целое число кратно двум, а каждое третье — трём. Поэтому можно утверждать, что среди подряд идущих чисел п — 1, п и п + 1 по крайней мере одно делится на 2, и (одновременно с этим) одно делится на 3. Следовательно, их произведение будет делиться на 6, что и требовалось доказать.
Замечание. Аналогичными рассуждениями можно доказать, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 24.
Пример №8.
Доказать, что число 
делится нацело на 9.
Решение:
Преобразуем число к виду
Каждое из двух слагаемых делится нацело на 9 по признаку делимости на 9. Следовательно, их разность также кратна 9, что и требовалось доказать.
Пример №9.
Найти все числа вида 
такие, чтобы они делились без остатка на 36.
Решение:
2) Если Y = 6, то число 
кратно 
кратно 9, т.е. X = 0 или X = 9. Таким образом, нашли ещё два числа: 34056 и 34956. Ответ: 34452, 34056 и 34956.
Пример №10.
Решить уравнение в целых числах 
Решение:
Заметим, что при целых X и Y в левой части уравнения стоит нечётное число, а в правой — чётное, что невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.
Пример №11.
Доказать, что уравнение 
не имеет целочисленных решении.
Доказательство. Достаточно заметить, что при целых X и Y выражение в левой части уравнения делится нацело на 5, а число 13 справа — нет. Полученное противоречие доказывает утверждение.
Пример №12.
Существуют ли целые числа т и п , удовлетворяющие уравнению
Решение:
Преобразуем уравнение к виду
Так как 
— всегда числа одинаковой чётности, то их произведение 
либо нечётно (что невозможно, так как 1998 — чётное число), либо кратно четырём. Но 1998 на 4 не делится.
Ответ: не существуют.
Пример №13.
Решить в целых числах систему уравнений 
Решение:
1-й способ. Из первого уравнения системы следует, что числа x и у имеют разную чётность (если одно четно, то другое — нечётно, и наоборот). Из второго уравнения аналогично следует, что у и z — разной чётности, а из третьего, что X и Z также имеют разную чётность, что невозможно.
2-й способ. Сложив все три уравнения системы, получим следствие
Левая часть последнего равенства чётна как сумма трёх чётных чисел (поскольку произведение любых двух последовательных целых чисел всегда чётно), а правая часть — нечётна, что невозможно. Ответ: нет решений в целых числах.
Пример №14.
Известно, что 4п = 5т . Найти все натуральные числа т и n , удовлетворяющие этому равенству.
Решение:
Пример №15.
При каких наименьших натуральных значениях n и m выполняется равенство 
Решение:
1) Заметим, что левая часть уравнения 
делится нацело на 3, следовательно, и правая часть уравнения 
должна делиться на 3, а значит, m должно быть кратно 3, т.е. 
Аналогично правая часть уравнения 
кратна 2, следовательно, и левая часть 
должна делиться на 2, а значит, n должно быть кратно 2, т.е. 
Подставим в уравнение:
2) Так как 
; аналогично рассуждая, получим, что, так как 
Подставим в последнее уравнение:
3) Так как 
Подставим в уравнение:
Ответ: 
Подбором одного из решений с последующим анализом делимости решаются в простейших случаях линейные диофантовы уравнения.
Пример №16.
На какую минимальную величину могут отличаться друг от друга натуральные числа т и п, если известно, что дробь 
является натуральным числом?
Решение:
Так как число 89 — простое (убедитесь в этом сами), то данная дробь является натуральным числом тогда и только тогда, когда выражение 
принимает значения 
С учётом натуральности т и п возможен только случай, когда
Это линейное диофантово уравнение. Решим его. Очевидно, пара чисел 
является одним из его решений. Для нахождения множества всех решений уравнения (1) вычтем из него почленно тождество 
, получив уравнение, равносильное уравнению (1):
Переписав последнее уравнение в виде
воспользуемся анализом делимости левой и правой частей. Так, поскольку левая часть уравнения (2) делится нацело на 3, то и правая часть, т.е. выражение 
должно быть кратным числу 3. Следовательно, 
Это означает, что найдётся такое целое 
, что 
, т.е. 
Подставляя в (2), находим 
. Итак, множество пар 
где 
образует множество всех целочисленных решений уравнения (1). Учитывая натуральность m и n, получаем: 
Пример №17.
Целое число кратно 7 и при делении на 4 даёт в остатке 3. Найти остаток от деления этого числа на 28.
Решение:
По условию 
Приравнивая, получаем линейное уравнение
которое необходимо решить в целых числах. Подберём любую пару целых чисел (k,m), удовлетворяющих уравнению, например (l,l). Вычитая из уравнения тождество 
, приходим к уравнению, равносильному решаемому:
В последнем уравнении выражение справа делится нацело на 4, следовательно, 
Тогда 
что означает, что число n делится на 28 с остатком 7.
В более сложных случаях, когда подобрать решение затруднительно, последовательное применение рассмотренного подхода, основанного на анализе делимости нацело, тем не менее, помогает справиться с проблемой.
