Как доказать что множество является кольцом

8.1. Математические структуры. Кольца и поля

В основе математики лежит понятие множества. Множеством называют всякую совокупность каких-либо предметов.* Предметы, из которых состоит множество, называют его элементами. Если, например, в Твери 145 юристов, то можно сказать, что множество всех юристов города состоит из 145 элементов. Говорят о множестве студентов в аудитории, множестве ног тара­кана, множестве всех озер Тверской области, множестве книг в библиотеке и т. д.

* В то время как в русском языке слово «множество» означает «много».

В математике рассматриваются числовые множества, множества, состоящие из точек, прямых, векторов, мно­гочленов, функций. Они обозначаются специальными символами. Например, множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел (о последних см. наст. гл., §4) обозначают символами N, Z, Q, R и С соответственно.

Если элемент о принадлежит множеству М, то пи­шут А Î М. Например, 5 Î N, Î R. Если все элементы множества В принадлежат также множеству А, то говорят, что множество В является подмножеством множества А. Это записывается так: В Ì А. Говорят также «В содержится в А» или «В является частью А».

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется Пустым, множеством и обозначается символом Æ. По определению считается, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Математика, как и всякая другая наука, развивается путем постоянного обобщения и углубления уже имею­щихся результатов и фактов. Каждое очередное замеча­тельное открытие заставляет переосмысливать все на­копленное к этому моменту. Открытие неевклидовой геометрии, например, привело математиков к осознанию необходимости строгого обоснования основных матема­тических понятий, в том числе и тех, которыми они уже пользовались несколько столетий. Этот процесс на­чался примерно со второй половины XIX в. Одной из первых фундаментальных работ в этом направлении стало исследование аксиом геометрии, проведенное Да­видом Гильбертом, одним из величайших математиков конца XIX — первой половины XX в.

Идея Гильберта состояла в том, чтобы максимально формализовать основные математические определения. Под формализацией понимают замену интуитивного по­нятия строгим, смысл которого раскрывается в соответ­ствующей системе аксиом. Например, словами «точка» и «прямая» в системе аксиом евклидовой геометрии (см. гл. VIII, §2) обозначаются не обычные точки и прямые, с которыми мы привыкли иметь дело в школе и дома, а элементы каких-то абстрактных множеств, природа кото­рых нам безразлична, и от которых требуется только одно: чтобы они подчинялись заданной системе аксиом. С по­добными множествами мы уже имели дело, когда рас­сматривали модели геометрии Лобачевского. Там «пря­мыми» назывались хорды окружности (модель Клейна), лучи и полуокружности (модель Пуанкаре).

Помимо математической стройности ценность формального определения состоит еще и в том, что оно выяв­ляет общие свойства совершенно, казалось бы, различных математических объектов. Например, как мы отмечали в гл. I, числовые множества N, Z, Q, R имеют одинаковые алгебраические свойства: их элементы складывают, вычи­тают, умножают и делят по одним и тем же правилам:

Но по этим же правилам производятся операции и с а) многочленами; б) со всеми элементарными функция­ми; в) с рядами (бесконечными суммами). Как мы уви­дим, есть и другие, более сложные множества, для ко­торых справедливы свойства (1). Таким образом, в свой­ствах (1) отражены некоторые общие свойства указан­ных множеств. Любое множество с такими свойствами называется Кольцом.*

* Точнее, коммутативным и ассоциативным кольцом.

Формальное определение кольца следующее: это не­которое множество, на котором заданы две функции, одна из которых называется Сложением, а вторая — Ум­ножением; сложение и умножение должны подчиняться правилам (1), которые называются Аксиомами кольца.*

* Свойства 6) и 7) иногда не включают в систему аксиом кольца.

Аксиомы 1), 2) и 5), 6), 7) представляют собой тож­дества, которые должны выполняться для любых эле­ментов А, B и С из кольца.

Аксиома 3) означает, что в кольце должен существо­вать особый элемент, называемый Нулем, для которого равенство 3) выполняется при любом А.

Аксиома 4) утверждает, что для каждого элемента А Из кольца найдется (в том же кольце!) Противоположный ему элемент –а, причем равенство 4) можно рас­сматривать как уравнение, из которого и определяется этот элемент –А.

