Как доказать что пространство метрическое

Точками пространства \(R^\) являются упорядоченные совокупности из \(n\) вещественных чисел
$$
x = (x_<1>, \ldots, x_),\quad y=(y_<1>, \ldots, y_),\quad z = (z_<1>, \ldots, z_).\nonumber
$$
Расстояние между точками \(x\) и \(y\) определяется формулой
$$
\rho(x,y) = \left(\sum_^(x_ — y_)^<2>\right)^<1>.\label
$$

Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника.

Докажем сначала неравенство Коши
$$
\left(\sum_^a_b_\right)^ <2>\leq \sum_^a_i^<2>\sum_^b_i^<2>,\nonumber
$$
справедливое для любых вещественных чисел \(a_<1>, b_<1>,\dots, a_, b_\).

\(\circ\) Рассмотрим квадратный трехчлен
$$
P(\xi) = \sum_^(a_ + \xi b_)^ <2>= A + 2B\xi + C \xi^<2>,\label
$$

Так как квадратный трехчлен \(P(\xi)\) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно, \(B^ <2>— AC \leq 0\). Подставляя в неравенство значения коэффициентов \(A\), \(B\) и \(C\), получаем неравенство Коши. \(\bullet\)

Полагая в неравенстве \eqref \(a_ = x_ — z_, \ b_ = z_ — y_\), получаем неравенство
$$
\left(\sum_ <\substack>^<\substack>(x_ — y_)^<2>\right)^ <1>\leq \left(\sum_ <\substack>^<\substack>(x_ — z_)^<2>\right)^ <1>+ \left(\sum_ <\substack>^<\substack>(z_ — y_)^<2>\right)^<1>,\nonumber
$$
то есть неравенство треугольника для расстояния \(\rho(x,y)\), определяемого формулой \eqref.

На множестве всех упорядоченных совокупностей из \(n\) вещественных чисел расстояние между элементами можно определить и другими способами. Например, можно положить
$$
\tilde<\rho>(x,y) = \max_<\substack>>|x_ — y_|,\qquad \hat<\rho>(x,y) = \sum_ <\substack>^<\substack>|x_ — y_|.\nonumber
$$
Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так же, как в случае \(n = 2\). Расстояние, определяемое формулой \eqref, будем называть евклидовым.

В этой главе, посвященной функциям многих переменных, используется только метрическое пространство \(R^\). Но те свойства пространства \(R^\), при доказательстве которых существенны лишь свойства расстояния, будут справедливы и для произвольного метрического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательства будут проводиться для произвольного метрического пространства.

Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.

Пусть \(\\>\) — последовательность точек метрического пространства \(X\). Говорят, что последовательность точек \(\\>\) сходится к точке \(a\) (имеет предел \(a\)) и пишут \(\displaystyle\lim_x^ <(k)>= a\), если
\(\displaystyle\lim_<\substack>\rho(x^<(k)>, a) = 0\). Последовательность точек \(\\>\) называется ограниченной, если \(\exists C \in R\) и \(\exists a \in X\) такие, что для любого \(k \in \mathbb\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>,a) \leq C\).

Докажем несколько простых свойств сходящихся последовательностей.

Если последовательность \(\\>\) имеет предел, то она ограничена.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_<\substack>x^ <(k)>= a\), тогда \(\displaystyle\lim_<\substack>\rho(x^<(k)>, a) = 0\). Поэтому числовая последовательность \(\<\rho(x^<(k)>, a)\>\) ограничена, то есть \(\exists C \in R\) такое, что для любого \(k \in \mathbb\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>, a) \leq C\). \(\bullet\)

Последовательность \(\\>\) не может сходиться к двум различным точкам.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_<\substack>x^ <(k)>= a\) и \(\displaystyle\lim_<\substack>x^ <(k)>= b\). В силу неравенства треугольника для любого \(k \in \mathbb\) выполнено неравенство
$$
0 \leq \rho(a, b) \leq \rho(a, x^<(k)>) + \rho(x^<(k)>, b).\nonumber
$$
Так как числовые последовательности \(\rho(a, x^<(k)>)\) и \(\rho(x^<(k)>, b)\) бесконечно малые, то \(\rho(a, b) = 0\). Поэтому \(a = b\). \(\bullet\)

