Как доказать что точка лежит на диагонали квадрата

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Источник

Докажите что точка м лежит на диагонали квадрата​

Ответы 2

ОПИСКА в условии. Дано решение для измененного условия.

Xd = √(AD²-Yd²) = √(10²-4²) = 2√21 ≈ 9,2.

АВ(Xb) = Xd+DC+BH = 9,2+3+3 = 15,2ед.

Тогда имеем точки: А(0;0), В(15,2;0), Е(13,7;2) и D(9,2;4).

Уравнение прямой ВD: (X-Xb)/(Xd—Xb) = (Y-Yb)/(Yd-Yb) или

(Х-15,2)/(9,2-15,2) = (Y-0)/4 => 2X+3Y = 30,4 (1).

Уравнение прямой АE: (X-Xa)/Xe-Xa) = (Y-Ya)/(Ye-Ya) или (Х-0)/13,7 = (Y-0)/2 => 2X=13,7Y (2).

Найдем координаты точки М (точки пересечения прямых ЕA и DB, решив систему из уравнений (1) и (2). Подставим (2) в (1): 13,7Y+3Y = 30,4. => Y ≈ 1,82. => X ≈ 12,5.

Итак, точка М(12,5;1,82).

Теперь разделим отрезок ЕА точкой М в отношении 1:4, считая от точки Е по формулам:

Xм = (Хe+k*Xa)/(1+k); Yм = (Ye+kYa)/(1+k). Получим:

Xм = (13,7+(0/4))/(5/4) = 10,96. Yм = (2+0)/(5/4) =1,6.

Координаты точки М, полученные разными не совпали, следовательно точка М не лежит на прямой DB.

Доказательство (приложение 2):

Вектор BD = BC + CD (по правилу сложения).

Вектор МЕ = (1/5)*АЕ (дано).

MD = (2/5)ВС + (2/5)СD = (2/5)*(BC +CD) = (2/5)*BD.

Это доказывает, что вектора BD и MD лежат на одной прямой. Следовательно, точка М лежит на диагонали BD, что и требовалось доказать.

Метод координат (приложение 3):

Тогда имеем точки: А(0;0), В(2;4), Е(8,5;2) и D(10;0).

Уравнение прямой ВD: (X-Xb)/(Xd-Xb) = (Y-Yb)/(Yd-Yb) или

(Х-2)/8 = (Y-4)/(-4) => X+2Y = 10 (1).

Уравнение прямой АE: (X-Xa)/Xe-Xa) = (Y-Ya)/(Ye-Ya) или (Х-0)/8,5 = (Y-0)/(2) => X=4,25Y (2).

Найдем координаты точки М (точки пересечения прямых ЕA и DB, решив систему из уравнений (1) и (2).

Подставим (2) в (1): 4,25Y+2Y = 10. =>

Разделим отрезок ЕА точкой М в отношении 1:4, считая от точки Е по формулам:

Xм = (Хe+k*Xa)/(1+k); Yм = (Ye+kYa)/(1+k). Получим:

Xм = (8,5+(0/4))/(5/4) = 6,8. Yм = (2+0)/(5/4) =1,6.

Координаты точки М, полученные разными совпали, следовательно точка М лежит на прямой DB, что и требовалось доказать.

P.S. В дополнение представлен рисунок, на котором с программы GeoGebra построена трапеция по условию, данному в задании. На нем видно, что точка М1 пересечения прямых BD и АЕ и точка М, делящая отрезок АЕ в отношении 4:1, не совпадают.

точка М лежит на АЕ, так что АМ:МЕ=4:1.Используя векторы, докажите, что точка М лежит на диагонали ВД.

Отметить нарушение Reginaleskina2 19.10.2016

ответы и объяснения

ОПИСКА в условии. Дано решение для измененного условия.

Xd = √(AD²-Yd²) = √(10²-4²) = 2√21 ≈ 9,2.

АВ(Xb) = Xd+DC+BH = 9,2+3+3 = 15,2ед.

Тогда имеем точки: А(0;0), В(15,2;0), Е(13,7;2) и D(9,2;4).

Уравнение прямой ВD: (X-Xb)/(Xd—Xb) = (Y-Yb)/(Yd-Yb) или

(Х-15,2)/(9,2-15,2) = (Y-0)/4 => 2X+3Y = 30,4 (1).