1. Покажите, что кольцом является а) множество чет­ных чисел; б) множество чисел, кратных трем; в) мно­жество чисел, кратных четырем, и т. д.

2. Будет ли кольцом множество всех положительных рациональных чисел?

В формальном определении кольца операции сложе­ния и умножения рассматриваются как функции. Такие функции в этом курсе нам еще не встречались. Здесь сумма А + b рассматривается как функция двух пере­менных А и B, т. е. слагаемых; произведение А • b — Также как функция двух переменных А и B, т. е. сомно­жителей. Таким образом, и независимые переменные (А и B) и значения этих функций (сумма и произведение) являются не числами, а Элементами кольца.

Как видно из системы аксиом (1), операция деления в кольце, вообще говоря, отсутствует. Кольца, в кото­рых можно делить на любой элемент, кроме нуля, на­зываются Полями. Формальное определение поля полу­чается добавлением к аксиомам (1) еще одной аксиомы, обеспечивающей возможность деления. Попробуйте сфор­мулировать ее самостоятельно.

В заключение рассмотрим еще два важных примера колец.

I. Докажем, что относительно обычных операций сложения и умножения числа вида А + B с рацио­нальными А и B образуют поле.

Обозначим рассматриваемое множество чисел через Р. Прежде всего нужно показать, что Множество Р замк­нуто относительно операций сложения и умножения, Т. е. что сложение и умножение можно рассматривать как функции со значениями во множестве Р. Иными слова­ми, нужно проверить, что сумма и произведение любых двух чисел из множества Р также принадлежат множе­ству Р, т. е. снова будут числами вида А + B.

Взяв пару чисел А + B и С + D, где А, B, с, D Î Q, Получаем:

Так как А, b, с, D — это рациональные числа (дроби), то и числа, которые получились в скобках, также будут дробями. Это мы и хотели показать.

Теперь докажем, что операция деления также не вы­водит нас из рассматриваемого множества. В самом деле,

В скобках стоят рациональные числа, следовательно, результат деления двух любых чисел из множества Р Представляет собой число также из множества Р. Итак, числа вида А + b образуют поле, что и требовалось доказать.

Придумайте еще один похожий пример. Подумайте также, почему знаменатель С2 – 2D2 не равен нулю? От­вет можно найти в гл. I, §2.

II. Все целые числа разделим на шесть частей, кото­рые обозначим P0, Р1. P5 и будем называть Классами вычетов по модулю 6 или просто Классами.

Источник

Кольцо (математика)

В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.

Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − «сложение» и «умножение», которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их «сумму» и «произведение», являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a+0=a, при любом a.

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).

5′. c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).

Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу, а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.

Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a·1=1·a=a, для любого элемента a.

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a=1.

В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.

Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.

1. Множество квадратных матриц.

Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5′ очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.

2. Множество всех комплексных чисел.

3. Множество всех действительных чисел.

4. Множество всех рациональных чисел.

5. Множество всех целых чисел.

Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.

Источник

Кольца: определение, свойства, примеры

Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции—сложение (+) и умножение (•), удовлетворяющие условиям:

1) относительно операции сложения К — коммутативнаятруппа;

2) относительно операции умножения К — полугруппа;

3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, c K, называется кольцом (К,+,•).

Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а, b , то кольцо называется коммутативным.

Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.

Подмножество L кольца называется подкольцом, если L— подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b L выполняется а+b L и ab L.

Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством S K, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.

1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, •)—коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел — коммутативные кольца с единицей.

2. Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е — единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.

3. Пусть K—произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены

4. Пусть X — произвольное множество, К—произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами

где + и • — операции в кольце К.

Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K. Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.

Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:

1) для всех a a 0=0 a=0;

1)

2) 0=a (аналогично (-a)b=-(ab));

3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Поле

В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а=0, либо b=0. Но в кольце квадратных матриц порядка n>1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = .

Если в кольце К ab=0 при а 0, b , то а называется левым, а b — правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.

1. В кольце функции f: R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f₁(x)=|x|+x; f₂(x) =|x|-x. Для них f₁(x)=0 при x и f₂(x)=0 при x , а поэтому произведение f₁(x) f₂(x) — нулевая функция, хотя f₁(x) и f₂(x) . Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.

