Как доказать что треугольник равнобедренный 7 класс геометрия примеры с рисунками
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Геометрия. 7 класс
Равнобедренный треугольник
Геометрические термины
Медиана
Равнобедренные треугольники
Элементы равнобедренного треугольника
Построение равностороннего треугольника
Необходимо запомнить
AB и BC – боковые стороны треугольника ∆ABC.
AC – основание треугольника ∆ABC.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
AF – высота, медиана, биссектриса ∆ABC.
Задача на доказательство
Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие «медиана равнобедренного треугольника».
На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.
По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).
Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)=> ∠МСА = ∠MАС (по свойству равнобедренного треугольника).
Получаем, что ∠А = ∠MАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.
Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, обратное не верно.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы уже познакомились с такими понятиями как треугольник, рассмотрели его виды.
Рассмотрим такие виды треугольников: как равнобедренные и равносторонние, более подробно. Начнём с описания равнобедренного треугольника. Но для начала, дадим ему определение.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
AB и BC – боковые стороны ∆ABC.
Если третья сторона равна двум другим, то любая сторона может быть основанием.
Теперь рассмотрим треугольник, у которого все стороны равны. Такой треугольник называется равносторонним.
Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теперь сформулируем теорему о биссектрисе, медиане и высоте равнобедренного треугольника, проведённых к основанию.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.
AF– биссектриса ΔABC
Доказать: AF – медиана и высота.
Справедливы и следующие утверждения.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
А медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
AF – медиана ∠ВАС ΔABC
Доказать: AF – биссектриса и высота ΔABC.
∆ABF = ∆ACF т. к. ∠В = ∠С (по свойству равнобедренного треугольника); BF = CF (по определению медианы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → ∠BАF = ∠FАC (как соответствующие элементы равных треугольников) => AF ‑ биссектриса ΔABC (по определению биссектрисы треугольника).
∠AFB = ∠AFC как соответствующие элементы равных треугольников, но их сумма равна 180 (по свойству развернутого угла).
∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты треугольника).
Сегодня мы узнали, что такое равнобедренный, равносторонний треугольник, рассмотрели свойства равнобедренного треугольника.
Разберем задачу на доказательство.
Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие: «медиана равнобедренного треугольника».
На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, при этом AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.
По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)→ ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).
Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МСА = ∠ВАС (по свойству равнобедренного треугольника).
Получаем, что ∠А = ∠ВАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.
Что и требовалось доказать.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 50 см, боковая сторона AC на 4 см больше основания BC. Найдите основание треугольника.
Решение: Пусть х – основание ВС треугольника АВС, тогда АС = АВ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).
АС = АВ = х + 4 (по условию).
Периметр треугольника АВС равен сумме всех его сторон, т. е. 50 см = АС + ВС + АВ,
х = 14 см – основание BC.
На рисунке изображён равнобедренный треугольник ABC. AC – основание треугольника, ∠1 = 120. Найдите ∠2.
Решение: ∠1 и ∠АСВ – смежные →∠1 + ∠АСВ = 180, значит:
АВС – равнобедренный, значит: ∠ВАС = ∠АСВ = 60 (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
Как доказать что треугольник равнобедренный 7 класс геометрия примеры с рисунками
Равнобедренный треугольник — треугольнику которого две стороны равны.
Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием.
Свойства равнобедренного треугольника были известны с давних времен. Еще древние вавилоняне (II в. до н.э.) знали, что углы у основания равнобедренного треугольника равны. Любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.
Свойства и признаки равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника:
1. У равнобедренного треугольника углы у основания равны (теорема).
2. Медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают (теорема).
3. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
4. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
5. Биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
Признаки равнобедренного треугольника:
Если у треугольника есть один из нижеуказанных признаков, то он равнобедренный:
— два угла равны,
— высота и медиана совпадают,
— высота и биссектриса совпадают,
— медиана и биссектриса совпадают,
— две медианы равны,
— две высоты равны,
— две биссектрисы равны.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ:
Задача № 1. Дано: ΔABC — равносторонний, ΔADC — равнобедренный (AD=CD), AC — общая сторона, BC = 8 см, PADC > PABC в 1,5 раза. Найти: CD.