Для того чтобы последовательность точек \(\\>\) метрического пространства \(R^\), где \(x^ <(k)>= (x_<1>^<(k)>, \ldots, x_^<(k)>)\), сходилась к пределу \(a = (a_<1>, \ldots, a_)\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
$$
\lim_<\substack>x_^ <(k)>= a_,\quad i = \overline<1, n>.\nonumber
$$

Наоборот, если при любом \(i = \overline<1, n>\) выполнено условие \(\displaystyle\lim_<\substack>|x_^ <(k)>— a_| = 0\), то
$$
\rho(x^<(k)>, a) = \left(\sum_ <\substack>^<\substack>(x_^ <(k)>— a_)^<2>\right)^ <1>\rightarrow 0,\quad при \ k \rightarrow \infty.\quad\bullet\nonumber
$$

Последовательность точек \(\\>\) метрического пространства \(X\) называется фундаментальной, если \(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb\) такое, что \(\forall k \geq N\) и \(\forall m \geq N\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>, x^<(m)>) Лемма 4.

Если последовательность точек \(\\>\) метрического пространства \(X\) сходится, то она фундаментальна.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_x^ <(k)>= a\). Тогда \(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb\) такое, что \(\forall k \geq N\) и \(\forall m \geq N\) выполнены неравенства \(\rho(x^<(k)>, a) Теорема 1.

Пространство \(R^\) полное.

\(\circ\) Пусть \(\\>\) — фундаментальная последовательность точек в \(R^\). Если
$$
x^ <(k)>= (x_<1>^<(k)>, \ldots, x_^<(k)>),\nonumber
$$
то числовые последовательности \(\^<(k)>\>\) фундаментальны при \(i = \overline<1, n>\). В самом деле, \(\forall \varepsilon > 0\) \(\exists N\) такое, что для любых \(k, m \geq N\) выполнено неравенство \(\rho(x^<(k)>, x^<(m)>)

Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.

Шар радиуса \(r\) с центром в точке \(a\) определяется как множество \(S_(a) = \

Шар в метрическом пространстве — открытое множество.

\(\triangle\) Действительно, пусть
$$
S_(a) = \ Рис. 23.1

Открытые множества в метрическом пространстве обладают следующими свойствами:

\(\circ\) Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть \(G = \displaystyle\bigcup_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>G_<\alpha>\), где \(G_<\alpha>\) — открытые множества. Пусть точка \(a \in G\). Тогда существует \(\overline <\alpha>\in \Lambda\) такое, что \(a \in G_<\overline<\alpha>>\). Но множество \(G_<\overline<\alpha>>\) открытое. Поэтому существует шар \(S_<\varepsilon>(a) \subset G_<\overline<\alpha>>\). Тем более, \(S_<\varepsilon>(a) \subset G\). Итак, \(a\) — внутренняя точка множества \(G\). В силу произвольности точки \(a\) множество \(G\) открытое.

Докажем 3). Пусть \(G = \displaystyle\bigcap_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>^G_\), где \(G_\) — открытые множества. Возьмем любую точку \(a \in G\). Тогда \(a \in G_\) при \(i = \overline<1, n>\). Так как множества \(G_\) открытые, то существуют шары \(S_<\varepsilon_>(a) \subset G_\). Пусть \(\varepsilon = \displaystyle\min_<\substack>>\varepsilon_\). Тогда \(S_<\varepsilon>(a) \subset G_\), \(i = \overline<1, n>\). Поэтому
$$
S_<\varepsilon>(a) \subset \bigcap_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>^G_ = G,\nonumber
$$
и, следовательно, \(G\) есть открытое множество. \(\bullet\)

Предельные точки. Замкнутые множества.

Пусть \(X\) — метрическое пространство. Окрестностью точки \(x^<0>\in X\) будем называть любое множество \(O(x^<0>)\), для которого точка \(x^<0>\) является внутренней. Например, шар \(S_<\varepsilon>(x^<0>)\) является окрестностью (шаровой) точки \(x^<0>\).

Точка \(x^<0>\) называется предельной точкой множества \(M \subset X\), если в любой окрестности точки \(x^<0>\) есть точки множества \(M\), отличные от точки \(x^<0>\). Предельная точка множества \(M\) может принадлежать множеству \(M\), а может и не принадлежать. Например, все точки интервала \((a, b)\) будут его предельными точками. Концы интервала \(a\) и \(b\) — тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.

