Как доказать что фигура является параллелепипедом

При решении задач важно понятие высоты — перпендикуляра, опущенного из любой вершины на обратную сторону. Грань, на которую опускается высота, считается основанием. Свойства параллелепипеда:

Кирпич — отличный пример прямоугольного параллелепипеда (ПП). Также его форму имеют девятиэтажные панельные дома, шифоньеры, шкафы-купе, контейнеры для хранения продуктов и прочие предметы быта.

Диагонали поверхности пересекаются и этой центральной точкой делятся на несколько частей. Они равны d2=a2+b2+c2

Грани параллелепипеда спереди и сзади равнозначны, также как верхняя и нижняя стороны, но не равны, поскольку не противоположные, а смежные.

Формулы и анализ

Для ПП верно мнение, что его объем равен величине тройного произведения векторов трех сторон, исходящих из единой вершины. Формулы для ПП:

Расшифровка обозначений: V — объем фигуры, S — площадь поверхности, a — длина, b — ширина, c — высота.

Особым случаем параллелепипеда, в котором все стороны квадраты, является куб. Если любую из сторон обозначить буквой a, то для поверхности и объема используются формулы: S=6*a*2, V=3*а. В них V — объем фигуры, a — длина грани.

Последняя разновидность параллелепипеда — прямой тип. Его основанием будет параллелограмм, а основанием ПП — прямоугольник. Формулы, используемые в математике и геометрии: Sб=Ро*h, Sп=Sб+2Sо, V=Sо*h.

Для нахождения ответов недостаточно знать только свойства геометрической фигуры. Могут пригодиться формулы для вычисления S и V.

Диагональ ПП равна сложению квадратов его измерений: d2 = a2 + b2 + c2. Эта формула получается из теоремы Пифагора.

∆BAD — прямоугольный, поэтому BD2 = AB2 + AD2 = b2 + c2.

∆BDD1 является прямоугольным, значит, BD12 = BD2 + DD12. Нужно подставить значение: d2 = a2 + b2 + c2.

Стандартная формула: V= Sосн*h. Расшифровка обозначений: V — объем параллелепипеда, Sосн — площадь основания, h — высота.

S находится так же, как показатель параллелограмма или прямоугольника. При решении тестов и экзаменационных задач легче вычислять показатели призмы, в основе которой находится прямой угол. Также может пригодиться формула расчета стороны параллелепипеда Sбок = P*h, где:

Объем фигуры равен величине смешанного произведения нескольких векторов, выпущенных из единой точки.

Практическое применение

Для вычисления объема, высоты и прочих характеристик фигуры нужно знать теоретические основы и формулы. Решение задач входит в программу сдачи ЕГЭ и билеты при поступлении в вуз.

Доказательство теорем

Теоретически S боковой поверхности ПП равна S б. п. = 2 (a+b)c. S полной поверхности равна Sполн. поверхности ПП=2 (ab+ac+bc).

Объем ПП равен произведению трех его боковых частей, выходящих из единой вершины (три измерения ПП): abc.

Доказательство: так как у ПП боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами — h=AA1=c. Если в основании лежит прямоугольник, то Sосн=AB ⋅ AD=ab. Диагональ d ПП можно найти по формуле d2=a2+b2+c2, где a, b, c — измерения ПП.

Если в основании расположен прямоугольник, то △ ABD прямоугольный, значит, по теореме Пифагора BD2=AB2+AD2=a2+b2. Если все боковые грани перпендикулярны основной линии, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD.

Когда △ BB1D прямоугольный, то по теореме Пифагора B1D=BB12+BD2.

Решение задач

Задача 1: известны ПП: 3, 4, 12 см, необходимо найти длину главной диагонали фигуры.

Поиск ответа на вопрос начинается с выстраивания схематического изображения, на котором означаются величины. Используется формула B1D2 = AB2 + AD2 + AA12. После вычислений получается выражение b2=169, b=13.