2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:

Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).

Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с. Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.

Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим,, т. е. относительно операции умножения множество K\ <0>образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.

Коммутативное кольцо Р с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.

=

Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= — решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= — единственное решение уравнения bdt=da+bc.

1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.

8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8

8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.

8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.

8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:

а) множество целых чисел;

б) множество рациональных чисел;

в) множество действительных чисел, отличных от нуля.

8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:

а) некоммутативное кольцо;

б) коммутативное кольцо;

8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:

8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:

8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.

8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник

Теория функций действительного переменного/Системы множеств

Система множеств — это множество, элементы которого сами являются множествами.

Содержание

Кольцо множеств [ править ]

Кольцо множеств — это непустая система множеств R <\displaystyle <\mathfrak >> , замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности, то есть из A ∈ R <\displaystyle A\in <\mathfrak >> и B ∈ R <\displaystyle B\in <\mathfrak >> следует

Операции объединения и разности множеств можно выразить через операции пересечения и симметричной разности:

Из этих равенств следует, что если два множества принадлежат кольцу множеств, то данному кольцу также принадлежат их объединение и разность, то есть из

По индукции можно доказать, что кольцу множеств будет принадлежать объединение или пересечение любого конечного числа множеств данного кольца, то есть выражения вида

\bigcup _^A_> , ⋂ i = 1 n A i <\displaystyle \bigcap _^A_> .

Любое кольцо содержит пустое множество, так как пустое множество можно представить в виде разности

Отсюда следует, что наименьшее возможное кольцо множеств — это система множеств, содержащая только пустое множество.

Другими словами, единица системы множеств — это такое множество, что все другие множества данной системы являются его подмножествами.

Алгебра множеств — это кольцо множеств с единицей.

Теорема 1. Пересечение

любого множества колец множеств есть кольцо множеств.

Докажем теорему для случая пересечения двух колец множеств.

Из первого и третьего включения следует, по определению кольца множеств, что

Аналогичным образом из второго и четвертого включения можно вывести, что

Отсюда следует, что пересечение S = S 1 ∩ S 2 <\displaystyle <\mathfrak >=<\mathfrak >_<1>\cap <\mathfrak >_<2>> двух колец множеств является, по определению, кольцом множеств.

Для пересечения произвольного числа колец множеств теорема доказывается по индукции индукции.

Теорема 2. Для любой непустой системы множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> существует единственное кольцо множеств, содержащее как подмножество данную систему S <\displaystyle <\mathfrak >> и являющееся подмножеством любого кольца множеств, содержащем S <\displaystyle <\mathfrak >> как подмножество.

Рассмотрим объединение всех множеств, входящих в систему S <\displaystyle <\mathfrak >> :

\Sigma > — это совокупность всех колец множеств, содержащихся в M ( X ) <\displaystyle <\mathfrak >(X)> и содержащих S <\displaystyle <\mathfrak >> . Тогда пересечение

всех этих колец и будет искомым кольцом R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> .

Действительно, каково бы ни было кольцо

будет кольцом из Σ <\displaystyle

\Sigma > , а следовательно

Таким образом, система B <\displaystyle <\mathfrak >> действительно является наименьшим кольцом, содержащим S <\displaystyle <\mathfrak >> . Теорема доказана.

Кольцо, содержащее систему множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> и содержащееся в любом другом кольце, содержащем S <\displaystyle <\mathfrak >> , называют кольцом, порождённым системой S <\displaystyle <\mathfrak >> , или минимальным кольцом над S <\displaystyle <\mathfrak >> . Минимальное кольцо над S <\displaystyle <\mathfrak >> обозначается R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> .

Полукольцо множеств [ править ]

называется конечным разложением множества A.

A_<2>=A\setminus A_<1>\in <\mathfrak >> .

s\geq n> .

k=1. p> .

i=1. n-1> , то

Так как любая точка множества A n <\displaystyle A_> принадлежит одному из множеств B k <\displaystyle B_> , то

A n = ⋃ k = 1 p B k 1 <\displaystyle A_=\bigcup _^

B_> .