Точка множества \(M\), не являющаяся предельной точкой множества \(M\), называется изолированной точкой множества \(M\). Если \(x^<0>\) есть изолированная точка множества \(M\), то существует такая окрестность \(O(x^<0>)\), в которой нет точек множества \(M\), отличных от точки \(x^<0>\). Каждая точка множества \(M\) является или предельной точкой множества \(M\), или изолированной точкой множества \(M\).

Множество \(M \subset X\) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Например, отрезок [\(a, b\)] замкнут в \(R\), а интервал \((a, b)\) не является замкнутым множеством в \(R\).

Множество, которое получается, если присоединить к множеству \(M\) все его предельные точки, называется замыканием \(M\) и обозначается \(\overline\).

Для того чтобы множество \(F\) в метрическом пространстве \(X\) было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение \(X \setminus F\) было открытым.

\(\circ\) Необходимость. Пусть множество \(F \subset X\) содержит все свои предельные точки. Докажем, что его дополнение \(G = X \setminus F\) есть открытое множество. Если это не так, то существует точка \(a \in G\), не являющаяся внутренней точкой множества \(G\). Тогда в любой окрестности \(O(a)\) точки \(a\) есть точки, не принадлежащие \(G\), то есть принадлежащие множеству \(F\). Поэтому \(a\) есть предельная точка множества \(F\). Так как \(F\) замкнуто, то \(a \in F\). С другой стороны, \(a \in G = X \setminus F\) и, следовательно, \(a \notin F\). Полученное противоречие доказывает, что все точки \(G = X \setminus F\) внутренние, то есть \(G\) — открытое множество.

Достаточность. Пусть теперь \(X \setminus F = G\) — открытое множество. Покажем, что \(F\) замкнуто. Пусть \(a\) — предельная точка \(F\). Предположим, что \(a \notin F\). Тогда \(a \in G\), а так как \(G\) — открытое множество, то найдется окрестность \(O(a) \subset G\). Но тогда \(O(a) \bigcap F = \varnothing\), следовательно, \(a\) не может быть предельной точкой множества \(F\). Поэтому множество \(F\) содержит все свои предельные точки, то есть \(F\) замкнуто. \(\bullet\)

Замкнутые множества обладают следующими свойствами:

\(\circ\) Свойство 1) очевидно, так как \(X\) и \(\varnothing\) являются друг для друга дополнениями и открыты.

Докажем 2). Пусть \(F = \displaystyle\bigcap_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>F_<\alpha>\), где \(F_<\alpha>\) — замкнутые множества.

В силу закона двойственности (легко проверяемого)
$$
X \setminus F = \bigcup_ <\substack<\alpha \in \Lambda>>(X \setminus F_<\alpha>).\nonumber
$$
Однако в силу теоремы 3 множества \(X \setminus F_<\alpha>\) открыты как дополнения замкнутых множеств. Их объединение \(X \setminus F\) есть открытое множество. В силу той же теоремы 3 множество \(F\) замкнуто. Столь же просто доказывается и свойство 3). \(\bullet\)

Компакт в метрическом пространстве.

Множество \(M\) в метрическом пространстве \(X\) называется компактом в \(X\), если из любой последовательности точек \(x_ \in M\) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству \(M\). Например, отрезок \([a, b]\) есть компакт в \(R\), а промежуток \([a, b)\) не является компактом в \(R\).

На пространство \(R^\) обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности точек пространства \(R^\) можно выделить сходящуюся подпоследовательность точек.

\(\circ\) Ограничимся случаем пространства \(R^<2>\). В общем случае доказательство аналогично. Пусть \(x^ <(k)>= (x_<1>^<(k)>, x_<2>^<(k)>)\) — произвольная ограниченная последовательность точек пространства \(R^<2>\). Числовая последовательность \(\^<(k)>\>\) ограничена. В силу теоремы Больцано Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность \(\^<(k_)>\>\). Тогда у последовательности точек \(x^<(k_)>\) последовательность первых координат сходится, а последовательность вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности \(\^<(k_)>\>\) сходящуюся подпоследовательность \(\^<(k_>)>\>\). У последовательности точек \(\>)>\>\) сходится и последовательность первых координат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек \(\>)>\>\) сходится в \(R^<2>\). \(\bullet\)

Для того чтобы множество \(M \subset R^\) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество \(M\) было ограниченным и замкнутым.

