Как доказать что фигура дельтоид

Как доказать что фигура дельтоид

Цели и задачи проекта. Его актуальность.

Познакомить и показать подходы к изучению свойств и признаков дельтоида.

Ознакомление с понятием «Мозаика Пенроуза», её практическое и историческое значение.

Так же, я поставил несколько задач: дать понятие дельтоида; определение выпуклого дельтоида; обоснование признаков выпуклого дельтоида; привести доказательство свойств выпуклого дельтоида; вывод формул площади выпуклого дельтоида.

Придумать достаточное количество интересных и разноуровневых задач на дельтоид. Это оказались задачи на построение дельтоида, задачи исследовательского характера.

Актуальность темы. Расширение кругозора, использование работы в дальнейших исследованиях по математике, применении задач на контрольных. Целью данной исследовательской работы «Дельтоид» было показать широкие возможности творческой деятельности, которые открываются при изучении этой фигуры.

а) Мозаика Пенроуза.

б) Использование дельтоидов в жизни и военной технике.

а) Определение дельтоида;

б) Свойства дельтоида;

в) Признаки дельтоида;

г) Формулы для нахождения Р дельтоидов;

д) Задачи по теме «Дельтоид»

4. Список используемой литературы.

В настоящее время все больше возрастает актуальность исследований таких фигур, как дельтоид и дельтоидные многогранники.

Интересно, что очень часто такие фигуры используются для орнаментального мощения. Так называемая, мозаика Пенроуза. Что это такое? Это заполнение плоскости дельтоидами без зазоров и перекрываний. Принципы Пенроуза используются в архитектуре с древнейших времен.

Мечеть имама Дарб-и, находящаяся на территории современного Ирана в провинции Исфахан и построенная в 1453 году, украшена узором (гирихом), очень напоминающим по своей структуре мозаику Пенроуза.

Если раньше эти фигуры рассматривали только в архитектуре и дизайне декоративной мозаики, то сейчас они особенно важны при разработке современных летательных аппаратов и плавательных судов.

« Northrop B -2 Spirit », серия проектов дальнего тяжелого бомбардировщика, имели сниженную радиолокационную заметность благодаря аэродинамической схеме «летающее крыло». Конфигурация невыпуклых дельтоидов.

Беспилотник Х-47А (выпуклый дельтоид)

Корветы типа «Висбю» Швеция, Си Шэдоу – судно, опытный образец

Так что же такое дельтоид (определение).

Дельтоид бывает выпуклым и невыпуклым. (Рис.№ 1)

Углы, лежащие по разную сторону от главной диагонали, равны.

Диагонали взаимно перпендикулярны.

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность; кроме того, если дельтоид не является ромбом, то существует еще одна окружность, касающаяся продолжений всех четырех сторон. (Рис.№ 2)

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух больших сторон и продолжений двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон. (Рис.3)

Не главная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю делится пополам.

Главная диагональ является биссектрисой углов.

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника. Другая диагональ – делит дельтоид на два равнобедренных треугольника, если он выпуклый и достраивает его равнобедренным треугольником до равнобедренного треугольника, если он не выпуклый.

Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, Р которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.

Площадь всякого дельтоида определяют:

б) через 2 соседние разные стороны и угол между ними:

Первый признак дельтоида:

Дано: Четырехугольник ABCD (Рис.№ 4) Где AC – биссектриса

(∠ BAC = ∠ DAC, ∠ BCA = ∠ DCA), AC_┴ BD, ∠ В = ∠ D

Доказать: ABCD – дельтоид

1.Точка O – точка пересечения диагоналей АС и ВD, AС _┴ BD.

Рассмотрим ∆ АОB и ∆ АОD: ∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, ∠ OAB = ∠ OAD по условию, тогда ∆ АОD = ∆ АОВ по катету и прилежащему к нему острому углу, значит АB = АD.

2. Точка O – точка пересечения диагоналей, CO _┴ BD.

3. Так как AB = AD, BC = DC, то ABCD – дельтоид по определению.

Второй признак дельтоида:

Если в четырёхугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то такой четырёхугольник дельтоид.

Дано: Четырехугольник ABCD (Рис.№ 5), AC _┴ BD,

Точка O – точка пересечения диагоналей, BO = ОD

Доказать: ABDC – дельтоид

Рассмотрим ∆ АОB и ∆ АОD:∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ АОD = ∆ АОВ по двум катетам, значит АB = АD.

