Как доказать что сечение прямоугольник

Как доказать что сечение прямоугольник

В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — середина AB, точка K — середина BC. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Ω является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Ω, если известно, что SC = 5, AC = 6.

а) Пусть L — середина SC, M — середина SA. Тогда (средняя линия треугольника параллельна его стороне) и, значит, точки P, K, L, M лежат в одной плоскости. Поскольку также это и есть описанная в условии плоскость А сечение пирамиды — четырехугольник PKLM. Он параллелограмм, поскольку Вычислим его угол.

поскольку проекция SB на плоскость ABC — высота BH треугольника ABC.

б) Проведем плоскость SBH, где H — середина AC. Пусть она пересекает ML и PK в точках T и Q соответственно. Эта плоскость перпендикулярна ML, поскольку Поэтому любая прямая в этой плоскости перпендикулярна ML. Значит, если опустить перпендикуляр из B на TQ — это и будет искомое расстояние. Очевидно также, что T и Q — середины SH и BH соответственна, поэтому TQ — средняя линия треугольника SHB и

Рассмотрим треугольник SHB. В нем Если провести в нем высоту из вершины S, она упадет в ценр треугольника ABC, то есть в точку, делящую BH в отношении откуда длина этой высоты равна Теперь можно найти нужное расстояние.

Ответ:

Источник

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью CDA1 — прямоугольник.

В 4:04 поступил вопрос в раздел ЕГЭ (школьный), который вызвал затруднения у обучающегося.

Вопрос вызвавший трудности

Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru

Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал следующим образом: В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью CDA1 — прямоугольник.

После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:

решение задания по геометрии

НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ АВТОРЕ ЭТОГО ОТВЕТА:

Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте. Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на этой странице.

ПОМОГАЕМ УЧИТЬСЯ НА ОТЛИЧНО!

Выполняем ученические работы любой сложности на заказ. Гарантируем низкие цены и высокое качество.

Деятельность компании в цифрах:

Зачтено оказывает услуги помощи студентам с 1999 года. За все время деятельности мы выполнили более 400 тысяч работ. Написанные нами работы все были успешно защищены и сданы. К настоящему моменту наши офисы работают в 40 городах.

Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.

Источник

Задание №14 на ЕГЭ-2019. Различные методы и способы решения.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Задание №14 на ЕГЭ-2019. Различные методы и способы решения. Колупаев В.А. МБОУ СОШ №25.

Задание № 14 на ЕГЭ-2019. Различные методы и способы решения.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Дальний Восток. Вариант Р.Я.

а) сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

1-й способ (метод координат).

Координаты этих точек находим из векторных равенств и

Подставляя координаты точек P и K в уравнение плоскости и определения скалярного произведения векторов получим систему уравнений.

б) Расстояние от точки S до плоскости найдем по

Решение: 2-й способ (геометрический метод).

а) сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

Задание № 14 на ЕГЭ — 2019 по математике, профиль. Дидактические материалы.

Основная волна 29.05.2019.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Дальний Восток. Вариант Р.Я.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. С.Петербург. Вариант Р.Я.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскость является прямоугольником.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант Я.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью является прямоугольником.

Отве: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Центр Вариант Р.Я.

Ответ: . Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант М.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №316.Р.

а) Докажите, что плоскость параллельна прямой SA .

б) Найдите угол между плоскостями и SBC .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №324.Я.

а) Докажите, что плоскость параллельна прямой SA .

б) Найдите угол между плоскостями и SBC .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №324.Я.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант Л.А.Я.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №405.Р.

Ответ:б) Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №409.Р.Я.

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью — квадрат.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью, если

Ответ:б)3 Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №991.Р.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью является прямоугольником .

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости угол .

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является равнобедренной трапецией.

Основная волна. Резерв. 24.06.2019.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна. Резерв. 24.06.2019. Вариант №503.и Кавказ. Р.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна. Резерв. 24.06.2019. Вариант Л.

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна. Резерв. 24.06.2019. Вариант 992.Р.

Досрочная волна (29.03.19).

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. 29.03.2019. Вариант

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. 29.03.2019. Вариант

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды PABC .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. 29.03.2019. Вариант

Досрочная волна, резерв. (10.04.19).