\(\circ\) Докажем достаточность. Пусть множество \(M\) ограничено и замкнуто в пространстве \(R^\). Возьмем произвольную последовательность точек \(\\> \in M \). Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность \(\)>\>\), сходящуюся к точке \(a\). В силу замкнутости множества \(M\) точка \(a \in M\). \(\bullet\)

Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приводится.

Для того чтобы множество \(M\) в метрическом пространстве \(X\) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделить конечное подпокрытие.

Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке леммы Гейне-Бореля. Система множеств \(\<, \ \alpha \in \Lambda>\>\) называется покрытием множества \(G\), если \(G \subset \displaystyle\bigcup_<\substack<\alpha \in \Lambda>>G_<\alpha>\). Покрытие называется конечным, если множество \(\Lambda\) конечно, и открытым, если все множества \(G_<\alpha>\) открыты. Подмножество покрытия называется подпокрытием, если это подмножество само образует покрытие.

Граница множества.

Точка \(a\) метрического пространства \(X\) называется граничной точкой множества \(M \subset X\), если в любой окрестности точки \(a\) есть как точки, принадлежащие множеству \(M\), так и точки, не принадлежащие множеству \(M\).

Граничная точка \(a\) множества М может не принадлежать множеству \(M\).

Совокупность всех граничных точек множества \(M\) называется границей множества \(М\) и обозначается \(\partial M\). Например,
$$
\partial (a, b) = \, \ \partial [a, b] = \, \ a, b \in R;\nonumber
$$
$$
\partial\

До сих пор рассматривались только такие объекты в \(R^\), при исследовании которых используются лишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не очень содержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов, плоскостей и так далее.

В этой главе ограничимся тем, что введем в \(R^\) такие не связанные с метрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.

Прямой в \(R^\), проходящей через точки \(a = (a_<1>, \ldots. a_)\) и \(b = (b_<1>, \ldots. b_)\), будем называть следующее множество точек:
$$
\, \ x_ = a_t + b_(1 — t), \ t \in R, \ i = \overline<1, n>\>.\nonumber
$$
Лучом с вершиной в точке \(a\) в направлении \(l = (l_<1>, \ldots. l_)\), где \(l_<1>^ <2>+ \ldots + l_^ <2>= 1\), назовем множество
$$
\, \ x_ = a_ + tl_, \ 0 \leq t \leq + \infty, \ i = \overline<1, n>\>.\nonumber
$$
Отрезком, соединяющим точки \(a\) и \(b\), назовем множество
$$
\, \ x_ = a_t + b_(1 — t), \ 0 \leq t \leq 1, \ i = \overline<1, n>\>.\nonumber
$$
Множество в \(R^\) будем называть выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точки соединяет.

Множество \(M \subset R^\) называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой \(\Gamma\), лежащей в множестве \(M\). Открытое и связное множество в \(R^\) называют областью. Замыкание области называют замкнутой областью.

Кривая в \(R^\), являющаяся объединением конечного числа отрезков, называется ломаной в \(R^\).

Источник

Метрическое пространство

Содержание

Метрика и метрическое пространство [ править ]

Пусть [math]X[/math] — абстрактное множество.

[math] X \times X = \ < (x_1, x_2): x_i \in X \>[/math] — прямое произведение множества [math]X[/math] на себя

Если на [math]X[/math] определена метрика, то пара [math](X, \rho)[/math] называется метрическим пространством, аббревиатура — МП.

Примеры метрических пространств [ править ]

[math] X = \mathbb^n = \underbrace <\mathbb\times \mathbb \times \dots \times \mathbb>_ ; \overrightarrow = (x_1, \dots, x_n) [/math]

То есть, одно и то же множество можно по-разному превращать в метрическое пространство.

Открытые шары [ править ]

Для метрических пространств основное значение имеют открытые шары.

Пример открытого шара [ править ]

Свойства шаров [ править ]

Замечание: для [math]X = \mathbb[/math] это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).

