Как доказать что отрезки пересекаются

Пересечение отрезков и поворот: определение, свойства, вычисление

Содержание

Аффинное пространство [ править ]

Ориентация [ править ]

Ориентация векторов [ править ]

Из курса линейной алгебры известно, что любые две такие формы отличаются друг от друга только на некоторый множитель. Зафиксируем одну из таких форм (например, считая, что форма равна 1 на наборе из векторов выделенного базиса). Назовем ориентацией набора из N N-мерных векторов знак значения этой формы на этом наборе векторов.

Отметим свойства ориентации:

Неформальное объяснение второго свойства: рассмотрим тройку векторов, таких, что если смотреть из конца первого вектора на второй, то он будет левее, чем третий. Перестановка второго и третьего векторов будет означать, что второй вектор будет виден правее третьего, что означает смену ориентации.

Заметим, что определитель является в точности кососимметричной линейной формой от N N-мерных векторов, а значит, подходит для вычисления ориентации набора векторов.

Ориентация точек [ править ]

Нетрудно заметить, что ориентация набора точек обладает свойствами, похожими на ориентацию векторов:

Предикат левый поворот [ править ]

О точном вычислении ориентации см. раздел Ссылки.

Пересечение отрезков [ править ]

В случае, если обе ориентации в одной из строк равны нулю, отрезки лежат на одной прямой, и в этом случае пересечение можно проверить способом, аналогичным пересечению отрезков на действительной прямой (считаем, что точки сравниваются лексикографически):

Если предикат вычисления ориентации был абсолютно точным, то таким же будет описанный алгоритм.

Источник

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Решение задачи

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

Как обозначается пересечение прямых

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Третий случай расположения прямых

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник

Урок 32. Пересекаются ли два отрезка?

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель. Напишем еще три новые функции.

Функция LinesCross() будет определять, пересекаются ли два отрезка. В ней взаимное расположение отрезков определяется с помощью векторных произведений. Для вычисления векторных произведений напишем функцию — VektorMulti().

Функция RealLess() будет использоваться для реализации операции сравнения «

Задача1. Два отрезка заданы своими координатами. Составить программу, которая определяет, пересекаются ли эти отрезки, не находя точку пересечения.

Решение
Пусть даны два отрезка. Первый задан точками . Второй задан точками .

Взаимное расположение отрезков можно проверить с помощью векторных произведений:

Рассмотрим отрезок и точки и .

Точка лежит слева от прямой , для нее векторное произведение > 0, так как векторы положительно ориентированы.

Точка расположена справа от прямой, для нее векторное произведение и , лежали по разные стороны от прямой , достаточно, чтобы выполнялось условие и точек и .

Итак, если , то отрезки пересекаются.

Для проверки этого условия используется функцию LinesCross(), а для вычисления векторных произведений – функция VektorMulti().

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

ax, ay — координаты первого вектора,

bx, by — координаты второго вектора.

Результаты выполнения программы:

Мы написали программу, определяющую, пересекаются ли отрезки, заданные своими координатами.

На следующем уроке мы составим алгоритм, с помощью которого можно будет определить, лежит ли точка внутри треугольника.

Уважаемый читатель. Вы уже познакомились с несколькими уроками из серии «Геометрические алгоритмы». Все ли доступно написано? Я буду Вам очень признательна, если Вы оставите отзыв об этих уроках. Возможно, что-то нужно еще доработать.

Источник

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Подробная статья «Вокруг теорем Чевы и Менелая» опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ. Она адресована учителям математики и учащимся старших классов, мотивированным на хорошее знание математики. К ней можно вернуться, если появится желание подробнее разобраться в вопросе. В этой заметке мы приведем краткие сведения из упомянутой статьи и разберём решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AB, BC и AC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно (рис. 1).

а) Если отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке, то

. (1)

б) Если верно равенство (1), то отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке.

На рисунке 1 изображен случай, когда отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы справедлива и в случае внешней точки, когда одна из точек А1, B1 или С1 принадлежит стороне треугольника, а две другие — продолжениям сторон треугольника. В этом случае точка пересечения отрезков AА1, BB1 и CС1 лежит вне треугольника (рис. 2).

Как запомнить равенство Чевы?

Обратим внимание на прием запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC, начиная с точки A. От точки A идем к точке B, встречаем точку С1, записываем дробь . Далее от точки В идем к точке С, встречаем точку А1, записываем дробь . Наконец, от точки С идем к точке А, встречаем точку В1, записываем дробь . В случае внешней точки порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» отрезка оказываются вне своих отрезков. В таких случаях говорят, что точка делит отрезок внешним образом.

Отметим, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называют чевианой.

Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Чтобы доказать теорему Чевы, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки проводятся аналогично.

Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

Пусть три чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC.

