Как доказать что треугольник тупоугольный
Тупоугольный треугольник
Всего получено оценок: 104.
Всего получено оценок: 104.
Тупоугольный треугольник мало чем отличается от обычных произвольных остроугольных треугольников, но тупой угол делает треугольник непривычным для восприятия. Это зачастую приводит в недоумение, поэтому стоит рассмотреть различные варианты решения задач на нахождение параметров тупоугольного треугольника.
Определения
Тупоугольным треугольником будет называться любой треугольник, содержащий тупой угол. Тупоугольный треугольник может быть равнобедренным, но при этом не может быть равносторонним или прямоугольным. Собственно на этом свойства этой фигуры заканчиваются. В остальном, это обычный треугольник и подход к решению таких фигур ничем не отличается.
Рис. 1. Тупоугольный треугольник.
В треугольнике сумма углов равна 180 градусам, поэтому только один угол треугольника может быть тупым, два других при этом всегда острые. Площадь тупоугольного треугольника находится так же, как площадь произвольного треугольника.
Только в тупоугольном треугольнике высота может лежать за пределами треугольника.
Рассмотрим несколько интересных задач на нахождение данных в тупоугольном треугольнике.
Пример решения задачи
Для решения любой задачи можно найти несколько способов. В данной ситуации можно пойти через площадь треугольников, достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного или воспользоваться теоремой косинусов. Каждый из способов дает представление о том, как можно решать задачи с тупоугольным треугольником. Воспользуемся каждым из них.
Ответ в каждом случае должен быть одинаков. Но если округлять неточные ответы, то в одной задаче при одинаковых решениях можно получить разные величины. Будьте внимательны, результат не должен отличаться больше, чем на 1.
Теперь запишем две формулы площади, выразим через них высоту и найдем ее значение.
Тогда синус, как и в первом способе, выразим через основное тригонометрическое тождество.
$$\sqrt<13+4+8>=\sqrt<25>=5$$ – по теореме косинусов.
Значение синуса угла АВС определим по основному тригонометрическому тождеству.
Выразим искомый синус угла АСВ.
Выразим из треугольника АМС и найденного значения синуса сторону АМ.
Ответы всех трех способов совпали, а, значит, задача решена верно.
Что мы узнали?
Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы
Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.
Тупоугольный треугольник (понятие и определение):
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.
Рис. 1. Тупоугольный треугольник
∠ BАC– тупой угол треугольника,
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника,
Рис. 3. Прямоугольный треугольник
Рис. 4. Равнобедренный треугольник
АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,
Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.
Элементы тупоугольного треугольника:
Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.
Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол
Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.
Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника
MA – медиана тупоугольного треугольника
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника
MС – высота тупоугольного треугольника
Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.
Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.
Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника
MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника
Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Свойства тупоугольного треугольника:
Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Рис. 9. Тупоугольный треугольник
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами
3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.
4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
Математика
Треугольник есть определенная часть плоскости, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми линиями.
Стороны треугольника. Прямые линии, ограничивающие треугольник, называются сторонами треугольника.
Каждые две пересекающиеся прямые образуют угол треугольника.
Три пересекающиеся стороны образуют три угла треугольника.
Вершины. Точки пересечения сторон называются вершинами треугольника.
Треугольники получают различные названия, смотря по взаимному отношению его сторон и по углам, его составляющим.
Разделение треугольников по отношению к сторонам. По отношению к сторонам треугольники делятся на треугольники разносторонние, равнобедренные и равносторонние.
Разносторонний есть такой треугольник, у которого все стороны не равны.
Треугольник ABC (черт. 36) есть разносторонний треугольник. У него все стороны различны: AB > BC > AC.
Равнобедренный есть такой треугольник, у которого две стороны равны. На черт. 37 ABC есть равнобедренный треугольник. У него две стороны AB и BC равны (AB = BC).
Равносторонний есть такой треугольник, у которого все три стороны равны.
Треугольник ABC (черт. 38) равносторонний, ибо у него все стороны равны: AB = BC = AC.
Разделение треугольников по отношению к углам. По отношению к углам треугольники разделяются на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.
Остроугольный есть такой треугольник, у которого все три угла острые.
Треугольник ABC (черт. 39) есть остроугольный, ибо все его три угла A, B, C острые.
Прямоугольный есть такой треугольник, у которого один из углов прямой.
Треугольник ABC прямоугольный, ибо угол ABC прямой (черт. 40).