Пусть [math] y \in V_(b)[/math]

Открытые множества [ править ]

Свойства открытых множеств [ править ]

Доказательство свойства 3:

Докажем для двух множеств. Тогда, очевидно, это будет верно и для [math]n[/math] множеств. [math] G_1 = \bigcup\limits_<\alpha>V_<\alpha>; G_2 = \bigcup\limits_<\beta>V_ <\beta>[/math] [math] G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_<\alpha, \beta>(V_ <\alpha>\cap V_<\beta>) [/math] По основному свойству шаров: [math] b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow \exists V(b) \subset V_\alpha \cap V_\beta [/math] Следовательно [math] V_ <\alpha>\cap V_ <\beta>[/math] — объединение открытых шаров [math] \Rightarrow G_1 \cap G_2 [/math] — тоже объединение открытых шаров [math] \Rightarrow G_1 \cap G_2 \in \tau[/math] по 2 свойству.

Замкнутые множества [ править ]

Применяя закон де Моргана, видим что класс открытых множеств [math] \tau [/math] двойственен классу замкнутых множеств.

Свойства замкнутых множеств [ править ]

Предел в метрическом пространстве [ править ]

[math] \rho(x’, x») \leq \rho(x’, x_n) + \rho(x», x_n) \Rightarrow \rho(x’, x») = 0 \Rightarrow x’ = x» [/math]

На самом деле, этот факт — свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:

Пусть [math] (X, \tau) [/math] — ТП, тогда если [math] \forall a \ne b: \exists G_1, G_2 \in \tau :[/math]

Тогда в таком ТП выполнима аксиома отделимости Хаусдорфа.

Частный случай на МП:

Основное характеристическое свойство замкнутых множеств [ править ]

Докажем от противного.

Источник

Лекция № 2 Метрические пространства Определение и примеры

Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено понятие расстояния между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства – одному из важнейших понятий современной математики.

Примеры метрических пространств.

1) Положив для элементов произвольного множества

мы получим метрическое пространство. Его называют пространством изолированных точек.

2) Множество действительных чисел с расстоянием

3) Множество упорядоченных групп из действительных чисел с расстоянием

Докажем его. Справедливо тождество

Но это неравенство сразу следует из неравенства Коши-Буняковского:

Таким образом, неравенство треугольника для метрики (3) установлено.

5) В том же самом множестве, что и в примерах 3 и 4, определим расстояние между элементами по формуле

Замечание 1. Примеры 3, 4 и 5 показывают, что иногда важно иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для множества его точек, так как один и тот же запас точек может быть по разному метризован.

также образует метрическое пространство, которое играет важную роль в анализе.

7) Обозначим через метрическое пространство, элементами которого служат всевозможные последовательности дейст-

Покажем теперь, что функция расстояния (7) удовлетворяет аксиомам метрики. Аксиомы 1 и 2 очевидны, а аксиома треугольника принимает здесь вид

В силу сказанного выше каждый из трех написанных здесь рядов сходится. С другой стороны, при каждом справедливо неравенство

Аксиомы 1 и 2 метрического пространства очевидны, а аксиома треугольника вытекает из интегральной формы неравенства Коши-Буняковского

Это неравенство может быть получено из легко проверяемого тождества

9) Рассмотрим множество всех ограниченных последовательностей действительных чисел. Полагая

Предлагаю в качестве упражнения убедиться в том, что все перечисленные в примерах 1 – 9 метрики удовлетворяют аксиомам 1 – 3.

которое легко выводится из неравенства треугольника.

Изометрия пространств и означает, что метрические связи между их элементами одни и те же; различной может быть лишь природа их элементов, что с точки зрения теории метрических пространств несущественно.

Предельные точки. Замыкание. Введем некоторые понятия теории метрических пространств.

Теорема 1. Операция замыкания обладает следующими свойствами:

Третье свойство очевидно. Докажем четвертое свойство.

Утверждение 1. Всякая точка прикосновения множества есть либо предельная либо изолированная точка этого множества.

изолированные точки множества ;

Таким образом, замыкание получается присоединением к всех его предельных точек.

Непосредственно из определения предела вытекает, что

никакая последовательность не может иметь двух различных пределов,

Следующая теорема устанавливает тесную связь между понятиями точки прикосновения и предела.

Примеры сепарабельных метрических пространств. Рассмотрим примеры метрических пространств, приведенные в начале этой лекции.

Источник

• ← К чему снятся новые джинсы девушке
• К чему снятся киты касатки →