Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла
“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой” А.Н. Колмогоров
I. Организационный этап.
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.
II. Проверка домашнего задания.
Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.
III. Обобщение и систематизация знаний.
1. Устная фронтальная работа.
1) Сформируйте определение периода функции 2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x) 3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x) 4) Докажите с помощью круга верность соотношений:
a) sin( 740º ) = sin(2 0º ) b) cos( 54º ) = cos(-1026º) c) sin(-1000º) = sin( 80º )
2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)
3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)
a) tg 375º b) ctg 530º c) sin 1268º d) cos (-7363º)
5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?
Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.
Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.
6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.
7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?
Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.
IV. Коллективное решение задач.
(Решение задач на слайдах.)
Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.
Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+35>
Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.
Положим x=-0,25 получим
Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1. Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1.
Так как=при любом Т, то f(x+1)=3<(x+0.25)+1>+1=3+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.
Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.
Задача 3. Найдите основной период функции
Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение
sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5
cos=1
=2 π n, n € Z
T=, n € Z
Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число
Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)
Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х
Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т= π n, n € Z.
Предположим. Что при некотором n число π n является периодом
рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin| π n+x|=sin|x|
Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.
Задача 5. Проверить, является ли периодической функция
f(x)=
Пусть Т – период f, тогда
, отсюда sinT=0, Т= π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2 π n будет периодом
Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому
Значит, функция f не периодическая.
Задания для группы 1.
Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).
Задания для группы 2.
Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).
Задания для группы 3.
По окончании работы группы презентуют свои решения.
VI. Подведение итогов урока.
Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.
Мои умения исследовать функции на периодичность
Мой вклад в работу на уроке
VII. Домашнее задание
1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)
С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.
Дадим определение периодической функции:
Например, — периодические функции.
Для функций и период
Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:
1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения
График функции может выглядеть, например, вот так:
Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.
2. График четной периодической функции совпадает с графиком функциина отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).
Построим график функции при
Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.
Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.
3. Найдите наименьший положительный период функции
Наименьший положительный период функции равен
График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).
Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции
4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции
Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.
Периодическая функция — это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого числа T (отличного от нуля).
Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из области определения этой функции выполняются равенства:
Число T называют периодом функции y=f(x).
Из определения следует, что значения x-T и x+T также входят в область определения функции y=f(x).
Свойства периодических функций
1) По определению периодической функции для любого x из области определения y=f(x) если T — период функции, то f(x-T)= f(x)=f(x+T).
2) Для любого x из области определения y=f(x) если T1 — период функции, то
Так как T2 также является периодом функции y=f(x), то для аргумента x-T1
Следовательно, число T1+T2 является периодом функции y=f(x).
3) Это свойство непосредственно вытекает из свойства 2, если T взять в качестве слагаемого n раз.
4) Если T — период функции f(x), то для аргумента kx+b
Значит число T/k — период функции f(kx+b).
5) Эти свойства следуют непосредственно из определения.
Например, для суммы f(x) и g(x):
Из свойства 3 следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.
Если среди всех периодов функции y=f(x) существует наименьший положительный период, то его называютглавным (или основным) периодом функции.
Примеры периодических функций
1) Поскольку для любого x выполняются равенства
то функции y=sin x и y=cos x являются периодическими с периодом T=2π.
2) Так как для любого x из области определения функции y=tg x выполняется равенство
tg (x-π)=tg x =tg (x-π), то y=tg x — периодическая функция с периодом T=π.
Аналогично, y=ctg x — периодическая функция с периодом T=π.
3) Так как для любого действительного числа x и любого рационального числа k выполняется равенство D(x+k)=D(x), то функция Дирихле D(x) — периодическая с периодом T=k, где k∈Q, k≠0.
Поскольку k — любое рациональное число, невозможно его указать наименьшее положительное значение. Следовательно, функция Дирихле не имеет главного периода.
4) Рассмотрим частный случай линейной функции y=b, b — действительное число (b∈R). Эта функция определена на множестве действительных чисел и при любых значениях аргумента принимает единственное значение y=b, то есть для любого действительного числа m (m∈R), y(x)=y(x+m)=b.
Значит y=b — периодическая функция с периодом T=m, где m∈R, m≠0.
Так как m — любое действительное число, оно не имеет наименьшего положительного значения. Поэтому функция y=b не имеет главного периода.
5) Так как для любого действительного x и любого целого k выполняется равенство =, то функция дробной части числа y= — периодическая с периодом T=k, где k∈Ζ, k≠0.
Наименьшим положительным целым числом является единица. Следовательно, T=1 — главный период функции y=.
Главный период функций y=sin x и y=cos x T=2π.
Главный период функций y=tg x и y=ctg x T=π.
Если T — период функции y=sin x, то sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π) для любого x.
То есть любой период функции y=sin x имеет вид 2πn, n∈Z.
Наименьшее положительное значение это выражение принимает при n=1 и оно равно T=2π.
Таким образом, 2π — главный период функции y=sin x.
Аналогично доказываются утверждения о главном периоде функций y=cos x, y=tg x и y=ctg x.
Из 4-го свойства периодических функций непосредственно следует, что для функций y=sin (kx+b) и y=cos (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период
а для функций y=tg (kx+b) и y=ctg (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период
График периодической функции повторяется через промежутки длиной T (на оси Ox).
Дана часть графика
промежутке длиной T.
Чтобы построить график функции, выполняем параллельный перенос этой части графика вдоль оси Ox на ±T, ±2T,… :
Если F(x) — функция аргумента x, то она называется периодической, если есть такое число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.
Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.
Обычно математика интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.
Если F(x) — периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) — тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.
Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.
Если F1(x) и F2(x) — периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 — рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй — 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.
Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.
«Современная профориентация педагогов и родителей, перспективы рынка труда и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Периодичность тригонометрических функций 11 класс
Определение: Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т≠0,что для любого х из области определения этой функции значения х+Т и х-Т также принадлежат области определения и выполняются равенства f(x-Т)=f(x)=f(x+Т). Число Т называется периодом функции f(x)
Задача1 Доказать,что f(x)=sinx+1 является периодической с периодом 2π Решение: Функция f(x)=sinx+1 определена на R. f(x+2π)=sin(x+2π)+1=sinx+1=f(x)
Задача 3 Доказать,что f(x)= является периодической с периодом 2π Решение: x f (x+2π)=
Задача 6 Найти наименьший положительный период функции Решение: f(x+Т)=f(x) Наименьший положительный период при n=1
Задача 7 Найти наименьший положительный период функции Решение:
Наименьший положительный период функции при n=1 Т=2π
Задача 8 Найти наименьший положительный период функции Решение: Функция y=cosx имеет период 2π. Функция имеет период
Задача 9 Найти наименьший положительный период функции Решение: Так как функция sin2x имеет период а функция cos3x имеет период то период Т функции будет такое наименьшее положительное число, которое кратно одновременно,т.е.наименьшее общее кратное.Т=2π
Задача 10 Найти наименьший положительный период функции Решение: Так как функция имеет период а функция имеет период то период Т функции будет такое наименьшее положительное число, которое кратно одновременно,т.е наименьшее общее кратное. Т=6π
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-233469
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Россияне чаще американцев читают детям страшные и печальные книжки
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
В МГПУ сформулировали новые принципы повышения квалификации
Время чтения: 4 минуты
Утверждены сроки заключительного этапа ВОШ
Время чтения: 1 минута
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
=1
, n € Z
, отсюда sinT=0, Т= π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2 π n будет периодом
