Как доказать что множество ограничено

Точечные множества

Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.

Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел — множества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.

Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстоянии между двумя точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой справедлив принцип Кантора; это свойство прямой принято характеризовать как полноту прямой.

Введем обозначения для простейших множеств на прямой.

Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения множества в целом на прямой.

Ограниченные и неограниченные множества

Нетрудно видеть, что если — фиксированная точка на прямой, то множество будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки до любой точки не превосходят некоторого положительного числа.

Множества, ограниченные сверху и снизу

Ясно, что данное выше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество точек на прямой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то, что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки; образуют упорядоченное множество.

Верхняя и нижняя грань множества

Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой

Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.

Пример 1. Пусть множество состоит из точек с координатами

Пример 4. Пусть множество состоит из всех точек с целыми координатами на прямой. Каждая точка является его изолированной точкой; множество не имеет предельных точек.

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Всякое ограниченное бесконечное множество точек на прямой имеет хотя бы, одну предельную точку.

Источник

Ограниченные множества

Пусть непустое множество действительных чисел.

У ограниченного сверху множества существует сколь угодно много верхних границ. Действительно, если верхняя граница множества то для любого положительного число также является верхней границей Аналогично, у ограниченного снизу множества существует сколь угодно много нижних границ.

С геометрической точки зрения ограниченность сверху множества означает наличие на числовой прямой такой точки что все точки множества расположены не правее Аналогично, ограниченность снизу множества означает наличие на числовой прямой такой точки что все точки множества расположены не левее, чем

С геометрической точки зрения ограниченность означает, что все точки множества содержатся в некотором отрезке числовой прямой.

Определение. Элемент называется наибольшим элементом множества если для любого справедливо неравенство Элемент называется наименьшим элементом множества если для любого справедливо неравенство

Очевидно, что если во множестве существует наибольший элемент, то это множество ограничено сверху, а если в существует наименьший элемент, то это множество ограничено снизу. Однако не каждое ограниченное сверху (снизу) множество имеет наибольший (наименьший) элемент. Например, множество ограничено сверху (например, числом однако в нем нет наибольшего элемента. Действительно, для любого число x» title=»z=\frac < x+1 > < 2 >> x» /> также принадлежит Аналогично можно показать, что ограничено снизу, но не имеет наименьшего элемента.

Пусть – ограниченное сверху множество. Через обозначим совокупность всех верхних границ множества Множество непусто и, как мы уже видели, неограничено сверху. Очевидно, однако, что ограничено снизу (например, любой элемент множества является нижней границей множества

Поставим следующий вопрос: существует ли во множестве наименьший элемент?

Это определение равносильно следующему.

Определение. Число называется верхней гранью множества если выполнены следующие два условия:

Первое условие этого определения означает, что является верхней границей множества а второе – что наименьшая из всех верхних границ, т. е. что никакое число не является верхней границей множества

Аналогично формулируется определение нижней грани.

Это определение равносильно следующему.

Определение. Число называется нижней гранью множества если выполнены следующие два условия:

Первое условие этого определения означает, что m является нижней границей множества а второе – что наибольшая из всех нижних границ, т. е. что никакое число m» title=»+\varepsilon > m» /> не является нижней границей множества

Из определения верхней и нижней граней множества не следует сам факт их существования. Существование точных границ устанавливает следующая теорема.

Теорема (о существовании верхней грани). Каждое непустое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань. Пусть ограниченное сверху множество, а множество всех его верхних границ. Оба множества непустые, и для любых справедливо неравенство По аксиоме полноты множества действительных чисел, существует такое число что для любых справедливо неравенство Левое неравенство означает, что число является верхней границей множества т. е. а правое неравенство показывает, что наименьший элемент во множестве

Аналогично доказывается следующая

Теорема (о существовании нижней грани). Каждое непустое ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань.

Понятие верхней (нижней) грани мы определили для ограниченного сверху (снизу) множества. Но не каждое множество ограничено сверху (снизу). Так, само множество действительных чисел неограничено сверху и снизу. В самом деле, для любого найдется такой, что M» title=»x > M» /> (например, Это означает, что никакое число не является верхней границей множества В случае если множество неограничено сверху, иногда пишут Аналогично, если множество неограничено снизу, то пишут Примером неограниченного снизу множества также может быть множество

Задание 1
Пусть 1. Доказать, что множество не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов.

Действительно, для любого число x» title=»z=\frac < x+\sqrt < 2 >> < 2 >> x» /> также принадлежит следовательно, не имеет наибольшего элемента. Аналогично можно показать, что не имеет наименьшего элемента.

Действительно, всякие вещественные будут элементами множества и 0,» title=»\forall \varepsilon > 0,» /> по аксиоме полноты множества действительных чисел, существует такой что т. е. какое бы вещественное число из мы не взяли, можно выбрать другое число из так, что оно будет находиться ближе к на числовой прямой.