Задача 2: ребра ПП, выходящие из общей точки, равны 3 и 4, общая S — 94. Нужно найти третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ребра обозначаются а1 и а2, а неизвестное — а3. Площадь поверхности выражается S = 2 (a1a2 + a1a3 + a2a3).

Далее получаем a3 (a1 + a2) = S/2 — a1a2. Неизвестное ребро: a3 = S/2 — a1a2/a1 + a2 = 47−12/7 = 5.

Задача 3: два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из общей точки, составляют 72 и 18, диагональ равна 78. Нужно определить объем фигуры.

Для решения требуется найти диагональ по формуле вычисления квадратного корня из суммы (a2 + b2 + c2), где a, b, c — ребра фигуры. 78 — корень из суммы 722 + 182 + c2. Решение:

Ответ: объем составляет 576.

Задача 4: ребро наклонного параллелепипеда составляет 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см является сечением фигуры, параллельным ребру. Нужно определить площадь боковой поверхности призмы.

KL и AD не являются равными, как пара ML и DC. Боковая S фигуры эквивалентна S сечения, умноженной на AA1, так как ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см².

Задача 5: ABCDA1B1C1D1 = 3, 4 см, боковое ребро — 12 см. Нужно определить диагональ ПП.

В основании лежит прямоугольник со сторонами АВ 3 см и AD 4 см. Боковое ребро составляет 3 см. BB1 является высотой ПП и равняется 12 см. Диагональ B1D2 = AB2 + BB1 2 += 9+16+144 = 169. B1D= 13 см.

Задача 6: основанием ПП служит квадрат, одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижней части. Нужно найти высоту фигуры, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро — 5 см.

Одна из вершин основания (F) равнозначно удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда. Вместе с диагональю нижней части (AC) она образует равнобедренный ∆AFC. AF = AC по условию. AF является ребром фигуры.

В равнобедренном ∆AFC стороны одинаковы: AF=FC=5 см, AC=8 см. Высота ∆AFC будет являться высотой параллелепипеда.

Высота треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора она равна:

Высота фигуры составляет 3 см.

Установленные теоремы, доказательства, а также выведенные формулы помогают вычислить различные значения для фигуры.

Источник

Параллелипипед

Урок 13. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Параллелипипед»

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, какая фигура называется тетраэдром, вспомним элементы тетраэдра и виды тетраэдра.

С параллелепипедом мы уже знакомы. Напомним, что в курсе геометрии базовой школы мы определяли параллелепипед как четырехугольную призму, основаниями которой являются параллелограммы.

Сегодня мы дадим немного другое определение параллелограмма.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, которые расположены в параллельных плоскостях так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ параллельны.

Получили четырехугольники ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁. Рассмотрим один из этих четырехугольников. Например, четырехугольник ABB₁A₁. Стороны AA₁ и BB₁ параллельны по условию. По свойству параллельных плоскостей стороны AB и A₁B₁ параллельны. То есть, четырехугольник ABB₁A₁ – параллелограмм, аналогично, параллелограммами будут каждый из четырехугольников BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁.

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA₁B₁C₁D₁

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями.

На рисунке изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Обратите внимание, все шесть граней параллелепипеда – параллелограммы.

Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра. Например, грани AA₁B₁B и DD₁C₁C – противолежащие.

Грани имеющие общее ребро называются смежными. Например, грани AA₁D₁D и DD₁C₁C – смежные, ребро DD₁ у них общее.

Две вершины, которые не принадлежат одной грани, называются противоположными.

Отрезок, который соединяет противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Соответственно у параллелепипеда есть четыре диагонали.

То есть, если в качестве оснований выбрать грани ABCDиA₁B₁C₁D₁, то боковыми гранями будут параллелограммы ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁, а боковыми рёбрами будут отрезки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.

Мы уже знаем, как изображается параллелепипед. Как и в прочих пространственных фигурах, невидимые рёбра и другие отрезки изображаются штриховыми линиями.

Со свойствами параллелепипеда мы уже знакомы. Повторим их еще раз и докажем с учетом нового определения параллелепипеда.