Пример №18.
Найти хотя бы одну пару целых чисел а и b , удовлетворяющих соотношению
Решение:
1) Так как 
и в правой части 
, то отсюда следует, что для того чтобы удовлетворять данному уравнению, выражение 59b должно быть кратно 3, т.е. найдётся такое 
, что 
. Подставим в уравнение, и после сокращения на 3 получим новое уравнение (заметим, что коэффициент при а уменьшился):
2) Продолжаем анализировать делимость. Поскольку в последнем равенстве число 
чётно, то 
, должно быть нечётным, а значит, и число 
должно быть нечётным, т.е. 
Подставив в последнее уравнение и сократив на 2, получим
(коэффициент при а стал ещё меньше).
3) Так как 
, то, следовательно, 
, делится на 6, т.е. 
После подстановки и упрощения получим:
Осталось найти b :
Таким образом, множество всех целочисленных решений исходного уравнения имеет вид
(мы переобозначили для простоты 
на 
). Для получения одного из решений положим, например, 
; тогда 
Заметим в заключение, что изначально подобрать какое-либо одно решение в данной задаче было весьма затруднительно.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Как доказать что число делится нацело
Предмет изучения этой статьи – целые числа.
Такие арифметические операции, как сложение, вычитание и умножение целых чисел в результате дают так же целое число. Особое внимание следует обратить на деление двух целых чисел, т.к. результатом такого деления может быть и не целое число.
Определение: Натуральными называются целые неотрицательные числа такие, как 0,1,2…
Замечание: В пределах этой статьи под «числом» следует понимать «целое число».
Определение: Число a делится на число b (или, что то же самое, число b делит число a), если существует такое число c, что верно равенство 
.
Запись факта делимости числа a на число b : 
.
Этот знак, три точки, обозначает лишь то, что число делится на другое число, и совсем не проводит какое либо действие с этими числами, как например, знак +, который производит сложение двух чисел и выдает результат этого действия.
Всегда, когда при прочтении текста встречается запись , следует читать «число а делится на число b«.
Важное замечание: В формулировке некоторых теорем, утверждений и т.п. часто встречается фраза «…тогда и только тогда, когда…».
Например: «Свойство a выполняется тогда и только тогда, когда выполняется свойство b.»
Эту длинную разу можно разбить на две:
1) «Свойство a выполняется тогда, когда выполняется свойство b.»
2) «Свойство a выполняется только тогда, когда выполняется свойство b.»
Первое обозначает, что если есть b, то из него следует a, а второе обозначает обратное, что если есть a, то есть и b. При доказательстве теорем и утверждений для этих случаев используется терминология «туда» и «обратно». Фраза «необходимо и достаточно» имеет абсолютно аналогичное значение.
Встречается обозначение: 
, т.е. туда: 
и обратно: 
.
Замечание: При доказательстве теорем на делимость требуется посимвольное представление многозначного числа. Например, число 543. У него количество единиц – 3 шт., количество десятков – 4 шт., и 5 сотен, т.е. 5,4 и 3 – это цифры, то есть символы, и из них уже составляется число 543.
Теперь перейдем к переменным. Пусть 
. Как же записать число 543? Если записать 
, то возникает проблемка – в математике зачастую не пишется знак умножения, и в этом случае получится, что 
, а совсем не 543.
В случае, если требуется именно символьная запись, над числом ставят черту: 
. Она и говорит, что эти буквы надо воспринимать именно как символы.
Пример: Число 
можно представить несколькими способами:
1) Если 
, то 
.
2) Если 
, то 
.
3) Если 
, то 
.
Простейшие свойства делимости:
1) 
(рефлексивность делимости).
2) Если 
и 
, то 
(транзитивность).
3) Если и 
, то либо 
, либо 
(антисимметричность).
4) Если и 
, то 
.
5) Для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы 
.
6) Если 
, то 
.
Но, если не вдаваться в тонкости, то для доказательств признаков делимости будут использоваться две теоремы:
Теорема 1:
Пусть 
— натуральные числа. Если 
и 
, то 
.
(Если каждое из слагаемых делится на какое-либо число, то и все сумма делится на это число.)
Доказательство:
Если и , то, по определению делимости, существуют такие числа 
и 
, что верны равенства: 
.
Складываем равенства (левую часть первого равенства складываем с левой частью второго, а правую – с правой): 
.
Получили, что существует такое число 
, что верно равенство 
.
Это и означает по определению делимости, что (сумма делится на с ).
Теорема доказана.
Теорема 2:
Пусть — натуральные числа. Если , то и 
.
(Если в произведении хотя бы один сомножитель делится на какое-либо число, то и все произведение делится на это число.)
Доказательство:
Пусть дано произведение 
и , т.е. a можно представить как 
, где p — натуральное число.
Исходное произведение получается в виде: 
.
Это, по определению делимости, и обозначает делимость произведения . на c.