Как доказать что отрезки равны 7 класс геометрия

Приемы учебной работы при обучении решению задач на доказательство

Разделы: Математика

Обучение доказательствам – одна из важнейших целей обучения математике.

Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

Начиная изучать геометрию, учащиеся способны осознать необходимость доказательства, однако осуществлению доказательства им только предстоит научиться.

С задачами на доказательство учащиеся встречаются при изучении второй темы курса геометрии 7-го класса “Треугольники”. Опыт проведения доказательств отсутствует. Учащиеся не владеют геометрическим языком, многие не понимают смысла слова “доказать”, поэтому испытывают большие трудности. Я решаю эту проблему, предоставляя учащимся образцы (алгоритмы) доказательства. В ходе изучения теоретического материала вместе с учениками составляем алгоритмы решения задач каждого вида и красочно оформляем их в виде книжки.

Эта книга помогает учащимся в затруднительных случаях быстро найти сходную задачу, вспомнить алгоритм решения, составить план решения.

Обучение решению задач веду постепенно.

7-й класс

Тема “Параллельные прямые”

1.Алгоритм решение задачи: доказать, что прямая … параллельна прямой ….

Тема “Прямоугольный треугольник”

1.Алгоритм решение задачи: доказать, что прямоугольные треугольники … равны

8-й класс

Тема “Параллелограмм”.

1.Алгоритм решение задачи: доказать, что четырехугольник…. будет параллелограммом.

Тема “Подобие треугольников”.

1.Алгоритм решение задачи: доказать, что треугольник …. подобен треугольнику…

Принцип пошаговости формирует навыки решения задач и навыки построения логических цепочек доказательства.

Решение задач учу начинать с предложения “Чтобы доказать, что …”. Ученик называет то, что требуется доказать в конкретной задаче и ведет доказательство по соответствующему алгоритму. Такой ход решения позволяет учащимся понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, формирует умение анализировать, развивает логическое мышление.

Работая в дальнейшем по модели, ученик на каждом шагу контролирует свои действия, обращаясь к выведенному алгоритму. На любом этапе работы ученик может по сигналу учителя передать “эстафету” решения любому ученику. Этим достигается предельное внимание при решении задачи.

Красочно оформленные алгоритмы учащиеся запоминают быстро. И к концу изучения темы “Признаки равенства треугольников” многие учащиеся хорошо проводят доказательные рассуждения, точно и грамотно выражают свои мысли. Данные алгоритмы учащиеся применяют и при доказательстве теорем.

Разработанные алгоритмы позволили логически упорядочить материал, дать его компактное и наглядное изложение. Они способствуют как подсознательному запоминанию, так и осознанному усвоению материала. При пользовании алгоритмами учащиеся лучше осмысливают, осознают логические взаимосвязи. Это помогает им научиться решать задачи.

Пример решения задачи учениками 7-го класса по теме

“Признаки равенства треугольников”

Доказать BD – биссектриса ABC

(Устно). Чтобы доказать, что BD биссектриса, нужно доказать, что угол ABD равен углу DBC.Чтобы доказать, что два угла равны, нужно доказать, что равны треугольники, содержащие эти углы

Работа в тетради. Рассмотрим ABD и BDC

(Устно) Чтобы доказать, что два треугольника равны, найдем у них три равных элемента.

АВ = ВС по условию задачи,

АD = DC по условию задачи,

Значит ABD = BDC по третьему признаку равенства треугольников.

В равных треугольниках соответственные элементы равны.

Значит, угол ABD равен углу DBC.

Следовательно, BD-биссектриса по определению биссектрисы угла.

Алгоритмы решения задач на доказательство.

Задача на доказательство – это утверждение, которое необходимо доказать с помощью аксиом и теорем.

Доказательство ведется на основе признаков равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Алгоритм решения задачи: доказать, что отрезок … равен отрезку ….

В равных треугольниках соответственные элементы равны.

Источник

Отрезок

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.

Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок AB или BA.

Длина отрезка

Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:

длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

Свойства длин отрезков:

Равные отрезки

Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.

Пример. Возьмём два отрезка CD и LM:

Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка C была над точкой L, то станет видно, что точка D располагается над точкой М:

Значит длины отрезков равны, следовательно CD = LM.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.

Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):

Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):

CA > CB или CB Пример. Сравнить длину отрезков AB и AC.

Так как отрезок AB имеет большую длину, чем отрезок AC, то

Так как отрезки AB и AC имеют одинаковую длину, то

Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.

Источник

Теоремы за 7 класс по геометрии

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

«Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.»

Сокращенно его называют равенство «по двум сторонам и углу между ними».

Прежде чем перейти к доказательству теоремы необходимо вспомнить, что называют треугольником и в каком случае можно утверждать, что два треугольника равны.

Что такое треугольник и когда они считаются равными?

Треугольник – это геометрическая фигура из трёх отрезков, соединяющих три точки (при условии, что они не лежат на одной прямой. Эти точки считаются вершинами треугольника. А соединяющие их отрезки – сторонами ).

