Как доказать что множества равномощны
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
Счетность и несчетность множеств. Равномощность множеств.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Примеры.
Доказать, что следующие множества счетны:
Решение.
Что и требовалось доказать.
Решение.
Что и требовалось доказать.
Решение.
Что и требовалось доказать.
Решение.
Что и требовалось доказать.
Примеры:
Доказательство.
Что и требовалось доказать.
Доказательство.
Проведем доказательство в несколько этапов:
Что и требовалось доказать.
Домашнее задание.
Доказать, что следующие множества счетны:
1.70. Используя результат задачи 1.68, доказать, что множество всех точек плскости с рациональными координатами счетно.
Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
Определение. Множества X и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
Если множества X и Y равномощны, то пишут X
Нетрудно увидеть, что множества, которые были рассмотрены в примерах 1 и 2, равномощны.
Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между их элементами взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов (рис. 76).
Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества. Приведем примеры таких множеств.
N: 1 2 3 … n …
На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество B, что между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества.
Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его называют счетным. Любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано в примере 4). Так, счетно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных.
Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством, не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.
Упражнения
1.Задайте при помощи графа три соответствия между множествами X = и Y = <2, 4, 6>так, чтобы одно из них было взаимно однозначным.
3.Как можно изменить множества X и Y, данные в упражнении 2, чтобы соответствие Р: «прямоугольник х имеет площадь, равную у», было взаимно однозначным?
4.Даны множества: А = <1, 2, 5>, В = <3, 7>. Найдите А х В и В х А. Верно ли, что найденные множества равномощны?
5.Докажите, что множество А счетно, если:
6. Покажите, что, выполняя нижеприведенные задания, учащиеся начальных классов используют понятие равночисленности множеств:
 |
а) Нарисуй на другой фигуре (рис. 80) столько же точек, сколько на первой (точки не пересчитывать).
б) Нарисуй, не считая, столько же квадратов и столько же отрезков, сколько на рисунке 81 треугольников.
в) У Димы было 28 марок, а у Коли на 7 марок больше. Сколько марок было у Коли?
г) У Маши 9 игрушек, а у Риты на 2 меньше. Сколько игрушек у Риты?
д) Для детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили детям?
е) Для детского сада купили 15 красных мячей, а зеленых в 3 раза меньше. Сколько зеленых мячей купили детям?
43. Основные выводы § 8
Изучая материал этого параграфа, мы установили, что любое соответствие S между двумя множествами X и Y есть подмножество декартова произведения этих множеств, т.е. S с X х Y. Выяснили, что соответствия задают также, как и множества вообще. Познакомились с новыми понятиями:
— соответствие, обратное данному;
— взаимно однозначное соответствие;
Установили, что графики взаимно обратных соответствий между числовыми множествами симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Лекция 18. Числовые функции
1. Определение числовой функции как частного случая соответствия.. Способы задания функции. Область определения и область значения функции.
2. График функции. Свойство монотонности функции
§ 9. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Безусловно, все это требует от учителя начальных классов определенных знаний о функции и ее свойствах, и прежде всего таких, которые помогут ему осуществлять в начальной школе пропедевтику понятия функции.
44. Понятие функции. Способы задания функций
Выполним два задания для младших школьников.
1) Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.
| Уменьшаемое |
| Вычитаемое |
| Разность |
С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?
Определение.Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.
Множество X называют областью определения функции.
Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f— функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу x из множества X, часто обозначают f(х) и пишут у = f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f(х) для всех х из множества X называют областью значений функции f.
В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве X = <1, 3, 5, 7>— это ее область определения. А область значений этой функции есть множество <2, 6, 10, 14>.
Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества X соответствует единственное действительное число.
08. Примеры равномощных множеств
Приведенные выше примеры и теоремы показывают, что установить равномощность различных множеств далеко не просто. В этом параграфе мы рассмотрим примеры построения биекции между различными множествами. Будут приведены примеры доказательств равномощности ряда множеств.