Аналогично доказывается, что

Задание 2
Пусть непустые ограниченные множества неотрицательных действительных чисел, множество всевозможных чисел где Показать, что ограниченное множество, причём

По теореме о существовании верхней грани, из ограниченности и следует существование и Тогда справедливы неравенства: из которых следует, что т. е. является верхней границей множества Кроме того, поскольку и – множества неотрицательных действительных чисел, т. е. является нижней границей множества Отсюда следует, что множество ограничено.

Поскольку и соответственно являются верхними гранями множеств и справедливы неравенства 0\quad \forall x\in X:< M >_< 1 >-\varepsilon 0\quad \forall x\in X:< M >_< 1 >-\varepsilon 0\quad \forall y\in Y:< M >_< 2 >-\varepsilon 0\quad \forall y\in Y:< M >_< 2 >-\varepsilon из которых следует: 0\quad \forall x\in X\quad \forall y\in Y:» title=»\forall < \varepsilon >_< 1 >,< \varepsilon >_ < 2 >> 0\quad \forall x\in X\quad \forall y\in Y:» /> Обозначим: Получим неравенство 0\quad \forall x\in X\quad \forall y\in Y:< M >_< 1 >< M >_< 2 >—< \varepsilon >_ < 3 >0\quad \forall x\in X\quad \forall y\in Y:< M >_< 1 >< M >_< 2 >—< \varepsilon >_ < 3 >. Из него и из неравенства следует, что что и требовалось доказать.

Забегая вперёд, при рассмотрении следующего задания используем материал урока «Определение и элементарные свойства».

Источник

Ограниченные и неограниченные множества.

Ограниченные и неограниченные множества.

Ограниченные и неограниченные множества. Введем много необходимых понятий на будущее и изучим некоторые свойства числовых множеств. Определение 1.Для подмножества действительных чисел X, если существует число b, которое не меньше каждого числа x∈X, то есть если неравенство x b выполняется для любого x∈X, то множество X называется верхней границей, а число b называется границами числа из вершины множества X. Используя логические символы, определение множества указанных диапазонов записывается в форму. X » ограничено более чем 3 b€K V x€. х б; отсюда X » V b€K 3 x€не ограничивается выше. X b, то есть для числа b∈K, если существует число x∈X такое, что x b имеет место, множество X не ограничено выше. Набор, который не является набором с границей сверху, называется набором с границей сверху. Если число b связывает множество X выше, т. е. если неравенства x b и b содержат все x∈X, очевидно, потому что x b также содержит все x∈X, то число b ’также ограничивает множество X сверху. Если множество X содержит число b, которое не меньше всех других чисел из X, т. е. b€X, и неравенство x b выполняется для всех x∈X, то это число b называется максимальным или максимальным числом множеств X. b = max X.

Очевидно, что если множество X имеет максимальное число, то оно уникально, и само множество X в этом случае ограничено сверху этим числом. Людмила Фирмаль

Это определение должным образом соответствует соответствующему определению подмножества нерасширенного множества действительных чисел. Людмила Фирмаль

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

5.01 О границах числовых множеств

Множество, элементами которого являются вещественные числа, будем называть числовым. Если множество состоит из конечного числа элементов, то его называют конечным, в противном случае – бесконечным.

Определение. Числовое множество называется ограниченным сверху, если существует такое вещественное число , что для любого элемента из множества выполняется неравенство . Число называется верхней границей .

Определение. Если существует такое число , что все элементы множества удовлетворяют неравенству , то множество называется ограниченным снизу, а число – его нижней границей.

Определение. Числовое множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т. е. если для всех выполняется неравенство .

Если – верхняя, а – нижняя границы множества , то числа и тоже будут соответственно верхней и нижней границами этого множества. Следовательно, всякое ограниченное множество имеет бесконечно много верхних и нижних границ.

Определение. Наименьшая из всех верхних границ множества называется точной верхней границей этого множества (обозначается ). Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей этого множества (обозначается ).

Точная верхняя и точная нижняя границы могут как принадлежать данному множеству, так и не принадлежать ему.

Если не ограничено сверху, то пишут , если снизу, то .

На вопрос о том, всегда ли у ограниченного множества существуют точные границы, отвечает следующая теорема.

Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю границу, а всякое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу.

Пример 1. Даны множества , и . Указать их точные границы.

Решение. – бесконечное, ограниченное снизу множество. Числа – его нижние границы, а . Сверху это множество не ограничено, т. е. . Множество – бесконечное ограниченное множество, т. е. оно ограничено и сверху, и снизу, его точные границы: , , – бесконечное множество, не ограниченное как сверху, так и снизу.