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. Резерв. 10.04.2019. Вариант

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. Резерв. 10.04.2019. Вариант

Источник

Как доказать что сечение прямоугольник

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC₁, если AA₁ = 6, AB = 4.

Плоскость проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость пересекает плоскость основания по прямой, содержащей точку В и параллельной АС. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC основания в точках E и F соответственно. Тогда пересекает плоскость боковых граней по прямым D₁E и D₁F. Пусть M и N — точки пересечения этих прямых с боковыми ребрами параллелепипеда, тогда BMD₁N — сечение параллелепипеда плоскостью

Поскольку плоскость сечения проходит через прямую EF, параллельную плоскости ACC₁A₁ и пересекает её по прямой MN, прямая MN параллельна EF, а значит, параллельна AC.

По условию, сечение является ромбом, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому и По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D₁B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.

Приведем другое рассуждение. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому MN проходит через середину D₁B. Кроме того, прямая MN параллельна прямой AC, а значит, и прямой EF. Из этого следует, что MN — средняя линия треугольника ED₁F, а тогда точки M и N — середины рёбер параллелепипеда. Прямоугольные треугольники ABM и равны по гипотенузе и катету: Значит, а ABCD является квадратом.

б) Пусть K — середина ребра BB₁ а KH — высота треугольника BKN. Тогда плоскость MKH перпендикулярна прямой BN. Значит, угол MHK — линейный угол искомого двугранного угла. (Или: проведём перпендикуляры MK и KH, по теореме о трёх перпендикулярах MH — также перпендикуляр к BN, поэтому MHK — линейный угол искомого двугранного угла).

В прямоугольном треугольнике BKN имеем:

Иначе. Сечение является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: Проекцией ромба сечения на боковую грань ВСС₁В₁ является параллелограмм ВKС₁N, площадь которого равна половине площади прямоугольника ВСС₁В₁ то есть 12. Поскольку для искомого угла между плоскостями получаем:

Ответ: или

В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — делит сторону AB в отношении считая от вершины A, точка K — делит сторону BC в отношении считая от вершины C. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости если известно, что

а) Заметим, что поэтому треугольники PBK и ABC подобны, а тогда PK || AC. Поскольку плоскость проходит через прямую PK, параллельную плоскости ASC, пересекает ASC по прямой, параллельной PK. Пусть эта прямая пересекает SA и SC в точках M и L соответственно. Тогда прямые PK, AC и LM параллельны.

Кроме того, по условию, поэтому прямые MP и LK параллельны SB, а значит, параллельны между собой. Тогда в четырёхугольнике LMKP противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, сечение — параллелограмм.

Скрещивающиеся рёбра правильной пирамиды взаимно перпендикулярны, поэтому перпендикулярны соответственно параллельные им прямые LM и LK. Тем самым, стороны сечения перпендикулярны, следовательно, сечение — прямоугольник. Это и требовалось доказать.

б) Пусть H — середина AC. Проведём SH и BH и пусть плоскость SHB пересекает по прямой QR. Тогда QR || SB, а расстояние от точки S до плоскости равно d(SB, QR) — расстоянию между параллельными прямыми SB и QR. Найдем его.

В треугольнике SHB длина Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть тогда тогда, применяя теорему Пифагора из треугольников BHT и SHT получаем:

Тогда

По условию, поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно,

Ответ: б)

Аналоги к заданию № 525393: 526014 526216 Все

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK : KA₁ = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD₁ в точке M.

б) Найдите площадь сечения, если AB = 4, AA₁ = 6.

а) Проведём в прямоугольнике отрезок KL параллельно AC. Заметим, что плоскость KBL параллельна прямой AC по признаку параллельности прямой и плоскости. Поэтому KBL — плоскость сечения. Плоскость сечения пересекает параллельные грани призмы по параллельным отрезкам. Проведём отрезок LM параллельно BK, проведем отрезок KM. Полученный четырёхугольник BLMK — искомое сечение. (См. Правила в конце пояснения.)

Из равенства АК = LC следует, что CL : LC₁ = 1 : 2. В силу параллельности прямых KB и ML получаем, что DM = 2LC, а тогда DM : MD₁ = 2 : 1. Это и требовалось доказать.

б) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах прямые BM и AC перпендикулярны, а значит, прямые BM и KL перпендикулярны. Площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей. Найдем их: как диагональ квадрата, лежащего в основании призмы, по теореме Пифагора. Тогда

Ответ: б)

Иное рассуждение в пункте б).

Заметив, что можно было бы заключить, что сечением является ромб, и найти его площадь как половину произведения диагоналей.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA₁ равно 3. На ребрах AB и B₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причём AK = B₁L = 2. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

а) Так как плоскость γ параллельна прямой AC, она пересекает основание трапеции по прямым, параллельным AC. Пусть Прямые и AC параллельны. Сечением будет являться равнобедренная трапеция

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через медиану перпендикулярно основаниям трапеции. Оно будет являться прямоугольником где — середина AC. Пусть это сечение пересекает плоскость γ по прямой ST, где S — середина а T — середина Точка O — точка пересечения прямых BM и ST. Заметим, что как медианы равностороннего треугольника. Так как треугольники и ABC подобны, Пусть — проекция T на а — проекция S на отсюда очевидно, что O — середина BM и середина ST. Далее:

То есть для треугольника BOT выполнена теорема, обратная теореме Пифагора. Следовательно, прямая BM перпендикулярна прямой ST. Кроме этого, BM перпендикулярна прямой следовательно, BM перпендикулярна плоскости γ, что и требовалось доказать.

б) Поскольку, из пункта а, прямая BM перпендикулярна плоскости γ, прямая — высота пирамиды. Основанием является равнобедренная трапеция с высотой и основанием и отсюда:

Ответ:

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A₁B₁ так, что В₁L = 5. Точка М — середина A₁C₁. Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.

а) Докажите, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.

б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

а) Отметим точки и на ребрах и AB соответственно так, чтобы Тогда плоскость это плоскость

Очевидно поскольку проекция BM на плоскость ABC — высота треугольника Она перпендикулярна AC, а значит и По теореме о трех перпендикулярах

Рассмотрим теперь проекцию точки M на плоскость Поскольку проекция на эту плоскость — середина ребра то Докажем теперь, что прямая перпендикулярна Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется что а тогда и

Обозначим за O точку пересечения отрезков и за и — проекции точек и L на прямую Тогда

Итак, тангенсы этих углов обратны друг другу, поэтому углы в сумме дают 90° и угол = 180° − 90° = 90°, что и требовалось доказать.

б) Очевидно так как — равносторонний треугольник.

Ответ:

Для вычисления объема тетраэдра использована формула где а и b — противоположные ребра тетраэдра, а с и φ — соответственно расстояние и угол между ними. Эта формула приведена в школьном учебнике Л. С. Атанасяна Геометрия 10−11 для самостоятельного доказательства (задача № 803).

Приведем другое решение.

Проведем плоскость BB₁M, пусть она пресекает ребро AC в точке N, прямую KK₁ в точке Pи прямую LL₁ в точке R.

Заметим, что MB₁ — высота правильного треугольника со стороной 12, следовательно,

Аналогично и

тогда

Заметим, что BM ⊥ KK₁, поскольку ее проекция BN ⊥ KK₁. Следовательно, прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости α, а значит, она перпендикулярна плоскости α, что и требовалось доказать.

б) Основанием пирамиды является трапеция LL₁KK₁ с высотой PR. Высотой пирамиды является отрезок BT, где T — точка пересечения BM и PR. Заметим, что тогда

Приведем решение Ирины Шраго координатным методом.

а) Отметим точки и на ребрах и AB соответственно так, чтобы Тогда плоскость — это плоскость Пусть отрезок пересекает медиану BN треугольника ABC в точке P.

Введем систему координат с началом в точке P, направив ось Ox вдоль луча PK, ось Oy вдоль луча PB.

Пусть плоскость задается уравнением Эта плоскость проходит через ось Ox, следовательно, . Пусть плоскость пересекает отрезок B₁M в точке G. Координаты точки G: . Подставив их в уравнение плоскости найдем Вектор нормали плоскости коллинеарен вектору , следовательно, плоскость перпендикулярна прямой , что и требовалось доказать.