Тупоугольный есть такой треугольник, у которого один из углов тупой.
Треугольник ABC (черт. 36) тупоугольный, ибо угол ACB тупой.
В каждом треугольнике можно выбрать какую-нибудь сторону за основание, тогда перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на основание, называется высотою треугольника.
Высота есть расстояние вершины от основания треугольника, считаемое по перпендикуляру. Высота есть длина перпендикуляра, опущенного из вершины на основание.
Если на чертеже 41 примем линию AB за основание, то линия CH будет высотой треугольника. Если примем на чертеже 42 за основание линию BC, то высотой будет линия AH. Если бы за основание была выбрана линия AB, то высотой была бы линия CK.
Свойство сторон треугольника. Во всяком треугольнике каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других сторон.
Так, в треугольнике ABC (черт. 35)
Равные треугольники. Два треугольника называются равными, если при наложении друг на друга они совмещаются всеми своими точками.
Равенство треугольников
Теорема 19. Два треугольника равны, если три стороны одного соответственно равны трем сторонам другого.
Дано. В двух треугольниках ABC и DEF (черт. 43) стороны равны
AB = DE, BC = EF, AC = DF
Требуется доказать, что ∆ ABC = ∆ DEF.
Доказательство. Наложим треугольник DEF на треугольник ABC, сторону DF на сторону AC точкой D на точку A. По равенству сторон AC и DF точка F упадет на точку C.
Чтобы доказать, что точка E упадет на точку B докажем, что она не может упасть ни внутри, ни вне, ни на одну из сторон треугольника.
a) Положим, что точка E упадет внутри треугольника в точку E’, тогда треугольник DEF примет положение треугольника AE’C, DE займет положение линии AE’ и EF положение линии E’C, следовательно,
Линия ABC, будучи внешней ломаной, больше линии AE’C внутренней ломаной, следовательно,
Заменяя AE’ и E’C равными им сторонами DE и EF, имеем:
но AB = DE, следовательно, BC > EF, что противоречит данным условиям. Итак, точка E не может упасть внутри треугольника.
b) Положим, точка E упала вне треугольника в точку E». В этом случае ∆AE»C = ∆DEF и тогда
Обозначим букой O точку пересечения линий AE» и BC. Из чертежа видно, что
AO + BO > AB
CO + OE» > E»C
Сложив эти неравенства, имеем:
AO + BO + CO + OE» > AB + E»C
Так как BO + CO = BC, AO + OE» = AE», то
Здесь AE» = DE, CE» = EF, следовательно,
Вычтя по равной величине из обоих частей последнего неравенства, получаем:
что противоречит данным условиям. Итак, точка E не может упасть вне треугольника.
c) Точка E не может упасть на одну из сторон треугольника в точку E»’, ибо стороны DC и AB равны. Точно также если бы E упала в точку O, то выходило бы, что BC > OC, но OC = EF, следовательно, BC > EF, что противоречит условию.
Итак, точка E должна непременно упасть в точку B, следовательно, при наложении сторона DE совпадет со стороной AB, а сторона EF со стороной BC и треугольник DEF с треугольником ABC.
Из равенства треугольников следует, что все остальные части их равны, т. е.
Теорема 20. Два треугольника равны, когда они имеют по равному углу, содержащемуся между равными сторонами.
Дано. В двух треугольниках ABC и DEF (черт. 44)
AB = DE, AD = DF, ∠BAC = ∠EDF
Требуется доказать, что ∆ABC = ∆DEF.
Примечание. Иногда указывают равные части на чертеже, отмечая их одинаковыми значками.
Доказательство. Наложим треугольник DEF на треугольник ABC, сторону DF на сторону AC, точкой D на точку A; тогда по равенству линий DF и AC точка F упадет в точку C и по равенству углов A и D линия DE пойдет по линии AB; по равенству линий DE и AB точка E упадет на точку B. Если E и F две точки линии EF совпали с B и C двумя точками линии BC, то и вся линия EF совпадет с линией BC, и треугольник DEF совпадет с треугольником ABC. Отсюда следует, что и все остальные части треугольников равны, т. е.
Теорема 21. Два треугольника равны, если сторона и два лежащие на ней угла одного равны стороне и двум лежащим на ней углам другого треугольника.
Дано. В треугольниках ABC и DEF (черт. 44)
Требуется доказать, что ∆ABC = ∆DEF.