2. Рассмотрим ∆ COB и ∆ COD:∆ COB и ∆ COD – прямоугольные треугольники, так как

AC ┴ BD по условию, ОС – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ СОB = ∆ СОD по двум катетам, значит BС = DC.

3. Так как AB = AD, BC = DC, то ABCD – дельтоид по определению.

Так же иные частные случаи:

Около дельтоида можно описать окружность, если его стороны, имеющие разные длины, образуют углы по 90*, радиус которой вычисляется:

2. Когда пара противоположных сторон дельтоида имеют равную величину, значит, этот дельтоид называется ромбом.

3. Когда пара противоположных сторон и 2 диагонали дельтоида имеют равные величины, то дельтоид является квадратом.

Квадратом оказывается и вписанный дельтоид с равными диагоналями. (Рис.№ 6)

Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид.

Формулы для нахождения площади дельтоида.

Площадь дельтоида можно вычислить по следующим формулам:

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида) (Рис.№ 7)

Площади этих треугольников равны. Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле: S = 1 d 1 d 2 + 1 d 1 d 2 = d 1 d 2

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

α – угол между ними. Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида). (Рис. № 8)

Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле:

S = 1 ab sin α + 1 ab sin α = ab sin α

Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Тогда диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD.

Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности. (Рис. № 9)

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

= S1+ S2+ S3+S4 = 1 ar + 1 ar + 1 br + 1 br = (a+b) r

ABCD – дельтоид по условию. Так как AC┴BD по свойству дельтоида,

то ∆ DОА – прямоугольный треугольник, О F = FA по теореме о

пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, OF 2 = AF х FD, OF = 4 cм

АО = 2 CO= 10 x 2 = 20

Дано: ABCD – дельтоид (Рис. № 11), CE ┴ AB

∠ BAD = 100°, ∠ ECD = 80° Рис. № 11

BD – биссектриса ABCD по свойству дельтоида, ∠ DBC = ∠ ABD = = 35° по определению биссектрисы.

Найти стороны и диагонали дельтоида если его периметр равен 116 см. разность боковых сторон равна 3 см. и главная диагональ точкой пересечения диагоналей делится в отношении 2:1.

Дано: ABCD-дельтоид (Рис. № 12), AE:EC=2:1,

Р ABCD=116 см., АВ > CD на 3 см. Найти : AB, BC, CD, DA, AC, BD.

1)Пусть CD= Х см, тогда АВ=(Х+3)см. Получим:

BС = CD = 27,5, AD = АВ = 27.5+3=30,5

2) Пусть EC = k, AE = 2k, составим систему и решим её:

4k 2 + ED 2 = 930, 25

отсюдаАС = 3 √ 58, В D = 2ED = √ 698,25

Кроме того, треугольники DAE и BCF – равнобедренные, поэтому ∟ EDA = ∟ DEA и ∟ CBF = ∟ CFB .

∟ SEM = ∟SBM = ∟CBF = ∟CFB = φ

Тогда ∟SET = β + γ и ∟SFT = α + φ ,

Примечание. 1. Попутно доказано, что:

а) Четырехугольник SETF вписанный ( противолежащие углы Е и F – прямые);

б) Точки S и T – центры окружностей, описанных около треугольников BEF и DFT соответственно.

Целью данной исследовательской работы «Дельтоид», было показать широкие творческие возможности, которые открываются при изучении этой фигуры. Различные геометрические задачи на дельтоиды – это первоначальный этап практического применения знаний в различных областях деятельности.

Я поставил задачу дать определение фигуры, определить ее свойства и признаки; привести их доказательства и, наконец, придумать интересные и разнообразные задачи.

Дельтоид, как геометрическая фигура, не рассматривается в учебнике геометрии, а ведь эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире. В своей работе я постарался подробно рассказать и объяснить об этой интересной геометрической фигуре. Поэтому целью данной работы «Дельтоид» было показать широкие практические возможности применения этой фигуры в жизни.

Таким образом, геометрия дельтоида и дельтоидальных многогранников в первую очередь, необходима в военной и гражданской технике для изучения радиолокационного отражения, сопротивления материалов ( т.к. фигура подвергается различным силовым нагрузкам и напряжениям), аэродинамических и гидродинамических свойств, а также использования её в архитектуре и мозаике.