б) Высоту искомой пирамиды найдем по формуле расстояния от точки до плоскости Она равна Основание пирамиды — трапеция с основаниями и и высотой

Площадь трапеции

Тогда объем пирамиды

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 5 : 1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна SA.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α — прямоугольник.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

а) Пусть точка H — середина ребра BC, а плоскость α пересекает ребра SB и АС в точках L и N соответственно. Тогда медианы АН и SH треугольников ABC и SBC соответственно являются их высотами, а значит, плоскость ASH перпендикулярна прямой BC. Следовательно, прямая SA перпендикулярна прямой BC.

Поскольку прямая SA параллельна плоскости α, прямые KL и MN параллельны прямой SA, а значит,

Следовательно, прямые LM и KN параллельны прямой BC.

Таким образом, KLMN является параллелограммом, пары противоположных сторон которого параллельны перпендикулярным прямым SA и BC соответственно, то есть KLMN — прямоугольник.

б) Прямая BC, параллельная прямой KN, перпендикулярна плоскости ASH, значит, плоскости ASH и α перпендикулярны.

Пусть плоскость ASH пересекает прямые KN и LM в точках E и F соответственно. Тогда высота пирамиды AKLMN равна расстоянию h между прямыми SA и EF.

Высота SO пирамиды SABC лежит в плоскости ASH, AO : OH = 2 : 1, откуда

Объём пирамиды AKLMN равен

Ответ: б)

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает плоскость BMC по отрезку KL. Так как плоскость α параллельна ребру MC, то KL || MC, следовательно, KL — средняя линия треугольника AMC, а L — середина ВС. Плоскость α проходит через QK — среднюю линию треугольника MAB, и, следовательно, параллельна AB. Таким образом, пересекает плоскость основания по прямой параллельной AB — средней линии треугольника АВС и проходит через точку O — середину отрезка AC. Значит, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны QK и LO параллельны отрезку AB и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный

треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Площадь параллелограмма

Ответ:

Примечание от Олега Берковского.

Площадь сечения можно найти проще. Легко доказывается, что сечение KLOQ является ромбом со стороной 3. Меньшая диагональ КО данного ромба также равная 3 (можно получить, рассмотрев треугольник МОВ). Следовательно, ромб состоит из 2-х равносторонних треугольников со стороной 3. Значит, острый угол ромба равен 60 градусов.

Отсюда площадь ромба

Илья, если Вы внимательно прочитаете условие задачи, то согласитесь с тем, что наше решение верное

Плоскость α проходит через середины двух противоположных ребер треугольной пирамиды и параллельна медиане одной из ее граней.

а) Докажите, что среди медиан граней этой пирамиды в точности две являются параллельными к плоскости α.

б) Найдите площадь сечения данной пирамиды плоскостью α, если эти медианы перпендикулярны друг другу и равны 2.

Точка M₁ — середина ребра AB, тогда по теореме Фалеса отрезки BN₂ и N₂M₃ равны, а также

и По теореме Менелая для треугольника ADC получим

Таким образом, следовательно, прямая M₁N₁ параллельна прямой BM₄, значит, сечение M₁N₁M₂N₂ параллельно прямой BM₄.

б) Заметим, что прямые M₁N₁ и M₁N₂ перпендикулярны, при этом M₁N₁ = M₂N₂ = 1. Кроме того, треугольники CAM₃ и CSN₂ — подобны, откуда следовательно, По теореме Менелая для треугольника SM₂C получим откуда

По теореме об отношении площадей треугольников с равным углом получим, что:

В правильной восьмиугольной призме ABCDEFGHA₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁H₁ сторона основания AB равна а боковое ребро AA₁ равно 6. Ha pe6pe CC₁ отмечена точка M так, что Плоскость параллельна прямой H₁E₁ и проходит через точки M и A.

а) Докажите, что сечение данной призмы плоскостью α — равнобедренная трапеция.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F₁, а основанием — сечение данной призмы плоскостью α.