Идея доказательства заключается в том, чтобы отношения отрезков из равенства (1) заменить отношениями отрезков, лежащих на одной прямой.

Через точку В проведем прямую, параллельную чевиане СС1. Прямая АА1 пересекает построенную прямую в точке М, а прямая, проходящая через точку C и параллельная АА1, — в точке Т. Через точки А и С проведем прямые, параллельные чевиане ВВ1. Они пересекут прямую ВМ в точках N и R соответственно (рис. 3).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

, и .

Тогда справедливы равенства

.

В параллелограммах ZСTM и ZСRВ отрезки TM, СZ и ВR равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, и верно равенство

.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

При доказательстве утверждения б) используем следующее утверждение. Рис. 3

Лемма 1. Если точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) образом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.

Докажем лемму для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним образом в одном и том же отношении: .

Доказательство. Из равенства следуют равенства и . Последнее из них выполняется лишь при условии, что С1B и С2B равны, т. е. при условии, что точки С1 и С2 совпадают.

Доказательство леммы для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внешним образом проводится аналогично.

Доказательство утверждения б) теоремы Чевы

Пусть теперь верно равенство (1). Докажем, что отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке.

Пусть чевианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке Z, проведем через эту точку отрезок CС2 (С2 лежит на отрезке AB). Тогда на основании утверждения а) получаем верное равенство

. (2)

Из сравнения равенств (1) и (2) заключаем, что , т. е. точки С1 и С2 делят отрезок AB в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки С1 и С2 совпадают. Это означает, что отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит, от того, от какой точки и в каком направлении совершается обход вершин треугольника.

Задание 1. Найдите длину отрезка АN на рисунке 4, на котором указаны длины других отрезков.

Задание 2. Чевианы AM, BN, CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC. Найдите отношение , если , . Рис. 4

Ответ. .

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Приведем доказательство теоремы Чевы из статьи [1]. Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) отношениями отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке O внутри треугольника АВС (рис. 5). Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную AB, и ее точки пересечения с прямыми AA1, BB1 обозначим соответственно A2, B2.

Из подобия двух пар треугольников CB2B1 и ABB1, BAA1 и CA2A1, Рис. 5

, . (3)

Из подобия треугольников BС1O и B2CO, AС1O и A2CO имеем равенства , из которых следует, что

. (4)

Перемножив равенства (3) и (4), получим равенство (1).

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с помощью площадей для внутренней точки. Оно изложено в книге [2] и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде заданий 3 и 4.

Задание 3. Отношение площадей двух треугольников с общей вершиной и основаниями, лежащими на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.

Задание 4. Докажите, что если , то и . Рис. 6

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Пусть отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в точке Z (рис. 6), тогда

, . (5)

Из равенств (5) и второго утверждения задания 4 следует, что или . Аналогично получим, что и . Перемножив три последние равенства, получим:

,

т. е. верно равенство (1), что и требовалось доказать.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Задание 15. Пусть чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разбивают его на 6 треугольников, площади которых равны S1, S2, S3, S4, S5, S6 (рис. 7). Докажите, что . Рис. 7

Задание 6. Найдите площадь S треугольника CNZ (площади других треугольников указаны на рисунке 8).

Задание 7. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АNO равна 10 и , (рис. 9).

Задание 8. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АBC равна 88 и , (рис. 9).

Решение. Так как , то обозначим, . Так как , то обозначим , . Из теоремы Чевы следует, что , и тогда . Если , то (рис. 10). У нас три неизвестные величины (x, y и S), поэтому для нахождения S составим три уравнения.

Так как , то = 88. Так как , то , откуда . Так как , то .

Итак, , откуда . Рис. 10

Задание 9. В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. , . P — точка пересечения отрезков AL и CK. Площадь треугольника PBC равна 1. Найдите площадь треугольника ABC.

Теорема Менелая

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и CВ отмечены точки B1 и A1 соответственно, а на продолжении стороны AB отмечена точка C1 (рис. 11).

а) Если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то

. (6)

б) Если верно равенство (7), то точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Рис. 11

Как запомнить равенство Менелая?

Прием запоминания равенства (6) тот же, что и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC — от вершины к вершине, проходя через точки деления (внутренние или внешние).

Задание 10. Докажите, что при записи равенства (6) от любой вершины треугольника в любом направлении получается один и тот же результат.

Чтобы доказать теорему Менелая, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а).

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

I способ. а) Идея доказательства заключается в замене отношений длин отрезков в равенстве (6) отношениями длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l, параллельную прямой А1B1, она пересекает прямую АB в точке M (рис. 12).

Рис. 12

По теореме о пропорциональных отрезках имеем: и .

Тогда верны равенства .

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая

Пусть теперь верно равенство (6), докажем, что точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Пусть прямые АB и А1B1 пересекаются в точке С2 (рис. 13).