В последние годы в проектировании летательных аппаратов возрастает значение фигуры «дельтоид». Это связано с компьютерной стабилизацией летательных аппаратов воздушном пространстве и, как следствие, уменьшения роли хвоста самолетов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций.-М.:Просвещение, 2013 г.

Блинков А. и Блинкова Ю. Статья «Угол в квадрате», Квант, 2014, № 4, с. 34-37

Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева. М.:ФИЗМАТЛИТ,2013 г.

Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо,2008 г.

Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.:Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1981 г.

Математика для школы [Электронный ресурс] http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html

Мозаика Пенроуза — Википедия https://ru.wikipedia.org › wiki › Мозаика_Пенроуза

Мозаика Пенроуза – геометрия и искусство. http:// geometry-and-art.ru/penrouz.html

14.Научно-исследовательский проект. Пандиа.

Источник

Дельтоид

Исследовательская работа по математике может быть использована как на уроках подготовки ЕГЭ и ГИА, так и на уроках геометрии при изучении четырехугольников.

Цель исследовательской работы – разработка методических подходов к изучению свойств и признаков выпуклого дельтоида, выпуклого дельтоидного многогранника, вывод формул площадей выпуклого дельтоида, объема, площади боковой и полной поверхности дельтоидного многогранника.

Просмотр содержимого документа
«дельтоид»

Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио»

Конкурс «Учебный проект»

Тема: Выпуклый дельтоид на плоскости и в пространстве.

Автор работы: ученик

СОШ » Средняя общеобразовательная школа № 18″

ВЫПУКЛЫЙ ДЕЛЬТОИД 4

Свойства выпуклого дельтоида 4

Признаки выпуклого дельтоида 5

Площади выпуклого дельтоида 7

ВЫПУКЛЫЙ ДЕЛЬТОИДНЫЙ МНОГОГРАННИК 10

Построение дельтоидного многогранника, его виды и свойства 10

Площади боковой и полной поверхности, объем выпуклого дельтоидного многогранника 11

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 16

Актуальность. В настоящее время в школьном курсе геометрии, изучаются различные геометрические фигуры и тела, такие как круг, треугольник, четырехугольник, многоугольник, тетраэдр, параллелепипед, октаэдр и другие. Большая часть из них исследованы достаточно подробно, но существуют и такие, свойства и признаки которых до конца не изучены наукой – это, в частности, ромбоид, дельтоид, трапецоид, дельтоидный многогранник. В условиях увеличения интенсивности обучения геометрии, усложнения задач в итоговых аттестациях выпускных классов, наличия во второй части ЕГЭ задач, требующих углубленных знаний в области планиметрии и стереометрии, разработка научно обоснованного методического материала по таким фигурам позволит как существенно сократить время решения задач, так и будет способствовать более простым и изящным способам их решения. Кроме того, в прикладном плане научные знания о выпуклом дельтоиде и дельтоидном многограннике могут быть полезны при разработке и конструировании планеров летательных аппаратов, воздушных змеев, плавательных судов, а так же в области архитектуры и дизайна при создании рисунков декоративной мозаики. Поэтому, исследование свойств и признаков этих геометрических фигур на примере выпуклого дельтоида и выпуклого дельтоидного многогранника в настоящее время представляется весьма актуальной задачей.

Объектом исследования является выпуклый четырехугольник дельтоид, а также выпуклый дельтоидный многогранник.

Цель исследования – разработка методических подходов к изучению свойств и признаков выпуклого дельтоида, выпуклого дельтоидного многогранника, вывод формул площадей выпуклого дельтоида, объема, площади боковой и полной поверхности дельтоидного многогранника.

Реализация цели предполагала решение следующих задач:

систематизировать и обобщить понятия четырехугольников и дельтоида;

дать определение выпуклого дельтоида;

дать определение дельтоидного многогранника;

определить виды дельтоидных многогранников;

вывести и доказать новые свойства выпуклого дельтоида, дельтоидного мноогранника;

определить и обосновать признаки выпуклого дельтоида;

вывести формулы площади выпуклого дельтоида;

вывести формулы объема дельтоидного многогранника;

вывести площади боковой и полной поверхности дельтоидного многогранника.

