Как доказать что среднее арифметическое больше среднего геометрического
Как доказать что среднее арифметическое больше среднего геометрического
Зачастую в средних класах мы пользуемся известным выражением о том, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше чем среднее геометрические их значение:
Доказывается неравенство достаточно просто. Умнажаем обе части на 2 и переносим правую честь влево:
Что и требовалось доказать.
Для двух положительных чисел оно имеет следующий вид (общий случай для n чисел):
Пусть a, b ∈ R, тогда иммет место неравенство:
Докажем его. Покажем, что среднее геометрическое больше, чем среднее гармоническое.
Что и требовалось доказать.
Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим рассматривалось выше. Докажем, что среднее квадратическое больше среднего арифметического:
√ (a 2 + b 2 ) / 2 ≥ (a + b) / 2; так как справа положительное число, подносим в квадрат обе части:
(a 2 + b 2 ) / 2 ≥ (a 2 + 2ab + b 2 ) / 4; переносим все в левую часть, умножаем на 4:
Что и требовалось доказать.
Неравенство имеет место для n чисел и звучит так:
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.
Для ознакомления доступны 48 книг.
Добавлен материал «Показательные уравнения и неравенства», в котором заполнены разделы «Теория» и «Методы решений». В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом
Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)
Среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического:
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда
Частный случай этого неравенства, связывающий среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, известен с древних времён. Чаще всего его доказывают, используя геометрическую интерпретацию.
Пусть AD=a, BD=b.
Построим окружность с диаметром AB=a+b.
Из произвольной точки C окружности проведём к диаметру перпендикуляр CD.
По свойству прямоугольного треугольника, высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому между проекциями катетов на гипотенузу:
Соединим точку C с центром окружности, точкой O. CO — радиус, значит, он равен половине диаметра:
то есть длина CO равна среднему арифметическому a и b.
В прямоугольном треугольнике COD CD — катет, CO — гипотенуза.
Так как гипотенуза всегда больше катета, CO>CD, следовательно, среднее арифметическое a и b больше их среднего геометрического.
D совпадает с точкой O,
если AO=BO, то есть a=b.
(так как a>0), и и ф этом случае среднее арифметическое a и b равно их среднему геометрическому.
Таким образом, среднее арифметическое положительных чисел a и b не меньше их среднего геометрического.
В общем случае неравенство было доказано Коши.
Различия в арифметическом и геометрическом среднем
Содержание:
Формулы для расчета
Наиболее очевидная разница между средним арифметическим и средним геометрическим значением для набора данных заключается в том, как они рассчитываются. Среднее арифметическое рассчитывается путем сложения всех чисел в наборе данных и деления результата на общее количество точек данных.
Пример: среднее арифметическое 11, 13, 17 и 1000 = (11 + 13 + 17 + 1000) / 4 = 260,25
Пример: среднее геометрическое из 11, 13, 17 и 1000 = 4-й корень из (11 x 13 x 17 x 1000) = 39,5
Влияние выбросов
Когда вы смотрите на результаты вычислений среднего арифметического и среднего геометрического, вы замечаете, что влияние выбросов значительно уменьшается в среднем геометрическом значении. Что это значит? В наборе данных 11, 13, 17 и 1000 число 1000 называется «выбросом», потому что его значение намного выше, чем все остальные. Когда вычисляется среднее арифметическое, результат составляет 260,25. Обратите внимание, что ни одно число в наборе данных не близко даже к 260,25, поэтому среднее арифметическое в этом случае не является репрезентативным. Эффект выброса был преувеличен. Среднее геометрическое значение 39,5 лучше показывает, что большинство чисел из набора данных находятся в диапазоне от 0 до 50.
Пользы
Геометрические средние используются в тех случаях, когда различия между точками данных являются логарифмическими или отличаются от кратных 10. Биологи используют геометрические средства для описания размеров популяций бактерий, которые могут составлять 20 организмов в один день и 20 000 в следующий. Экономисты могут использовать геометрические средства для описания распределения доходов. Вы и большинство ваших соседей могли бы зарабатывать около 65 000 долларов в год, но что, если парень на холме зарабатывает 65 миллионов долларов в год? Среднее арифметическое значение дохода в вашем районе будет вводить в заблуждение, поэтому геометрическое среднее будет более подходящим.