Первое свойство звучит так: противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Сразу отметим, что две грани параллелепипеда будут параллельны, если их плоскости параллельны.

Докажем, например, параллельность и равенство граней ABB₁A₁ и DCC1D₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Поскольку эти грани являются параллелограммами, то можно записать, что AB параллельно DC и AA₁ параллельно DD₁. То есть две пересекающиеся прямые AB и AA₁ одной грани соответственно параллельны двум пересекающимся прямым CD и DD₁ другой грани. Значит, по признаку параллельности плоскостей получим, что грани ABB₁A₁ и DCC₁D₁ параллельны.

Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то можно записать, что AB равно DC и AA₁равно DD₁. По этой же причине стороны углов A₁AB и D₁DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таком, образом мы доказали, что две смежные стороны и угол между ними параллелограмма ABB₁A₁ соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC₁D₁, поэтому параллелограммы ABB₁A₁ и DCC₁D₁ равны.

Перейдем ко второму свойству. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство этого утверждения основывается на следующем факте: если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Мы знаем, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Итак, на экране изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Поскольку грани ABCDи AA₁D₁D – параллелограммы, то BC параллельно AD, BC равно AD, A₁D₁ параллельно AD, A₁D₁ равно AD. Из этого следует, что A₁D₁ параллельно BC и A₁D₁ равно BC. Поэтому четырехугольник A₁D₁CB – параллелограмм. А значит, его диагонали A₁C и D₁B пересекаются в некоторой точке О и делятся этой точкой пополам. Заметим, что эти же диагонали A₁C и D₁B являются также диагоналями параллелепипеда.

Поскольку грани ABCDиDD₁C₁C– параллелограммы, то AB параллельно CD, AB равно CD, C₁D₁ параллельно CD, C₁D₁ равно CD. Из этого следует, что C₁D₁ параллельно AB и C₁D₁ равно AB. Поэтому четырехугольник C₁D₁AB – параллелограмм. И, следовательно, его диагонали C₁A и D₁B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D₁B является точка О. Таким образом, диагонали A₁C, D₁B и C₁A параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Поскольку грани ABCDи AA₁B₁B – параллелограммы, то CD параллельно AB, CD равно AB, A₁B₁ параллельно AB, A₁B₁ равно AB. Из этого следует, что A₁B₁ равно CD и A₁B₁ параллельно CD. Поэтому четырехугольник A₁B₁CD – параллелограмм. И, следовательно, его диагонали A₁C и B₁D пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали A₁C является точка О. Таким образом, все четыре диагонали A₁C, B₁D, C₁A и D₁B параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Что и требовалось доказать.

Слово параллелепипед происходит от древнегреческих слов паралелос – параллельный, и епипед – плоскость.

Если все боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани – прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым.

Если параллелепипед не является прямым, то есть если все его боковые ребра не перпендикулярны к плоскостям оснований, то он называется наклонным.

Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямоугольным.

Параллелепипед очень часто встречается в жизни, практически все здания имеют форму параллелепипеда. И многие предметы имеют форму параллелепипеда.

Решим несколько задач.

Задача. Дан параллелепипед . Доказать, что диагональ параллельна .

Что и требовалось доказать.

Задача. Сумма всех рёбер параллелепипеда равна cм. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если , а .

Из соотношений выразим длины ребер AB и BB1 через длину ребра BC.

Получим, что ABравно , BB₁ равно .

У параллелепипеда двенадцать ребер, из них четыре ребра равны ребру AB, четыре ребра равны ребру BB₁, четыре ребра равны ребру BC. Заменим ребра AB и BB₁ и их выражением через ребро BC, получим, что 12BC=120. Тогда получим, что длина ребра BC= 10. Подставим это значение в формулу для нахождения длин ребер AB и BB1, получим, что AB= 8, а BB₁= 12.

Кратко запишем решение задачи.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы познакомились с еще одним пространственнымтелом – параллелепипедом. Познакомились с элементами параллелепипеда, решили несколько задач по данной теме.

Источник