Изучение выпуклого дельтоида, дельтоидного многогранника, их свойств и признаков ранее не было предметом самостоятельного научного анализа. Обоснование новых свойств, признаков выпуклого дельтоида и дельтоидного многогранника, а также вывод формул опирается на использование известных и доказанных теорем, используемых в геометрии, а также свойствами и признаками других геометрических фигур.

Проведено специальное исследование и обобщение понятий четырехугольника, многоугольника и дельтоида.

Выведены и доказаны четыре новых свойства выпуклого дельтоида, определены и обоснованы его признаки, выведены и доказаны четыре новых формулы нахождения площади выпуклого дельтоида.

Определены виды выпуклого дельтоидного многогранника и дано определение каждому из видов.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Из определения дельтоида следует, что и ромб, и квадрат также являются дельтоидами. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны

Квадрат – это ромб с прямыми углами. Значит, ромб и квадрат имеют две пары равных смежных сторон.

Свойства выпуклого дельтоида.

Выясним, какими свойствами обладает выпуклый дельтоид , у которого , .

1) Проведём диагональ и рассмотрим треугольники и .

– по условию;

– по условию;

– общая сторона.

= по трём сторонам.

Из равенства треугольников следует, что , , То есть в выпуклом дельтоиде углы между сторонами неравной длины равны и диагональ, соединяющая вершины неравных углов является биссектрисой ( и не могут быть равными, так как , , а, так как это не углы при основании равнобедренного треугольника, аналогично ).

2) Проведём диагональ . Рассмотрим треугольники и . Они равнобедренные по определению (треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны 0 ).

– так как это углы при основании равнобедренного треугольника.

– так как это углы при основании равнобедренного треугольника.

Так как (ранее доказанное, смотрите п.1), , следовательно – биссектриса (по определению). Точка – точка пересечения диагоналей. – отрезок биссектрисы (смотрите выше), проведённый к основанию равнобедренного треугольника , следовательно, – высота и медиана этого треугольника (значит, ). – отрезок биссектрисы (смотрите выше), проведённый к основанию равнобедренного треугольника , следовательно, – высота и медиана этого треугольника (значит, ). Таким образом, диагонали выпуклого дельтоида взаимно перпендикулярны и при пересечении диагоналей, диагональ, соединяющая вершины равных углов, делится пополам.

3) Выясним, можно ли вписать в любой выпуклый дельтоид окружность. Известно, что окружность можно вписать только в такой выпуклый четырёхугольник, у которого суммы противолежащих сторон равны. В выпуклом четырёхугольнике , в котором , , и – противолежащие стороны, и – противолежащие стороны.

Вывод: Следовательно, в любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Таким образом, в ходе исследования выведены следующие свойства:

В выпуклом дельтоиде углы между сторонами неравной длины равны.

Диагонали являются биссектрисами углов дельтоида.

Диагонали выпуклого дельтоида взаимно перпендикулярны и при пересечении диагоналей, диагональ, соединяющая вершины равных углов, делится пополам.

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Признаки выпуклого дельтоида.

Выясним, какими признаками обладают выпуклые дельтоиды.

1) Выясним, что можно сказать о выпуклом четырёхугольнике, у которого диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей при этом делится пополам

Исследуем этот четырёхугольник.

Рассмотрим .

Диагональ по условию. Согласно определения, перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Отсюда следует, что – высота.

– по условию. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Следовательно, – медиана. Если в треугольнике высота одновременно является и медианой, то данный треугольник равнобедренный, то . Аналогично можно доказать, что треугольник равнобедренный, а значит, .

Вывод: – дельтоид по определению.

Итак, определен и доказан первый признак дельтоида: если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей при этом делится пополам, то данный четырёхугольник – дельтоид.

2) Исследуем выпуклый четырёхугольник , у которого диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей является биссектрисой углов этого четырёхугольника. Напомним, что биссектриса угла – луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.

Исследуем данный четырехугольник.

Рассмотрим .

Так как по условию, то – высота.

Вывод: – дельтоид по определению.

Итак, определен и доказан второй признак дельтоида: если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей является биссектрисой углов этого четырёхугольника, то данный четырёхугольник – дельтоид.

3) Исследуем выпуклый четырёхугольник , у которого одна из диагоналей – биссектриса двух равных углов этого четырёхугольника.