а) Рассмотрим ребра фигуры: E₁H₁, F₁G₁, FG и AD₁ параллельны, значит, AD принадлежит плоскости Точка N принадлежит ребру BB₁, поэтому

значит, стороны MN, CB, FG и EH₁ параллельны. Таким образом, MN принадлежит плоскости

Соединим точки AMND — точки сечения призмы — плоскостью

Плоскость ADMN параллельна E₁H₁, следовательно, стороны плоскости AD и MN также параллельны.

Треугольники MCD и NBA равны, так как стороны CD и AB, MC и NB одинаковы, как и углы MCD и NBA. Тогда стороны плоскости MD и AN равны, а значит сама плоскость ANMD является равнобедренной трапецией.

б) Найдем объем пирамиды:

Точка P лежит на пересечении прямых AD и CF, отсюда следует, что CFF₁ пересекает плоскость

причем MP — место пересечения данных плоскостей.

Плоскости CFF₁ и ABC перпендикулярны, так как по условию ребро FF₁ перпендикулярно к основанию правильной призмы. Отрезки FC и AD, AD и FF₁ перпендикулярны, следовательно, AD перпендикулярен к плоскости CFF₁, таким образом, перпендикулярна к плоскости CFF₁.

Отрезок AD лежит в плоскости основания, все боковые ребра перпендикулярны к основанию. Высота из точки F₁ на попадает на отрезок MP. Так как CD перпендикулярно к AD, то MP также перпендикулярно к AD по правилу о трех перпендикулярах.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью CC₁F₁F:

Сторона Площадь треугольника MF₁P будет равна:

Выразим площадь MF₁P через другие площади и найдем её значение:

Посчитаем значение площади трапеции AMND:

Вычислим объем пирамиды F₁AMND:

Ответ:

В правильной четырехугольной пирамиде FABCD с основанием ABCD все ребра равны 5. Точки M, N лежат на ребрах BC и CD соответственно, причем СМ = 3, DN = 2.

Плоскость α проходит через точки M, N и параллельна прямой FC.

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру AF.

б) Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

а) Поскольку Заметим, что поскольку проекция FC на плоскость ABCD совпадает с прямой AC, а Кроме того, треугольники AFC и ABC равны по трем сторонам, следовательно, Итак, плоскость сечения параллельна двум непараллельным прямым (DB и FC), которые перпендикулярны AF. Значит, и плоскость перпендикулярна AF.

б) Построим это сечение. Проведем через точки M и N прямые, параллельные CF, и отметим точки их пересечения с BF и DF соответственно. Назовем эти точки S и P. Очевидно, откуда тогда и

Отметим точку пересечения MN с AC (точка K) и проведем через нее прямую, параллельную FC. Она пересечет AF в некоторой точке (назовем ее Q). Тогда сечение пирамиды — пятиугольник MNPQS. Осталось найти его площадь. Обозначим за O точку пересечения диагоналей основания.

Поскольку то Поэтому MNPS — прямоугольник (стороны MS и PN равны и параллельны, есть прямой угол) и его площадь составляет

откуда Пусть KQ пересекает PS в точке T, тогда

и

Ответ:

В правильной четырёхугольной призме АВСDА₁В₁С₁D₁ сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно На ребрах BC и C₁D₁ отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C₁L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая AC₁ перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости γ.

а) Так как плоскость параллельна диагонали основания BD, то пересекает основание ABCD по прямой KK₁ параллельной BD, K₁ лежит на CD. Так как, прямая сечения LL₁ параллельна BD, где L₁ лежит на B₁C₁. Сечением призмы будет трапеция

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Заметим, что проекцией прямой AC₁ на плоскость ABCD является прямая AC. Кроме того, как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах следовательно,

Рассмотрим плоскость AA₁C₁C. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK₁ и LL₁ в точках E и F соответственно. O — точка пересечения EF и AC₁. Четырёхугольник AA₁C₁C — прямоугольник, причём

Так как AA₁C₁C прямоугольник, Значит, Таким образом,

Тогда по обратной теореме Пифагора следовательно, треугольник прямоугольный, Таким образом,

б) Расстояние от точки B₁ до плоскости равно расстоянию до нее от любой точки параллельной ей прямой B₁D₁. Из точки M — пересечения диагоналей грани в плоскости AA₁C₁C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как, по доказанному в п. а) плоскость следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем Заметим, Таким образом,