следовательно, по определению полукольца множеств, имеется конечное разложение

Так как множество B k 1 <\displaystyle B_> , по определению, содержит все точки, входящие одновременно и в B k <\displaystyle B_> и A n <\displaystyle A_> , то множество C k ⊂ B k <\displaystyle C_\subset B_> не содержит точек множества A n <\displaystyle A_> :

А так как C k ⊂ B k <\displaystyle C_\subset B_> , то все множества набора

являются попарно непересекающимися, то и все множества

являются попарно непересекающимися.

Проведём некоторые преобразования:

Теорема 2 устанавливает тот факт, что для каждой системы множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> существует единственное минимальное кольцо, содержащее S <\displaystyle <\mathfrak >> . Следующая теорема позволяет построить кольцо, порождённое полукольцом.

Кольцо, порождённое полукольцом [ править ]

По теореме 2, для каждой системы множеств существует порождённое ей кольцо. Если данная система множеств является полукольцом, то можно доказать усиленную теорему, которая даёт конструктивный способ построения такого кольца.

на множества A k ∈ S <\displaystyle A_\in <\mathfrak >> .

Докажем сначала, что система множеств B <\displaystyle <\mathfrak >> является кольцом. Если

то имеют место разложения

B_\in <\mathfrak >> .

C i k = A i ∩ B k ∈ S <\displaystyle C_=A_\cap B_\in <\mathfrak >> .

По Лемме 1, имеют место разложения на непересекающиеся множества

F_\in <\mathfrak >> .

Из этих равенств следует, что

A ∩ B = ⋃ i = 1 n ⋃ k m C i k <\displaystyle A\cap B=\bigcup _^\bigcup _^C_> , A △ B = ⋃ i = 1 n ⋃ j = 1 r i D i j ∪ ⋃ k = 1 m ⋃ t = 1 s k F k t <\displaystyle A\vartriangle B=\bigcup _^\bigcup _^>D_\cup \bigcup _^\bigcup _^>F_> .

Минимальность следует из того, что R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> должно содержать все элементы полукольца S <\displaystyle <\mathfrak >> , и следовательно, по свойствам кольца, и объединения конечного числа множеств из S <\displaystyle <\mathfrak >> .

σ-алгебры [ править ]

Иногда приходится рассматривать пересечение или объединение не только конечного, но и счётного числа множеств.

σ-кольцо с единицей называют σ-алгеброй. Естественным было бы назвать δ-кольцом с единицей δ-алгеброй, но оказывается, что это понятия тождественно понятию σ-алгеброй. Это вытекает из соотношений двойственности (законов де Моргана):

⋃ n A n = E ⋂ n ( E ∖ A n ) <\displaystyle \bigcup _A_=E\ \bigcap _(E\setminus A_)> , ⋂ n A n = E ⋃ n ( E ∖ A n ) <\displaystyle \bigcap _A_=E\ \bigcup _(E\setminus A_)> .

Таким образом σ-алгебра подмножеств множества

Неприводимая σ-алгебра — это σ-алгебра, не содержащая точек, не входящих ни в одно из A ∈ S <\displaystyle A\in <\mathfrak >> .

Теорема 4. Для любой непустой системы множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> существует неприводимая (по отношению к данной системе) σ-алгебра B ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> , содержащая S <\displaystyle <\mathfrak >> и содержащаяся в любой σ-алгебре, содержащей S <\displaystyle <\mathfrak >> .

Доказательсвто. Из теоремы 2 следует существование минимального кольца R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> , порождённого системой S <\displaystyle <\mathfrak >> . Единицей этой σ-алгебры будет объединение всех множеств из системы S <\displaystyle <\mathfrak >> .

Системы множеств и отображения [ править ]

Справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Если N <\displaystyle <\mathfrak >> — кольцо, то f − 1 ( N ) <\displaystyle f^<-1>(<\mathfrak >)> — кольцо.

Утверждение 2. Если N <\displaystyle <\mathfrak >> — алгебра, то f − 1 ( N ) <\displaystyle f^<-1>(<\mathfrak >)> — алгебра.

Утверждение 3. Если N <\displaystyle <\mathfrak >> — σ-алгебра, то f − 1 ( N ) <\displaystyle f^<-1>(<\mathfrak >)> — σ-алгебра.

Источник