Любое конечное множество ограничено, так как среди его элементов всегда найдутся наибольшее и наименьшее числа, которые и будут точными границами. Обратное утверждение неверно, т. е. из ограниченности множества не следует его конечность, как это видно на примере множества .

Пример 2. Числовое множество состоит из всех чисел, для которых . Какие числа будут его границами?

Решение. Неравенство равносильно двойному неравенству , откуда видно, что число 3 и всякое большее число будет верхней границей, а число –3 и всякое меньшее число – его нижней границей. , .

Пример 3. Числовое множество состоит из чисел, удовлетворяющих условию . Укажите наименьшее число , удовлетворяющее неравенству для всех из данного множества. Какими границами для этого множества будут числа и ?

Решение. Так как равносильно неравенству , то за нужно взять такое положительное число, чтобы неравенства: и выполнялись одновременно. Это, очевидно, будет при , равном наибольшей из абсолютных величин чисел и , то есть при , при этом , a – верхняя (не точная) граница , точной верхней границей является .

Вопросы для самопроверки.

1. Приведите примеры ограниченных бесконечных множеств. Существуют ли конечные неограниченные множества?

2. Приведите примеры множеств, которым принадлежат их точные границы и множеств, которым не принадлежат их точные границы.

3. Приведите пример множества, которому принадлежит его точная нижняя граница, а точная верхняя не принадлежит.

Источник

Ограниченное множество

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Содержание

Ограниченное числовое множество

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху, если существует число , такое что все элементы не превосходят :

Множество вещественных чисел называется ограниченным снизу, если существует число , такое что все элементы не меньше :

Множество , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок ,

неограниченного — множество всех целых чисел , ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч , ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч 0″ border=»0″ />.

Вариации и обобщения

Ограниченное множество в метрическом пространстве

Пусть — метрическое пространство. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре :

0) \; \forall x \in X (x \in M \Rightarrow \rho(a, x)

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

В отличие от числовой прямой, в произвольном метрическом пространстве нельзя ввести понятия ограниченного сверху и ограниченного снизу множеств.

Помимо понятия ограниченного множества для произвольного метрического пространства существует более специальное понятие вполне ограниченного множества. В случае числовых множеств это понятие совпадает с понятием ограниченного множества.

Ограниченность в частично упорядоченном множестве

Понятия ограниченного сверху, ограниченного снизу и просто ограниченного множества можно ввести в произвольном частично упорядоченном множестве. Эти определения буквально повторяют соответствующие определения для числовых множеств.

Пусть — частично упорядоченное множество, . Множество называется ограниченным сверху, если

ограниченным снизу, если

Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Ограниченное множество» в других словарях:

ОГРАНИЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО — 1) О. м. в метрическом пространстве X(с метрикой ) множество А, диаметр к рого конечен. 2) О. м. в топологич. векторном пространстве Е(над полем k) множество В, к рое поглощается каждой окрестностью нуля U(т. е. существует такое ). М. И.… … Математическая энциклопедия

ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО — в метрическом пространстве то же, что вполне ограниченное подпространство данного метрич. пространства. См. Вполне ограниченное пространство. А. В. Архангельский … Математическая энциклопедия

Ограниченное числовое множество — В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай… … Википедия

множество — набор комплект — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=4318] множество Одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое… … Справочник технического переводчика

Множество — [set] одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое». (Так определял множество основатель теории множеств, известный немецкий… … Экономико-математический словарь

МНОЖЕСТВО — см. Класс в логике. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. МНОЖЕСТВО … Философская энциклопедия

Множество (тип данных) — У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Множество тип и структура данных в информатике, является реализацией математического объекта множество. Данные типа множество позволяют хранить ограниченное число значений… … Википедия

ПОЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВО — 1) П. м. аналитической функции f(z) комплексных переменных z=(z1. zn), п 1, такое множество Рточек нек рой области Dкомплексного пространства С n, что: а) f(z) голоморфна всюду в ; б) f(z) не продолжается аналитически ни в одну точку Р;в) для… … Математическая энциклопедия

генеральное множество (гм) текстов — объектом самого исследования выступает не сам подъязык, а некоторое множество текстов, являющееся в принципе бесконечным или, во всяком случае, открытым. Задается оно описательно, путем характеристики источников данных текстов. Именно они… … Толковый переводоведческий словарь

КОНСТРУКТИВНОЕ ПО ГЁДЕЛЮ МНОЖЕСТВО — множество, возникающее в описанном ниже процессе построения множеств. Пусть X множество и X. Рассмотрим язык 1 й ступени L(R, X), содержащий один 2 местный предикатный символ, обозначающий отношение R, и индивидные константы, обозначающие… … Математическая энциклопедия

Источник