Доказательство. Наложим треугольник DEF на треугольник ABC, стороной DF на AC, точкой D на A, тогда по равенству сторон AC и DF точка F упадет на точку C. По равенству углов A и D линия DE пойдет по линии AB и по равенству углов C и F линия FE пойдет по линии CB. Так как линия FE и DE совпадут с линиями CB и AB, то и точка E непременно совпадет с точкой B, ибо две прямые линии пересекаются в одной точке, следовательно два треугольника равны (ЧТД).
Из того, что равные треугольники совмещаются при наложении всеми своими частями вытекает следствие. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и наоборот.
Соответственные части треугольников. В двух равных треугольниках равные углы и равные стороны называются соответственными углами и сторонами.
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника есть всякий угол смежный с углом треугольника.
Так, на чертеже 45, угол BCD есть внешний угол.
Теорема 22. Во всяком треугольнике внешний угол больше каждого внутреннего не смежного с ним.
Дан внешний угол BCD (черт. 45).
Требуется доказать, что BCD > A и BCD > B.
Доказательство. Точку Q середину линии BC соединим с A и отложим на продолжении линии AQ линию QF равную AQ.
Соединим F с C; тогда два треугольника ABQ и QFC равны, ибо имеют по равному углу, лежащему между двумя равными сторонами.
Действительно, по построению BQ = QC, AQ = QF, а углы BQA и FQC равны как вертикальные, следовательно,
Если линия AQ = QF, то и ∠ABC = ∠BCF.
Угол BCD > угла BCF, следовательно, и угол BCD > ABC.
Производя подобное же построение, мы могли бы доказать, что угол ACN > угла BAC.
Так как ACN = BCD, то и угол BCD > угла BAC.
Прямоугольный треугольник
Следствие 1. В прямоугольном треугольнике из трех углов один прямой, а другие два острые.
Доказательство. Внешний угол BAD прямоугольного треугольника ABC (черт. 46) больше внутренних углов B и C, следовательно, оба угла B и C острые.
Гипотенуза. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.
Катеты. Стороны прямоугольного треугольника, лежащие против острых углов, называются катетами.
Сторона BC есть гипотенуза, а стороны AB и AC катеты (черт. 46).
Гипотенуза больше каждого из катетов и меньше суммы двух катетов, ибо гипотенуза наклонная, а катеты перпендикулярны.
Тупоугольный треугольник
Следствие 2. В тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два остальные угла острые.
Дано. В двух треугольниках ABC и DEF (черт. 48)
AC = DF, AB = DE, угол BAC > угла EDF.
Требуется доказать, что BC > EF.
Так как D меньше угла A, то сторона DE пойдет по направлению AE’.
Здесь могут быть три случая: точка E может упасть вне, на сторону и внутри треугольника ABC, т. е. в точках E’, E» и E»’.
Не трудно заметить, что
AE» + E»B > AB
CE» + E»E’ > CE’
Сложив эти неравенства, получим:
AE» + E»B + CE» + E»E’ > AB + CE’
AE» + E»E = AE’
CE» + E»B = BC
Здесь AE’ = AB, следовательно,
BC > CE’ или
BC > EF (ЧТД).
BC > E»C, а следовательно, BC > EF.
По свойству ломаных (теорема 1)
AB + BC > AE»’ + E»’C или
AB + BC > DE + EF.
Так как AB = DE, то последнее неравенство дает
Итак во всех трех случаях BC > EF (ЧТД).
Дано. В треугольниках ABC и DEF (черт. 48) AB = DE, AC = DF и BC > EF.
Требуется доказать, что угол BAC > угла EDF.
1) Если бы угол BAC равнялся углу EDF, то два треугольника ABC и EDF были бы равны (теорема 20). В этом случае сторона BC равнялась бы стороне EF, что противоречит условию.
2) Если бы угол BAC был меньше угла EDF, то по предыдущей теореме и сторона BC была бы меньше EF, что также противоречит условию; следовательно, угол BAC больше угла EDF (ЧТД).
Взаимное отношение углов и сторон в треугольнике
Дан равнобедренный треугольник ABC (черт. 49), т. е. треугольник, у которого AB = BC.
Требуется доказать, что ∠ A = ∠ C.
Два треугольника ABD и BDC равны, ибо имеют по три равных стороны. Действительно:
BD — общая сторона;
AD = DC по построению (D середина отрезка AC);
AB = BC по условию.