На рисунке 1 представлен треугольник ABС. Который имеет три вершины (А, В и С). И стороны – АВ, АС и ВС.

Треугольники считаются равными, когда все их стороны и углы соответственно равны друг другу (в случае, когда равны лишь углы, а стороны пропорциональны, треугольники называются подобными ). Таким образом очевидно, что равные треугольники можно наложить друг на друга – и они полностью совпадут.

Доказательство первого признака равенства треугольников

Два треугольника: ABC и DEF (рисунок 2).

По условию теоремы две пары отрезков этих треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF). Углы между отрезками также равны (т.е. ∠ АСВ = ∠ EFD).

Поскольку имеется равенство углов ( ∠ АСВ = ∠ EFD), треугольники можно наложить друг на друга, так чтобы вершина С совпадала с вершиной F.

При этом отрезки СА и СВ наложатся на отрезки FE и FD.

А поскольку отрезки двух треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF по условию), то отрезок АВ также совпадёт со стороной ED.

Это в свою очередь даст совмещение вершин А и D, В и Е.

Следовательно, треугольники полностью совместятся, а значит, они равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN = PR ∡ N = ∡ R ∡ M = ∡ P

Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть Δ MNK и Δ PRT полностью совместятся, значит они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN = PRKN = TRMK = PT

Опять попробуем совместить треугольники Δ MNK и Δ PRT наложением и убедится, что соответственно равные стороны гарантирует и равенство соответственных углов этих треугольников и они полностью совпадут.

Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведем через какую-нибудь точку прямой а перпендикулярную прямую. А теперь проведем через точку А параллельную ей прямую b. Она будет перпендикулярна прямой а, так как прямая а, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок АВ прямой b и есть перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.

Докажем единственность перпендикуляра АВ. Допустим,

существует другой перпендикуляр АС. Тогда у треугольника ABC будут два прямых угла. А это, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти середину стороны;
2. Соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Все медианы пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1. Построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части );
2. Найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3. Соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

У треугольника три угла и три биссектрисы.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1. Провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника ( в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике );
2. Из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней ( перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90° ) — это и будет высота.

Также как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличается.

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самим коротким отрезком.

Если у треугольника две стороны равны, то такой треугольник называют равнобедренным .

Если у треугольника все три стороны равны, то такой треугольник является равносторонним.

Равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой.

У равных треугольников равны все соответствующие элементы:

1. ∡ A = ∡ C — доказано, что прилежащие основанию углы равны.

2. AD = DC — доказано, что биссектриса является медианой.

Можно очень легко самостоятельно доказать и третье и четвёртое свойство.

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и / 1 = / 2. Возьмём точку О — середину отрезка КL секущей ЕF (черт. 189).

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ_|_МN. Докажем, что и СD_|_МN.
Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: / 1 = / 2 по условию теоремы; ОK = ОL — по построению;
/ МОL = / NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, /\ МОL = /\ NОК, а отсюда и
/ LМО = / КNО, но / LМО прямой, значит, и / КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны (§ 33), что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например / 3 = / 2 (черт. 190);
/ 3 = / 1, как углы вертикальные; значит, / 2 будет равен / 1. Но углы 2 и 1 — внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на чертеже 191. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2 d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (черт. 192).

Отсюда / 1 = / 3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2 d, то эти две прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Если две прямые параллельны, то при пересечении их с третьей секущей накрест лежащие углы равны.

Аксиома параллельных прямых.

В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.

Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.

Другие свойства параллельных прямых.

1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.

Эти свойства в отличии от аксиомы нужно доказать.

Докажем 1. Свойство.

Используем противоположное суждение.

Попробуй доказать самостоятельно 2. Свойство.

Таким же методом от противоположного суждения попробуй представить, что возможно ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.

Свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей мы уже назвали в первой части теории.

При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:

— накрест лежащие углы равны,

— соответственные углы равны,

Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Теоремы

Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, топрямые параллельны.

Доказательство

3.4. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами

1. Сумма углов треугольника

Теория:

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Как гласит четвёртое следствие из теоремы о сумме углов треугольника, можно выделить три вида треугольников в зависимости от углов.

У треугольника KLM все углы острые.

На рисунке MN — гипотенуза, MK и KN — катеты.

У треугольника KLM один угол тупой.

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).

Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.

Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Доказательство следствия проводится методом от противного.

Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.

Из теоремы 2 получаем

Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.

Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.

1. Прямоугольные треугольники

Теория:

Свойства прямоугольного треугольника

Справедливо и обратное суждение.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны. Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения:

если катеты одного прямоуголь­ника соответственно равны катетам другого прямоуголь­ного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 101);

если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 102).

Учитывая, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, получаем еще два признака равенства прямоугольных треугольников:

если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 103);

если катет и противолежащий ему угол одного прямоуголь­ного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 104).

В самом деле, в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

Рассмотрим еще один признак равенства прямоугольных треугольников.

Теорема. Если гипотенуза и катет одного прямо­угольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Источник