Как доказать что площади равны треугольников в трапеции

Площадь трапеции

Для вычисления площади произвольного многоугольника его разбивают на треугольники и находят площадь каждого из них. Площадь данного многоугольника равна сумме площадей этих треугольников.

Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, который проведен из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Теорема

Доказательство

Доказать: S = (AD + BC) ВН

Доказательство:

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD. Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

S_ABD = AD BH, S_BCD = BC DH₁.

Так как DH₁ = BH, то S_BCD = BC BH.

S = AD BH + BC BH = (AD + BC) BH.

Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Трапеция

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Доказательство

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем параллельность.

\[MN=MM’+M’N’+N’N=\dfrac12 AB’+B’C’+\dfrac12 C’D=\] \[=\dfrac12 \left(AB’+B’C’+BC+C’D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам ( \(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

2)

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Источник

Площадь трапеции

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.

Спасибо Вам, Александр Николаевич! Вы мне очень помогли. Мой муж метролог, сейчас повышает квалификацию и мне пришлось помогать ему делать курсовик. Так вот формула вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам (а я уже многое забыла со школы) мне очень помогла, в интернете ничего подобного не нашла. Спасибо Вам большое.

Уважаемый Александр Николаевич!
Если Вам не трудно, помогите решить задачу №8 из предложеных Вами. Если я правильно поняла Вас, здесь нужно применить Ваш метод сдвига диагонали?
Буду очень признательна.
С уважением Водяева С В

Нет, диагональ трапеции трогать не нужно. Обозначьте буквой икс высоту трапеции и выразите с помощью площадей 6 и 14 ее основания. Затем проведите вторую высоту. От трапеции отсекутся два равных боковых треугольника. У каждого из них один из катетов — высота трапеции (то есть икс), а второй катет — полуразность оснований. Затем запишите теорему Пифагора для одного из боковых треугольников. Подставьте туда боковую строну 4, и полученные выражения для катетов. Ответом к задаче будет корень уравнения.

Уважаемый Александр Николаевич! Сын готовился к ГИА и не смог решить задачу, которая опубликована у Вас последней (№9). Натолкните на путь истинный, если можно, у нашего преподавателя математики пока тоже нет решения. Заранее спасибо.

Через вершину верхнего основания трапеции проведите параллельно диагонали отрезок до его пересечения с основанием. Образуется треугольник, две стороны которого будут равны диагоналям трапеции. Длина медианы, проведенной к третьей стороне данного треугольника, равна длине отрезка, соединяющего середины оснований (это не сложно доказать). Площадь треугольника, очевидно, равна площади трапеции (в моем справочнике этот факт назван теоремой о сдвиге диагонали трапеции).

Извините,Александр я не понимаю почему в 3-ем доказательстве площади трапеции площадь треугольника EBD равна площади трапеции ABCD, прежде чем такое утверждать, надо доказать что треугольник EBD=ABCD-трапеции. Не могли бы вы подсказать как это доказать?!

Не очень понял, что именно Вам не ясно. На странице опубликовано достаточно добротное доказательство. Я специально писал так, чтобы в нем можно было разобраться без всякого репетитора по математике, то есть самостоятельно. Равенство площадей следует из равенства выражений, отвечающих за площади. Изучите материал повнимательнее.

Откуда вы знаете что площадь треугольника BED равна площади трапеции ABCD? Нам формулу площади трапеции вывести надо, а выводится формула площади треугольника BED. Нет, конечно, мы знаем чему равна площадь трапеции по формуле, ну надо же формулу как-то вывести, а вы пишите,что площадь треугольника BED равна площади трапеции. Откуда вы это знаете? Вы же не доказали это! Поэтому и непонятно!

В третьем пункте не выводится ни площадь треугольника, ни площадь трапеции. Доказывается только равенство этих площадей. Формула же площади трапеции выведена в самом начале страницы. Читайте внимательнее. Советую найти хорошего репетитора по математике, чтобы он объяснил Вам все доказательства в отдельности, ибо в комментариях к странице не совсем удобно вести полноценную разъяснительную работу. Обучение математике — живой процесс!

Спасибо большое, помогла последняя формула, которую не доказывали. Буду и дальше к ГИА по математике (теперь уже к ЕГЭ) готовиться вместе с вашим сайтом.

Спасибо большое за такие подробные доказательства!

Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь. Не могу решить. Подскажите какой формулой тут воспользоваться.

Базовой прямой формулы нет. Сделайте так: через любую вершину верхнего основания проведите прямую, параллельную одной из диагоналей до пересечения с нижним основанием. Образуется треугольник с площадью, равной площади трапеции. Легко найти все его стороны, а затем и площадь. Удачи!

Спасибо, очень пригодилось.

И как же выйти на площадь трапеции в 9 задаче? Подскажите, пожалуйста. Не могу сообразить. Заранее огромное спасибо репетитору по математике за помощь.

Воспользуйтесь методом «сдвига диагонали». Получится треугольник со сторонами, которые равны диагоналям трапеции и медианой, равной длине отрезка, соединяющего середины ее оснований. Правда последнее необходимо будет доказать. По двум сторонам и медиане найти площадь полученного треугольника несложно.

спасибо.Еще раз обращаюсь за помощью-заело с задачей:
Плот проплывает путь из А в В за 6 часов,а моторная лодка из В в А за 2 часа.За какое время моторная лодка преодолеет такое же расстояние в стоячей воде?Подскажите,пожалуйста,направление решения.Заранее признательна.

Александр, подскажите пожалуйста как во втором доказательстве площади трапеции мы можем выразить площадь 4-х треугольников? Ведь нам известны только две диагонали трапеции и угол между ними

Там вроде все внятно изложено. Выражать площади треугольников нужно через кусочки диагоналей. После всех преобразований они сложатся в полные диагонали.

Можно ли найти площадь неправильного четырёхугольника, если известны длины всех его сторон в отдельности (периметр)?

Нет, конструкция будет «плавающей». В случае правильного четырехугольника легко привести показательный пример — ромб. С неправильным ситуация аналогичная.

Уважаемый Александр Николаевич! Есть похожая на Вашу 6 задачу: Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол 60. Найти площадь трапеции, если большее основание равно 6 см.
Натолкните, пожалуйста, на путь истинный.

Здравствуйте! Воспользуйтесь теоремой о сдвиге диагонали. Получится равносторонний треугольник (равнобедренный с углом 60 градусов), имеющий сторону 6 см. Его площадь равна площади трапеции.

Источник

Как доказать что площади равны треугольников в трапеции

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.<2>^<○>$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

$$ 4.<3>^<○>$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.<4>^<○>$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.<5>^<○>$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.<6>^<○>$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

$$ 4.<7>^<○>$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.<8>^<○>$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.<10>^<○>$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.<11>^<○>$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«|\|«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.<12>^<○>$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

Источник