Задача № 2. Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, AD — медиана, AB + BD = 27 см, AC + CD = 21 см. Найти: AB, BC, AC.
Задача № 3. Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, ∠1 = 130°. Найти: ∠2.
Теоретический тест
с последующей самопроверкой
Вы смотрели конспект по теме «Равнобедренный треугольник + ЗАДАЧИ по теме». Выберите дальнейшие действия:
«Равнобедренный треугольник» геометрия 7 класс
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
В А С Равнобедренный треугольник О С Н О В А Н И Е БОКОВАЯ СТОРОНА БОКОВАЯ СТОРОНА Равносторонний треугольник N M O
В А С Тренировочные задания. Р = 15,6 см, АС – АВ = 3 см. Сторона AС на 3 см больше стороны АВ х х+3 х Р=15,6см х+х+х+3 = 15,6
В А С Тренировочные задания. Р = 18,12 см, АВ – АС = 3 см. Сторона AВ на 3 см больше стороны АС х х+3 х+3 Р=18,12см х+2(х+3) = 18,12
В А С Тренировочные задания. Р = 21 см, АВ = 1,6 АС. Сторона AВ в 1,6 раза больше АС х 1,6х 1,6х Р= 21 см х+1,6х+1,6х= 21
А В Доказательство: ДП биссектриса ВD 1. АВ = ВС, т.к. ∆АВС р/б 2. ВD – общая 3. ABD= СВD, т.к. ВD – биссектриса. ∆АВD=∆СBD (1 приз) D С В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
В А С Равнобедренный треугольник О С Н О В А Н И Е БОКОВАЯ СТОРОНА БОКОВАЯ СТОРОНА Равносторонний треугольник N M O
ВЕРНО! А С В АВС равнобедренный. Для угла В найди равный и щелкни по нему мышкой! Проверка В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ∠В=∠А
А О К В С Для угла АСВ найди равный и щелкни по нему мышкой. нет нет ВЕРНО! нет Дополнительный вопрос Почему углы АВС и ВСА равны? Вертикальные углы равны Это углы при основании р/б треугольника АВС ВЕРНО! Выбери ответ и щелкни по нему мышкой
А О К В С Для угла АСВ найди равный и щелкни по нему мышкой. нет нет ВЕРНО! нет Дополнительный вопрос Почему углы ВАС и ВСА равны? Вертикальные углы равны Это углы при основании р/б треугольника АВС ВЕРНО! Выбери ответ и щелкни по нему мышкой
А К Р С В АСК PCB АСВ АСР KCB PCK Найдите равнобедренные треугольники. Дополнительный вопрос Для угла В найди равный и щелкни по нему мышкой. ВЕРНО!
АВС O N K D С В А Найди равнобедренные треугольники. ADN OBK KCD KDN BKN OKN Для угла АDN найди равный и щелкни по нему мышкой. Дополнительный вопрос умница!
O N K D С В А Для треугольника АDN найди равный и щелкни по нему мышкой. I признак II признак III признак 1 2 3 Молодец! Не верно! Проверка Не учишь! ВЕРНО!
A M K B N Подсказка АВN равнобедренный. Вспомни свойство углов равнобедренного треугольника. 3 2 1 I признак II признак III признак Доказать: АВК = NBM Учить надо! Проверка ВЕРНО!
D А B Тренировочные задания. 70 70
D С B Тренировочные задания. 70 70 А 110
D С B Тренировочные задания. 70 70 А 70 В К
D А B АМ = МС С М АВ = ВС
500 1300 А B С Дано: АВ=ВC, 1=1300. 1 2 500 500 № 112
А B С Дано: АВ=ВC, СD = DЕ. 1 2 D E 3 4 № 117
В С M А N № 118 Доказательство: ВМ = СN, по усл. АM = AN
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-690562
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
МГУ откроет первую в России магистерскую программу по биоэтике
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Время чтения: 2 минуты
Педагогам Северной Осетии в 2022 году будут выплачивать надбавки за стаж
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.