Уравнение прямой АE: (X-Xa)/Xe-Xa) = (Y-Ya)/(Ye-Ya) или (Х-0)/13,7 = (Y-0)/2 => 2X=13,7Y (2).

Найдем координаты точки М (точки пересечения прямых ЕA и DB, решив систему из уравнений (1) и (2). Подставим (2) в (1): 13,7Y+3Y = 30,4. => Y ≈ 1,82. => X ≈ 12,5.

Итак, точка М(12,5;1,82).

Теперь разделим отрезок ЕА точкой М в отношении 1:4, считая от точки Е по формулам:

Xм = (Хe+k*Xa)/(1+k); Yм = (Ye+kYa)/(1+k). Получим:

Xм = (13,7+(0/4))/(5/4) = 10,96. Yм = (2+0)/(5/4) =1,6.

Координаты точки М, полученные разными не совпали, следовательно точка М не лежит на прямой DB.

Доказательство (приложение 2):

Вектор BD = BC + CD (по правилу сложения).

Вектор МЕ = (1/5)*АЕ (дано).

MD = (2/5)ВС + (2/5)СD = (2/5)*(BC +CD) = (2/5)*BD.

Это доказывает, что вектора BD и MD лежат на одной прямой. Следовательно, точка М лежит на диагонали BD, что и требовалось доказать.

Метод координат (приложение 3):

Тогда имеем точки: А(0;0), В(2;4), Е(8,5;2) и D(10;0).

Уравнение прямой ВD: (X-Xb)/(Xd-Xb) = (Y-Yb)/(Yd-Yb) или

(Х-2)/8 = (Y-4)/(-4) => X+2Y = 10 (1).

Уравнение прямой АE: (X-Xa)/Xe-Xa) = (Y-Ya)/(Ye-Ya) или (Х-0)/8,5 = (Y-0)/(2) => X=4,25Y (2).

Найдем координаты точки М (точки пересечения прямых ЕA и DB, решив систему из уравнений (1) и (2).

Подставим (2) в (1): 4,25Y+2Y = 10. =>

Разделим отрезок ЕА точкой М в отношении 1:4, считая от точки Е по формулам:

Xм = (Хe+k*Xa)/(1+k); Yм = (Ye+kYa)/(1+k). Получим:

Xм = (8,5+(0/4))/(5/4) = 6,8. Yм = (2+0)/(5/4) =1,6.

Координаты точки М, полученные разными совпали, следовательно точка М лежит на прямой DB, что и требовалось доказать.

Источник

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Квадрат и его свойства с определением и примерами решения

Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.

На рисунке 57 изображен квадрат

Сформулируем свойства квадрата.

1. Все углы квадрата прямые.

2. Периметр квадрата

3. Диагонали квадрата равны (рис. 58).

4. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (рис. 58).

5. Диагонали квадрата делят его углы пополам, то есть образуют углы по 45° со сторонами квадрата (рис. 58).

6. Точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин:

Пример:

Точки и принадлежат соответственно диагоналям и квадрата причем

Докажите, что (рис. 59). 4

Доказательство:

1) (по свойству квадрата), (как стороны квадрата).

2) Так как (по свойству диагоналей квадрата) и

то

3) Тогда (по двум сторонам и углу между ними).

Рассмотрим признаки квадрата.

Теорема (признаки квадрата). 1) Если у прямоугольника диагонали взаимно перпендикулярны, то он является квадратом. 2) Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом.

Доказательство:

Пример:

Доказательство:

1) Так как в четырехугольнике все углы равны, то, по признаку прямоугольника, он является прямоугольником.

2) Так как в прямоугольнике все стороны равны, то он является квадратом.

Известный историк математики Д. Д. Мордухай-Болтовский (1876-1952) писал: «Первым четырехугольником, с которым познакомилась геометрия, был квадрат».

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Квадрат, его свойства и признаки.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Квадрат, его свойства и признаки.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:

Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.

У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.

У квадрата диагонали равны.

У квадрата стороны являются высотами.

Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.

Теперь определим признаки квадрата.

ТЕОРЕМА ( I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.

– квадрат (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА ( II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).

ТЕОРЕМА ( III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

ТЕОРЕМА ( IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

ТЕОРЕМА ( V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

ТЕОРЕМА ( VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.

ТЕОРЕМА ( VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).

Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.

В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.

Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.

Найдите периметр квадрата по данным на рисунке.

Источник