Так как точки А1 B1 и С2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая

. (7)

Из сравнения равенств (6) и (7) имеем , откуда следует, что верны равенства

, , .

Последнее равенство верно лишь при условии , т. е. если точки С1 и С2 совпадают.

Утверждение б) теоремы Менелая доказано. Рис. 13

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) отношениями длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Из точек A, B и C проведем перпендикуляры АА0, BB0 и СС0 к этой прямой (рис. 14).

Рис. 14

Из подобия трех пар треугольников AA0B1 и CC0B1, CC0A1 и BB0A1, C1B0B и C1A0A (по двум углам) имеем верные равенства

, , ,

перемножив их, получим:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Идея доказательства заключается в замене отношения длин отрезков из равенства (7) отношениями площадей треугольников.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Соединим точки C и C1. Обозначим площади треугольников S1, S2, S3, S4, S5 (рис. 15).

Тогда справедливы равенства

, , . (8)

Перемножив равенства (8), получим:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Рис. 15

Подобно тому, как теорема Чевы остается справедливой и в том случае, если точка пересечения чевиан находится вне треугольника, теорема Менелая остается справедливой и в том случае, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.

Доказательство утверждения а) для случая внешних точек

Пусть секущая пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. е. пересекает продолжения сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

и .

Тогда верны равенства

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис. 16

Заметим, что приведенное доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну во внешней.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично доказательству, приведенному выше.

Задание 11. В треугольнике АВС точки А1, В1 лежат соответственно на сторонах ВС и AС. P — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. , . Найдите отношение .

Решение. Обозначим , , , (рис. 17). По теореме Менелая для треугольника BCВ1 и секущей PA1 запишем верное равенство:

,

откуда следует, что

. Рис. 17

Ответ. .

Задание 12 (МГУ, заочные подготовительные курсы). В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении , а на стороне АС — точка L, делящая АС в отношении . Точка P пересечения прямых СК и ВL удалена от прямой АВ на расстояние 1,5. Найдите длину стороны АВ.

Решение. Из точек Р и С опустим перпендикуляры PR и СМ на прямую АВ. Обозначим , , , (рис. 18). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL запишем верное равенство: , откуда получим, что , . Рис. 18

Из подобия треугольников КMC и КRP (по двум углам) получим, что , откуда следует, что .

Теперь, зная длину высоты, проведенной к стороне AB треугольника ABС, и площадь этого треугольника, вычислим длину стороны: .

Задание 13. Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как , касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?

Решение. Обозначим , , (рис. 19). Так как , то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении . Найдем это отношение. Рис. 19

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: , откуда следует, что .

Ответ. .

Задание 14 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:4. [8]

Решение. а) Пусть прямая AO пересекает сторону BC в точке A1 (рис. 20). По теореме Чевы имеем:

. (9)

Так как АВ1:B1С = АС1:С1B, то из равенства (9) следует, что , то есть CA1 = А1B, что и требовалось доказать. Рис. 20

б) Пусть площадь треугольника AB1O равна S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 4S, а площадь треугольника AOC равна 5S. Тогда площадь треугольника AOB тоже равна 5S, так как треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO, а их вершины B и C равноудалены от прямой AO. Причём площадь треугольника AOC1 равна S, так как АС1:С1B = 1:4. Тогда площадь треугольника ABB1 равна 6S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 24S, а площадь треугольника ABC равна 30S. Теперь найдём отношение площади четырёхугольника AB1OC1 (2S) к площади треугольника ABC (30S), оно равно 1:15.

Задание 15 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:3. [8]

Задание 16 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

Решение. а) Пусть углы при основании BC равнобедренного треугольника ABC (рис. 21) равны , так как BL биссектриса ABC, то LBC = . Он равен углу LDB при основании BD равнобедренного треугольника BLD. Тогда внешний угол LCB треугольника DCL равен , а внутренний угол LDC, не смежный с ним, равен . Из свойства внешнего угла треугольника следует, что другой внутренний угол треугольника DCL равен – = , то есть треугольник DCL равнобедренный (DC = CL), что и требовалось доказать. Рис. 21

б) Пусть AK — медиана, проведённая к основанию BC равнобедренного треугольника ABC, она является высотой, поэтому BK:BA = cosABC = . Обозначим BK = x, тогда BC = 2x, BA = BС = 6x. Биссектриса BL делит сторону BС в отношении CL:LA = BC:BA = 1:3. Тогда CL = CD = = 1,5x.

По теореме Менелая , откуда, учитывая, что CL = CD, имеем: = .

Задание 17 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

2. Мякишев геометрии треугольника. (Серия «Библиотека «Математическое просвещение»»). М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.

4. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1990, № 3, С. 56–59.

5. Шарыгин Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22–30.

6. Вавилов и средние линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 1.

7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. — 334 с.

Источник