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, следовательно,
Дано. В треугольнике ABC ∠ A = ∠ C (черт. 50).
Требуется доказать, что AB = BC.
AC — общая сторона,
AD = BC по построению,
∠ A = ∠ C по условию.
Таким образом, AC и AD, две стороны треугольника ADC и уголь между ними A соответственно равны AC и BC, двум сторонам треугольника ABC, и углу C между ними. При этих условиях треугольники ADС и ABC были бы равны, что очевидно несообразно, ибо ∆ADC
Дано. В треугольнике ABC (черт. 51) ∠ A > ∠ C.
Т ребуется доказать, что BC > AB.
В равнобедренном треугольнике ADC
следовательно, предыдущее неравенство примет вид
Дано. В треугольнике ABC (черт. 51) BC > AB.
Требуется доказать, что ∠ BAC = ∠ BCA.
b) Угол A не может быть меньше C, ибо тогда сторона BC была бы меньше AB (теорема 27), следовательно, BC > AB (ЧТД).
Равенство прямоугольных треугольников
Так как у прямоугольных треугольников прямые углы равны, то для равенства их требуется меньше условий.
Здесь имеют место два случая:
A) Когда два катета одного равны двум катетам другого и
Разберем эти два случая отдельно.
A) Прямоугольные треугольника ABC и DEF (черт. 52) имеют равные катеты
В этом случае треугольники равны, ибо они имеют по двум равным сторонам и по равному углу между ними.
B) Прямоугольные треугольники ABC и DEF имеют по равному катету и равной гипотенузе, следовательно, BC = EF, DE = AB (черт. 52).
Здесь тоже имеют место два случая:
Рассмотрим эти два случая отдельно:
A) Если прямоугольные треугольники имеют по равному катету и равному острому углу, то острый угол может быть a) прилежащий или b) противолежащий.
a) Прямоугольные треугольники имеют по равному катету и равному прилежащему острому углу, т. е.
DE = AB и ∠ E = ∠ B (черт. 52).
В этом случае треугольники равны, ибо они имеют по равной стороне и равным двум лежащим на ней углам.
b) Прямоугольные треугольники имеют по равному катету и по равному противоположному острому углу, т. е.
DE = AB, ∠ C = ∠ F (черт. 52).
Повернуть треугольник DEF около оси DE и приставив сторону DE к стороне AB так, чтобы он занял положение ABF (черт. 53), получим равнобедренный треугольник FBC, ибо ∠ F = ∠ C, следовательно, наклонные BF и BC тоже равны и находятся на равных расстояниях AF и AC от перпендикуляра AB, т. е. два треугольника ABF и ABC равны, а следовательно равны и треугольники ABC и DEF (ЧТД).
B) Прямоугольные треугольники имеют по равной гипотенузе и равному острому углу, т. е.
BC = EF, ∠ C = ∠ F (черт. 52)
Дан угол ABC (черт. 54) и биссектриса BO, следовательно
Требуется доказать, что для какой-нибудь точки O перпендикуляры OE и OF равны.
∠ EBO = ∠ FBO по условию,
следовательно, EO = FO (см. теорему 30) (ЧТД).
Дан треугольник ABC (черт. 55), O есть точка пересечения перпендикуляров DO и EO, восставленных из середин сторон AB и AC, следовательно,
Требуется доказать, что точка O находится на перпендикуляре, восставленном из середины третьей стороны BC.
Точка O находится на перпендикуляре восставленном из середины отрезка AC (теорема 17), следовательно, AO = CO.
Точка O находится на перпендикуляре, восставленном из середины отрезка AB, следовательно, AO = BO.
Откуда BO = CO, т. е. точка O находится на равном расстоянии от концов отрезка BC, следовательно, она находится на перпендикуляре FO, восставленном из середины отрезка BC (ЧТД).
Даны линии AO и BO — биссектрисы углов A и B треугольника ABC и точка O (черт. 56) их точка пересечения, следовательно,
∠ BAO = ∠ CAO, ∠ ABO = ∠ CBO.
Требуется доказать, что линия OC будет тоже биссектрисой угла C.
Из того, что AO биссектриса угла A, следует (теорема 31), что
Из того, что BO биссектриса угла B, следует, что
Треугольники CFO и CDO равны, как прямоугольные треугольники, имеющие по равному катету DO и FO и гипотенузе CO (теорема 29), откуда
Следовательно, прямая CO есть биссектриса угла BCA (ЧТД).