Различные средние положительных. Неравенство Коши
Главная > Документ
| Информация о документе | |
| Дата добавления: | |
| Размер: | |
| Доступные форматы для скачивания: |
Соотношение между средними величинами.
Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического.
Применим формулу «квадрат разности»:
Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :
Применим формулу «квадрат суммы»:
Разделим обе части неравенства на 4 :
;
Т
ак как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:
Получили искомое выражение.
Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного.
Для доказательства 
рассмотрим разность
Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического.
Докажем, что среднее гармоническое не больше среднего геометрического, то есть 
. Рассмотрим разность 
Таким образом мы доказали одно из важнейших неравенств, связанных со средними:
.
Дано: окр. (О;ОА); AD = a ; BD = b
Доказать: 
А
В – диаметр, АВ = a + b и 
, следовательно, 
.
угол АСВ – вписанный
дуга АКВ = 180° значит, угол АСВ = 90 ° (по свойству вписанного угла)
Т
аким образом, ∆АСВ – прямоугольный,
(по общему острому углу)
2) ∆АВС подобен ∆ CBD
4) 
, следовательно, 
, следовательно, 
, следовательно, 
, значит, 
, то есть 
.
Поэтому , что и требовалось доказать.
Это неравенство можно доказать и другим способом.
Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.
Доказать: 
АК – биссектриса, следовательно, 
ВАL = LAD. LAD и BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть BLA = LAD.
В = 90°, следовательно, BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.
∆ AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.
4) 
Очевидно, что 
, 
равенство достигается при
; 
,
или 
,
то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.
Сравнение среднего квадратичного и среднего арифметического.
Средние величины можно находить для любого количества положительных чисел 
. Определения этих средних даны выше. Для любых положительных чисел среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное удовлетворят неравенствам:
,
в каждом из которых знак равенства достигается лишь в случае, когда 
.
Самым важным и значимым из этих неравенств является неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, которое носит название неравенства Коши.
Замечательные пределы, порождаемые классическими средними.
Например, взяв среднее геометрическое и среднее арифметическое и отправляясь от чисел 1 и 3, получаем
В этом примере последовательности 
и 
очень быстро сближаются. Всегда ли так будет? Оказывается, подобные последовательности всегда имеют общий предел.
Арифметико – гармоническое среднее.
Пусть выбранная пара средних – это среднее гармоническое и среднее арифметическое; таким образом, члены последовательностей и определяются формулами
, 
, 
, 
.
Рассмотрим среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее арифметическое
.
Отсюда следует, что
.
То есть последовательность возрастает «навстречу» убывающей последовательности .
Таким образом, обе последовательности монотонны и ограничены, следовательно, они имеют пределы. Пусть 
, 
. Вычислим предел 
Так как и , где n =0, 1, 2, 3,… ; ; 
, то
, поэтому
Поэтому 
.
Арифметико – гармоническое среднее совпадает со средним геометрическим.
; 
.
и далее все знаки стабилизируются:
.
Арифметико – геометрическое среднее.
Четырнадцатилетний карл Фридрих Гаусс обнаружил на числовых примерах, что при вычислении последовательностей и с помощью арифметических и геометрических средних:
, , 
эти последовательности очень быстро сближаются.
Их общий предел называется арифметико – геометрическим средним чисел a и b и обозначается через 
. Найти явное выражение через a и b очень не просто. Впервые оно было получено Гауссом в результате необычайно остроумных и виртуозных рассуждений и преобразований, использующих свойства так называемых эллиптических интегралов.
Геометрическо – гармоническое среднее.
Если строить последовательности и с помощью средних гармонических и средних геометрических:
; 
,
то в этом случае они сходятся к общему пределу. Назовём его геометрическо – гармоническим средним a и b и обозначим его через 
. Однако ничего существенно нового по сравнению с предыдущими последовательностями здесь нет, так как
; 
.
.