Ответ: б)

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 10. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость параллельная ребру MC.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает плоскость BMC по отрезку KL. Так как плоскость α параллельна ребру MC, то KL || MC, следовательно, KL — средняя линия треугольника AMC, а L — середина ВС. Плоскость α проходит через QK — среднюю линию треугольника MAB, и, следовательно, параллельна AB. Таким образом, пересекает плоскость основания по прямой параллельной AB — средней линии треугольника АВС и проходит через точку O — середину отрезка AC. Значит, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны QK и LO параллельны отрезку AB и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный

треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Площадь параллелограмма

Ответ:

Аналоги к заданию № 521995: 522095 Все

В правильной треугольной призме сторона основания AB равна 6, а боковое ребро равно 3. На ребре отмечена точка L так, что Точки K и M — середины ребер AB и соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

а) Пусть T — точка на такая, что N — середина отрезка BC. Тогда KNLT — сечение. Сразу отметим, что прямая BM перпендикулярна прямой KN по теореме о трех перпеникулярах, поскольку проекция BM на плоскость нижнего основания — высота треугольника BAC, а прямая KN параллельна прямой AC.

Рассмотрим теперь сечение призмы плоскостью Это прямоугольник со сторонами 3 и Отметим на его сторонах точки и пересечения с LT и KN соответственно (они делят его стороны в отношениях и соответственно). Докажем, что прямая BM перпендикулярна прямой Обозначим за O их точку пересечения и за проекцию на (она же середина ). Далее:

откуда Далее:

поэтому Значит,

что и требовалось доказать.

Итак, BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости KNLT, поэтому прямая BM перпендикулярна плоскости KNLT.

Это по пункту а) высота пирамиды. Ее основание — трапеция, высота которой — (поскольку проекция этого отрезка на плоскость верхнего основания — высота треугольника и перпендикулярна прямой LT, которая параллельна прямой то и сам отрезок по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярен основанию трапеции). Значит,

Ответ:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S, точка M — середина ребра BS. Найдите площадь сечения, проведенного через прямую AM параллельно одной из диагоналей основания, указанная диагональ не принадлежит сечению. Стороны основания пирамиды равны а высота пирамиды равна 9.

Заметим, что сечение может быть параллельно только диагонали BD. (она не имеет общих точек с AM). Чтобы построить его проведем отрезок MN параллельно прямой BD так, что Обозначим точку пересечения прямых MN и HS за O. (H — центр основания пирамиды). Проведем теперь прямую AO, она лежит в плоскости ASC и поэтому пересечет ребро SC в некоторой точке K. Четырехугольник AMKN — исходное сечение (действительно, он содержит прямую MN параллельную прямой BD).

Рассмотрим треугольник CSH и прямую OK и применим для них теорему Менелая:

Значит,

Рассмотрим теперь треугольник ASC. Он равнобедренный, основание равно высота Значит,

Значит, По теореме косинусов найдем

значит, По теореме о трех перпендикулярах прямая AK перпендикулярна прямой BD, значит, и AK перпендикулярна прямой MN. Кроме того, Поэтому:

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 12, а боковое ребро AA₁ равно На рёбрах AB и B₁C₁ отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = 2, а B₁L = 4. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.

а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные AC. Пусть эти прямые пересекают рёбра BC и A₁B₁ в точках K₁ и L₁ соответственно (рис. 1). Тогда трапеция KL₁LK₁ является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость BB₁M. Пусть эта плоскость пересекает прямые AC, KK₁ и LL₁ в точках N, E и F соответственно. Четырёхугольник BB₁MN — прямоугольник, причём

Кроме того, откуда Пусть FP — высота трапеции EFB₁B (рис. 2), тогда

Поскольку то есть прямые EF и BM перпендикулярны.

