Как доказать что прогрессия бесконечно убывающая

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

РАЗДЕЛ 8. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ТЕМА: Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Цель занятия: узнать, что называется геометрической прогрессией и формулу суммы ее членов.

Порядок выполнения работы:

1)Изучить теоритический материал, составить конспект в тетради;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Очевидно, что первый член последовательности, и, следовательно, все ее члены, отличны от нуля.

Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Основное свойство геометрической прогрессии.

· квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних:

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

ВАЖНО! Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой ее член.

Несложно получить формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

. (1)

Умножим обе части равенства на

. (2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1). Получим:

(остальные слагаемые в правой части равенства взаимно уничтожатся)

Отсюда получаем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

(1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если знаменатель геометрической прогрессии , то каждый следующий член прогрессии по модулю меньше предыдущего.

Такая геометрическая прогрессия называетсябесконечно убывающей.

Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы находим по формуле:

(2)

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (2) мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов. Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой (1) суммы n членов, даже если .

Практические задания

Задание 1. Какие из данных последовательностей являются геометрическими прогрессиями?

Задание 2. Дана геометрическая прогрессия

1. Найдите пятый член прогрессии.

2. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

Задание 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии

Задание 4. В геометрической прогрессии известно, что . Найти пятый член этой прогрессии.

. Укажите десятый член этой прогрессии. Найдите сумму первых трех членов этой прогрессии

Источник