– выпуклый четырёхугольник; , – биссектриса.

Исследуем данный четырехугольник.

Рассмотрим .

, так как это половинки равных углов и ( – биссектриса по условию). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный, значит – равнобедренный, поэтому . Аналогично доказывается, что – равнобедренный, отсюда следует, что .

Вывод: – дельтоид по определению.

Итак, определен и доказан третий признак дельтоида: если в выпуклом четырёхугольнике одна из диагоналей – биссектриса двух равных углов этого четырёхугольника, то данный четырёхугольник – дельтоид.

4) Исследуем выпуклый четырёхугольник , у которого диагонали пересекаются под прямым углом, а две смежных стороны равны.

Исследуем данный четырехугольник.

Рассмотрим .

Рассмотрим .

Вывод: – дельтоид по определению.

Итак, определен и доказан четвёртый признак дельтоида: если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, а две смежных стороны равны, то данный четырёхугольник – дельтоид.

Таким образом, в работе были определены и доказаны четыре признака дельтоида:

Если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей при этом делится пополам, то данный четырёхугольник – дельтоид.

Если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, и одна из диагоналей является биссектрисой углов этого четырёхугольника, то данный четырёхугольник – дельтоид.

Если в выпуклом четырёхугольнике одна из диагоналей – биссектриса двух равных углов этого четырёхугольника, то данный четырёхугольник – дельтоид.

Если в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, а две смежных стороны равны, то данный четырёхугольник – дельтоид.

Рассмотрим применение свойств и признаков дельтоида на практике (при решении задач).

– прямоугольник

, так как это угол прямоугольника

по условию; по условию

Вывод: – дельтоид по определению.

Площади выпуклого дельтоида.

Выведем другие формулы нахождения площади основания дельтоидного многогранника, то есть площади выпуклого дельтоида.

Найдем площадь выпуклого дельтоида используя формулу Герона.

Площади треугольников и также можно найти по формуле Герона:

Таким образом, в ходе исследования выведены и доказаны формулы нахождения площади выпуклого дельтоида:

Площадь дельтоида равна половине произведения его диагоналей.

, где и – длины неравных сторон, а α угол между ними.

, где – диагональ основания дельтоидного многогранника, соединяющая общие вершины неравных сторон основания, и – неравные стороны основания.

, где и – неравные стороны выпуклого дельтоида; α и β – углы дельтоида, лежащие между его равными сторонами.

Площади боковой и полной поверхности,

объем выпуклого дельтоидного многогранника.

Выясним, чему равен объём дельтоидного многогранника. Напомним, что объём — вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями.

Выведем формулу для нахождения объёма дельтоидного многогранника.

Основанием дельтоидного многогранника является дельтоид (смотрите выше). Площадь дельтоида равна половине произведения его диагоналей. Таким образом, объём дельтоидного многогранника равен половине произведения диагоналей его основания на высоту этого дельтоидного многогранника: , где и – диагонали основания дельтоидного многогранника, – его высота. Докажем это.

Так как, основанием дельтоидного многогранника является выпуклый дельтоид и его площадь равна (доказательство выше), то объём дельтоидного многогранника равен , где и – неравные стороны основания; α и β – основания, лежащие между его равными сторонами; – высота дельтоидного многогранника.

Для нахождения площади полной поверхности (объединения оснований и боковой поверхности) дельтоидного многогранника достаточно сложить значения площадей всех его граней. Рассмотрим грани дельтоидного многогранника.

Основания являются равными дельтоидами (смотрите выше).

Боковые грани, рёбра которых являются равными сторонами основания дельтоидного многогранника, равны. Докажем это на примере дельтоидного многогранника (рис.15).

и – параллелограммы, (смотрите выше);

, как противолежащие стороны параллелограмма (противоположные стороны параллелограмма равны);

, как противолежащие стороны параллелограмма.

Таким образом, для нахождения площади полной поверхности дельтоидного многогранника достаточно знать площади его боковых граней, рёбра которых являются неравными сторонами этого дельтоидного многогранника, и площадь основания. Сложив значения площадей каждой такой боковой грани и площади основания и умножив сумму этих площадей на два, мы получим значение площади полной поверхности дельтоидного многогранника. Для нахождения площади боковой поверхности дельтоидного многогранника нужно сложить значения площадей боковых граней, рёбра которых являются неравными сторонами основания, и умножить полученную сумму площадей на два.