Прямая KK₁ параллельна прямой AC, которая перпендикулярна плоскости BB₁M. Значит, прямые KK₁ и EF перпендикулярны прямой BM, поэтому прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Поскольку прямая AC параллельна плоскости γ, расстояние от точки C до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Тогда

Ответ: б)

Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA₁ равно На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C₁L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные BD. Пусть эти прямые пересекают рёбра CD и B₁C₁ в точках K₁ и L₁ соответственно (рисунок 1). Тогда трапеция KL₁LK₁ является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость ACC₁. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK₁ и LL₁ в точках E и F соответственно. Четырёхугольник AA₁C₁C — прямоугольник, причём

Кроме того, откуда Пусть FP — высота трапеции EFC₁C (рисунок 2), тогда

Поскольку

то есть прямые EF и A₁C перпендикулярны.

Прямая KK₁ параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости AA₁C. Значит, прямые KK₁ и EF перпендикулярны прямой A₁C, поэтому прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.

б) Пусть N — точка пересечения AC и BD. Поскольку прямая BD параллельна плоскости γ, расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Опустим из точки N перпендикуляр NH на прямую EF. Тогда

Ответ:

Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 4. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MС.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Так как плоскость α параллельна ребру MC, она пересекает плоскость BMC по отрезку KL, параллельному ребру MC. Следовательно, KL — средняя линия треугольника BMC и L — середина BC. Так как QK || AB плоскость α пересекает основание ABC пирамиды по средней линии, поэтому плоскость α проходит через точку O — середину отрезка AC. Таким образом, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны KL и QO параллельны отрезку MC и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Таким образом, искомая площадь

Ответ:

В задаче рассматривается сечение треугольной пирамиды MABC, а не четырехугольной пирамиды MABCD.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 8. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость параллельная ребру MС.

а) Докажите, что сечение плоскостью пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Так как плоскость α параллельна ребру MC, пересекает плоскость BMC по отрезку KL, параллельному ребру MC. Следовательно, KL — средняя линия треугольника AMC и L — середина BC. Так как QK || AB плоскость α пересекает основание ABC пирамиды по средней линии, поэтому плоскость &\alpha; проходит через точку O — середину отрезка AC. Таким образом, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны KL и QO параллельны отрезку MC и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Таким образом, искомая площадь

Ответ:

Напомним, что в условии говорится о сечении пирамиды MABC, то есть треугольной пирамиды, которая является частью четырехугольной пирамиды MABCD.

Аналоги к заданию № 522123: 522149 Все

Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.

Пусть SABCD — заданная пирамида, О — центр основания. Тогда SO — высота пирамиды. И пусть для определенности плоскость сечения проходит через точку B — вершину основания, перпендикулярно ребру

Построим сечение. Проведем последовательно:

1)

2)

3) Отрезки:

Докажем, что MTBP — сечение, удовлетворяющее условию задачи.

Во-первых, точки лежат в одной плоскости, так как эта плоскость проходит через две пересекающиеся прямые MP и

Во-вторых, докажем, что

по способу построения. так как SD — наклонная к плоскости основания пирамиды, D — ее проекция, по свойству квадрата; по теореме о трех перпендикулярах.

Поскольку то

Итак, прямая SD перпендикулярна двум пересекающимся прямым BTи MP, лежащим в плоскости По признаку перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть Тогда в равнобедренном треугольнике DSB SO — биссектриса, следовательно, Искомое отношение

В прямоугольных треугольниках BOK и как вертикальные. Отсюда: Пусть тогда

В

Рассмотрим и Поскольку то эти треугольники подобны. Отсюда: т. е.

Для вычисления площади сечения докажем, что его диагонали взаимно перпендикулярны, т. е. значит,

— наклонная к (MTP), TK — ее проекция, из перпендикулярности SK и PM по теореме о трех перпендикулярах следует, что В таком случае:

По условию известно, что

Причем потому не удовлетворяет смыслу задачи, Найденное значение и есть искомое отношение.

1. Запись в построении сечения «» следует читать так:

«Строим точку T на прямой SD, такую, что BT перпендикулярно SD, точкой пересечения BT и служит точка K». Остальные записи читаются аналогично.

2. Известно, что прямая, параллельная какой-либо стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный первому.

3. В подобных треугольниках отношение любых соответственных линейных элементов (биссектрис, медиан, периметров и т. п.) равно коэффициенту подобия.

Ответ:

Источник