Пример 1. Установить биекцию между отрезком [0, 1] и отрезком [а, в].
Решение. Легко устанавливается биективность линейного отображения x = (в – a)t + a отрезка [0, 1] на отрезок [а, в].
Пример 2. Установить биекцию между интервалом (0, 1) и интервалом (–¥, +¥).
Решение. Легко устанавливается биективность отображения x= ctg(pt) интервала (0, 1) на интервал (–¥, +¥).
Задача. Рассмотреть основные элементарные функции и найти промежутки, на которых они являются биективным отображением.
Пример 3. Построить биекцию между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1).
Решение. Решение этой задачи основано на несчетности рассматриваемых множеств и теореме 4 из параграфа 6. Идея решения состоит в том, что из интервала (0, 1) выделяют некоторое счетное множество А. Затем к нему добавляют две точки <0>и <1>. Вновь полученное множество (обозначим его В Ì [0, 1]), также является счетным. Следовательно, множества А и В равномощны и существует биекция f, отображающая B на A. Построим теперь биекцию отрезка [0, 1] на интервал (0, 1) следующим образом:
Пример 4. Построить биекцию между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1].
Схема решения. Легко устанавливается биекция между точкой окружности и углом, соответствующим этой точке. Этим получается биекция окружности и полуотрезка [0, 2p). Затем по схеме примера 3 строится биекция полуотрезка [0, 2p) на отрезок [0, 1].
Пример 6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке [а, в], конечно или счетно.
О равномощности множеств
Парадокс Галилея – пример, иллюстрирующий свойства бесконечных множеств. В двух словах: натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4, … столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16 …
В своей последней работе «Две Науки», Галилей привёл два противоречащих друг другу суждения о натуральных числах:
Суждение1. Некоторые числа являются точными квадратами (т.е. квадратами других целых чисел), другие же числа таким свойством не обладают.
Вывод1. Таким образом, точных квадратов должно быть меньше, чем всех чисел.
Суждение2. Для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, и наоборот – для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень.
Вывод2. Точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество.
Галилей сделал вывод, что судить об одинаковом количестве элементов можно только для конечных множеств.
В 19 веке, Георг Кантор, используя свою теорию множеств показал, что можно ввести «количество элементов» для бесконечных множеств – так называемая мощность множества. При этом мощности множества натуральных чисел и множества точных квадратов совпали (оказалось верным второе суждение Галилея).
Применение термина «равномощность» к бесконечным множествам некорректно, т.к. бесконечные множества не могут быть равными по мощности, по крайней мере не существует однозначного метода это установить. Можно говорить определённо только про неравномощные множества (например, множество действительных чисел мощнее натуральных). Но рассматривая бесконечные множества равномощные натуральному множеству, приходится признать что это не равномощность, а неопределённость.
Т.е. в зависимости от порядка сопоставления элементов из разных множеств друг с другом, мы получаем разные результаты. Современная теория множеств считает, что это свидетельствует о том, что часть равна целому (часть множества Z также равномощна и N, и Z). На самом же деле мы не можем однозначно утверждать равномощны ли эти множества, это неопределённость.
Равномощные множества
Определение. Множества Х и У называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
Если множества Х и У равномощны, то пишут Х
Нетрудно видеть, что множества рассмотренные в предыдущих примерах равномощны.
Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множестваРавномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между их элементами взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов.
 |
Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества.
Пусть Х – множество точек отрезка АВ, У – множество точек отрезка СD, причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то множества точек АВ и СD равномощны.
Рассмотрим множество N натуральных чисел и множество У – четных натуральных чисел. Они равномощны, так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие:
 |
Замечание.На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество В, что между А и В можно установить взаимно однозначноесоответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества.
Определение.Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его считают счетным.
Любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастание и нумеровать один за другим. Так, счетно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных.
Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством, не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.