, так как это соответственные диагонали оснований дельтоидного многогранника.

Вывод: по трём сторонам; по трём сторонам.

Итак мы доказали, что диагональ дельтоидного многогранника, проведённая из вершины основания, являющейся общей для его равных сторон, делит дельтоидный многогранник на два равных многогранника.

Рассмотрим прямой дельтоидный многогранник.

Известно, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. А так как дельтоидный многогранник – призма по определению (смотрите выше), то площадь боковой поверхности прямого дельтоидного многогранника равна произведению периметра его основания на высоту дельтоидного многогранника.

Таким образом, в ходе исследования выпуклого дельтоидного многогранника дано определение дельтоидного многогранника, установлены правила его построения, определены его виды, выведены следующие свойства:

Основаниями дельтоидного образования являются выпуклые дельтоиды.

Боковые грани являются параллелограммами.

, где и – неравные стороны выпуклого дельтоида; α и β – углы дельтоида, лежащие между его равными сторонами; – высота дельтоидного многогранника.

Для нахождения площади полной поверхности дельтоидного многогранника нужно сложить площади его боковых граней, рёбра которых являются неравными сторонами этого дельтоидного многогранника, с площадью основания, и умножить полученную сумму на два.

Для нахождения площади боковой поверхности дельтоидного многогранника нужно сложить значения площадей боковых граней, рёбра которых являются неравными сторонами основания, и умножить полученную сумму площадей на два.

Диагональ дельтоидного многогранника, проведённая из вершины основания, являющейся общей для его равных сторон, делит дельтоидный многогранник на два равных многогранника.

Объём прямого дельтоидного многогранника равен произведению площади его основания на боковую грань.

Площадь боковой поверхности прямого дельтоидного многогранника равна произведению периметра его основания на высоту.

Таким образом, цель исследовательской работы выполнена.

Таким образом, в процессе исследований были даны определения выпуклого дельтоида и выпуклого дельтоидного многогранника, изложены их свойства, доказаны признаки, выведены и доказаны формулы нахождения площади выпуклого дельтоида, объема выпуклого дельтоидного многогранника, площади полной и боковой поверхности.

В качестве направлений для дальнейших исследований предполагается рассмотреть свойства аналогичных фигур в планиметрии и стереометрии.

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев «Геометрия 10-11 класс»; издательство «Просвещение», 1996.

О.В.Георгиевский. Начертательная геометрия ( сборник задач с решением типовых примеров). АСТ; Астрель, 2002.

Я.И. Пелерман. Занимательная алгебра, геометрия. Изд-во: Книга, 2005.

Просмотр содержимого презентации
«дельтоид»

Учитель: Дамм Елена Петровна

Выполнил: ученик 9Б класса

Объектом исследования: является выпуклый дельтоид.

изучение свойств выпуклого дельтоида;

вывод формул площадей выпуклого дельтоида.

дать определение выпуклого дельтоида;

вывести и доказать свойства выпуклого дельтоида;

вывести формулы площади выпуклого дельтоида.

Дельтоид — четырехугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон.

1) Углы между сторонами неравной длины равны.

ΔABC=ΔADC ( BC=DC, AB=AD, CA-общая) по 3 признаку.

Из равенства треугольников следует, что B= D

2) диагональ, соединяющая неравные углы, является биссектрисами углов дельтоида

Т. К. АВС = ADC, значит 1 = 2, следовательно СА – биссектриса С. Аналогично 3= 4, значит АС – биссектриса А

3) Диагонали дельтоида пересекаются под прямым углом.

CO- общая, BC=DC как стороны дельтоида, значит ΔBCO=ΔDCO (по 1 признаку). Из равенства треугольников следует что 3= 4, эти углы смежные, их сумма равна 180°, значит каждый из них равен 90°.

4) При пересечении диагоналей, диагональ соединяющая вершины равных углов, делится пополам

Т.к. BCO = DCO, значит BO=DO.

5) В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность

окружность можно вписать только в такой выпуклый четырёхугольник, у которого суммы противолежащих сторон равны.

Это равенство выполняется, т.к. АВ=CB, AD=CD как стороны дельтоида.

Источник