Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.

§ 71. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ХОРДАМИ И ДУГАМИ.

Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.

При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.

Теорема 1. Равные дуги стя гиваются равными хордами.

Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (черт. 314).

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.

Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.

Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (черт. 314).

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности— точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныАВ = Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныСК.

Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.

Пусть дуга АВ больше дуги СК (черт. 315).

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.

Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора (§ 58) катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.

Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.

Пусть хорда А В больше хорды СК.

Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (черт. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныАВ Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныСК.

Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.

Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныАВ > Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныСК.

Источник

Хорды и дуги

Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.

При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.

Теорема 1. Равные дуги стягиваются равными хордами.

Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (рис. 314).

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.

Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.

Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (рис. 314).

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: \(\breve <АВ>= \breve<СК>\).

Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.

Пусть дуга АВ больше дуги СК (рис. 315).

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.

Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.

Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.

Пусть хорда А В больше хорды СК.

Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (рис. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:

Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.

Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, \(\breve <АВ>> \breve<СК>\).

Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами

Теорема. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Пусть хорда AB параллельна хорде СD (рис. 316).

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Требуется доказать, что \(\breve = \breve\). Проведём диаметр MN ⊥ AB. Так как CD || AB, то MN ⊥ CD.
Перегнём чертёж по диаметру MN так, чтобы правая часть совпала с левой.

Тогда точка В совпадёт с точкой А, так как они симметричны относительно оси MN (AB ⊥ MN по построению и AK = KB).

Аналогично, точка D совпадёт с точкой С. Отсюда \(\breve = \breve\).

Свойство дуг, заключённых между касательной и параллельной ей хордой

Теорема. Дуги, заключённые между касательной и параллельной ей хордой, равны.

Пусть касательная АВ и хорда СD параллельны. Точка Е — точка касания прямой АВ с окружностью О (рис. 320).

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Требуется доказать, что \(\breve = \breve\).

Для доказательства соединим точку касания Е с центром круга.

OE ⊥ AB, а так как СD || АВ, то OE ⊥ CD, а перпендикуляр к хорде, проведённый из центра той же окружности, делит стягиваемую ею дугу пополам.

Следовательно, \(\breve = \breve\).

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Теорема 1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Пусть диаметр AB перпендикулярен к хорде CD (черт. 312). Требуется доказать, что
$$ CE = ED, \breve = \breve, \breve = \breve $$

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание CD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD и ∠1 = ∠2. Но ∠1 и ∠2 суть центральные углы. Отсюда равны и соответствующие им дуги, а именно
$$ \breve = \breve $$
Дуги CA и ВА также равны между собой, как дополняющие равные дуги до полуокружности.

Теорема 2 (обрaтная). Диаметр, проведённый через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен к ней и делит дуги, стягиваемые хордой, пополам.

Пусть диаметр AB делит хорду CD пополам. Требуется доказать, что AB ⊥ CD,

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Соединим точки С и В с центром круга. Получим равнобедренный треугольник СОD, в котором ОК является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, AB⊥CD, а отсюда (по теореме 1) следует, что
$$ \breve = \breve; \breve = \breve $$

Теорема 3 (обратная). Диаметр, проведённый через середину дуги, делит пополам хорду, стягивающую эту дугу, и перпендикулярен к этой хорде.

Пусть диаметр AB делит дугу СВD пополам (черт. 313). Требуется доказать, что

Соединим центр круга О с точками С и D. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ОК является биссектрисой угла СОD, так как по условию теоремы \(\breve\) = \(\breve\), поэтому ОК будет и медианой и высотой этого треугольника. Следовательно, диаметр AB проходит через середину хорды и перпендикулярен к ней.

Источник

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныДано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныСоединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныСоединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Источник

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныСвойства хорд и дуг окружности
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныТеорема о бабочке

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны
Круг
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равныДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Тогда справедливо равенство

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как доказать что дуги равны. Смотреть фото Как доказать что дуги равны. Смотреть картинку Как доказать что дуги равны. Картинка про Как доказать что дуги равны. Фото Как доказать что дуги равны