Лекция по математике на тему «Аксиомы стереометрии»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов и родителей, перспективы рынка труда и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Аксиома – это утверждение не требующее доказательства.
Аксиомы стереометрии – утверждения о свойствах геометрических тел, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются все теоремы и вообще строится вся геометрия.
Аксиома А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома А1 состоит из двух частей.
Первая часть утверждает, что через три точки проходит плоскость, т.е. существует хотя бы одна плоскость.
А вторая часть аксиомы говорит, что такая плоскость только одна.
Символ читается как существует.
По этой аксиоме, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость.
Поэтому плоскости иногда обозначают тремя большими буквами, используя любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой.
У нас на экране плоскость обозначена как α. Эту же плоскость можно обозначить как ABC
Аксиома 1 (существование плоскости)
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
, причем α – единственная.
Аксиома А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Эта аксиома устанавливает взаимосвязь между прямой и плоскостью, то есть тот факт, что плоскость действительно плоская и прямая ее не «протыкает», а целиком содержится в ней.
Из аксиомы A 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку..
Эта аксиома очень важная. Она утверждает, что две плоскости не могут пересекаться по одной единственной точке.
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Справедливость фактов планиметрии
Мы с вами познакомились с тремя аксиомами стереометрии.
Возникает вопрос: «Можем ли мы пользоваться теми фактами, которые справедливы на плоскости: теорема Пифагора, формулы площади треугольников, параллелограмма? Или все эти формулы, теоремы для нас уже не имеют значения?»
В планиметрии мы имели дело с одной плоскостью, на которой располагались все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много плоскостей.
И в каждой из плоскостей, справедливы все факты планиметрии. В любой из плоскостей выполняется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, верны формулы длины окружности, верны формулы для площади.
Все что мы изучали, мы теперь можем применять смело в каждой из рассматриваемых плоскостей.
Аксиомы стереометрии не противоречат аксиомам планиметрии.
В стереометрии принимаются все факты планиметрии для каждой плоскости.
Переходим к решению задач
Задача 1. По рисунку назовите:
По рисунку назовите:
Аналогично:
Аналогично: .
Аналогично:
Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Найти: Могут ли 3 из них лежать на одной прямой?
Две точки A и С прямой m принадлежат в плоскости , значит и точка B этой прямой принадлежит этой плоскости.
Получается, что в одной плоскости лежат все четыре точки, что противоречит условию задачи. Значит предположение неверно, никакие три точки не лежат на одной прямой.
лежать на одной прямой.
Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Найти: Могут ли 3 из них лежать на одной прямой?
Пусть:
(аксиома А1)
(аксиома А2)
. Получили противоречие, по условию задачи точки не лежат в одной плоскости.
Предположение неверно, никакие три точки не лежат на одной прямой.
Задача 3. Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?
Найти :Количество плоскостей
Так как две точки A и C прямой m принадлежат плоскости α, то и точка B прямой m принадлежит этой плоскости.
Все три точки принадлежат плоскости.
Значит плоскость α – искомая плоскость.
Ответ: Через три данные точки, лежащие на одной прямой, может проходить
бесконечное множество плоскостей.
Доказать:
Найти: Количество плоскостей
Пусть .
(аксиома A 1).
(аксиома A 2).
Плоскость α – искомая плоскость.
Т. к D – произвольная точка, то таких плоскостей бесконечное множество.
Ответ: бесконечное множество.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-025570
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В Оренбурге школьников переведут на дистанционное обучение с 9 декабря
Время чтения: 1 минута
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Педагогам Северной Осетии в 2022 году будут выплачивать надбавки за стаж
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
В МГПУ сформулировали новые принципы повышения квалификации
Время чтения: 4 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве, называется стереометрией.
Основными понятиями стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Пространство состоит из бесконечного множества точек. Прямые и плоскости состоят из бесконечного множества точек пространства и не совпадают со всем пространством.
Будем предполагать, что для любой плоскости пространства выполняются все аксиомы, определения и теоремы планиметрии. Кроме того, будем предполагать справедливыми следующие аксиомы стереометрии:
1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
2. Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой принадлежат этой плоскости.
3. Если две различные плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой.
Используя эти аксиомы, докажем следующие утверждения:
Доказательство. На данной прямой l возьмем какие-нибудь две точки А и В (рис.).
Тогда по аксиоме 1 через данную точку М и точки А и В проходит единственная плоскость р и все точки прямой l принадлежат плоскости р.
Следовательно, плоскость р проходит через прямую l и не принадлежащую ей точку М. Другой такой плоскости нет, так как она должна проходить через три точки А, В, М, не лежащие на одной прямой, и, следовательно, должна совпасть с плоскостью р.
Доказательство. Действительно, пусть прямые 11 и 12 пересекаются в точке М (рис.).
На прямых 11 и 12 возьмем какие-нибудь точки A и В, отличные от точки М. Тогда через три точки А, В, М проходит единственная плоскость р. В силу аксиомы 2 плоскость р проходит через данные прямые 11 и 12.
Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 1
1. Основные фигуры стереометрии
Аксиомы планиметрии описывают свойства простейших геометрических фигур на плоскости. Так как стереометрия изучает фигуры в пространстве и в пространстве может быть великое множество плоскостей, то аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии с уточнением «на» или «в заданной плоскости» и 3-х дополнительных аксиом.
2. Группа дополнительных аксиом стереометрии
1. Для любой плоскости в пространстве, существуют точки принадлежащие данной плоскости и точки не принадлежащие ей.
2. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
3. Через две различные прямые, имеющие общую точку, можно провести только одну плоскость.
Рис. 1. Аксиомы стереометрии.
Пример
Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две прямые пересечения из них пересекаются. Доказать, что три прямые пересечения этих плоскостей пересекаются в одной точке.
Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости α, β и γ. Плоскость α пересекает плоскость β по прямой а. А плоскость β пересекает плоскость γ по прямой с (Рис. 2 а).
точка Е ∈ а,с (прямые пересекаются в точке Е по условию задачи)
Тогда плоскости α и γ пересекаются по прямой b.
Отсюда следует, что, т.к. прямые b,с ∈ γ, то они либо параллельны, либо пересекаются в какой-то точке Е1.
Если они параллельны, то у них нет общих точек, а следовательно, плоскости α и β пересекаются по прямой а, параллельной b и с (Рис. 2 б). А это противоречит условию задачи. Следовательно, прямые b и с пересекаются в какой-то точке Е1.
Отсюда можно сделать вывод, что точка Е1 принадлежит трем плоскостям α,β,γ и, следовательно, она лежит одновременно на трех прямых а, b и с. А это возможно только, если три прямые пересекаются в одной точке. И, следовательно, прямая b пересекает прямую с в точке Е1, которая является точкой пересечения прямых а и с. Таким образом, точки Е и Е1 совпадают.
Рис.2. Даны три попарно пересекающиеся плоскости.
3. Плоскость, проходящая через данную прямую и точку
Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость.
Доказательство.
Пусть АВ данная прямая и Е не принадлежащая ей точка. (Рис.3) Проведем через точки А и Е прямую. Тогда прямые АВ и АЕ пересекаются в точке А. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость α, проведенная через эти прямые, единственная. Т.к. точка Е принадлежит прямой АЕ, то она принадлежит плоскости α.
Если допустить, что существует еще одна плоскость α’, проходящая через прямую АВ и точку Е, то эта плоскость пересекает плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В, и Е согласно аксиоме 2. А это противоречит условию, т.к. точки А, В, и Е не лежат на одной прямой. Следовательно, плоскость α единственная.
Рис. 3 Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4. Пересечение прямой с плоскостью
Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит данной плоскости.
Доказательство.
Проведем через прямую а и точку С плоскость β. Тогда, если плоскости α и β совпадают, то прямая а принадлежит плоскости α, что и утверждает данная теорема. Если плоскости α и β не совпадают, то они пересекаются по прямой а’. Таким образом, имеем:
точки А и В ∈ а, α прямая а ∈ β следовательно, точки А и В ∈β
Отсюда следует, что две точки А и В принадлежат двум плоскостям: α и β. И, согласно аксиоме, они могут лежать только на прямой а’, которая является прямой пересечения этих плоскостей. Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, и по условию теоремы эта прямая есть а, то следовательно, она и является прямой пересечения двух плоскостей. Т.е. прямые а и а’ совпадают. А следовательно, прямая а принадлежит плоскости α.
Из данной теоремы следует, что плоскость и не принадлежащая ей прямая, либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Рис. 4 Пересечение прямой с плоскостью.
5. Существование плоскости, проходящей через три данные точки
Теорема. Через три точки, не лежащие на данной прямой, можно провести только одну плоскость. Рис.5
Доказательство. Пусть А, В, С три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем через точки А,С и В,С прямые. Тогда они пересекаются в точке С. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость, проведенная через эти прямые, единственная. По теореме о пересечении прямой с плоскостью, обе прямые целиком принадлежат данной плоскости.
Рис. 5 Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
6.Пример 1
Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
Доказательство:
Пусть дана данная прямая а и точка О, не принадлежащая прямой а. И даны пересекающие ее прямые b, c, d в точках B, C, D, которые пересекаются в точке О. Проведем через прямую а и точку О плоскость α (Рис.6).
По теореме о пересечении прямой и плоскости, если провести прямую b, проходящую через точку О и точку В прямой а, то она целиком будет принадлежать плоскости α, так как две точки прямой b принадлежат плоскости α.
Если допустить, что прямая b не принадлежит плоскости α, то в этом случае мы можем провести плоскость α’, проходящую через точки В и О. Тогда плоскости α и α’ пересекаются по прямой b’, проходящей через точки В и О. А так как через две точки можно провести только одну прямую, то прямые b и b’ совпадают. Следовательно, прямая b целиком принадлежит плоскости α.
Точно так же доказывается, что прямые с и d принадлежат плоскости α. Отсюда можно сделать вывод, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
Рис.6 Задача. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую.
Пример 2
Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.
Доказательство:
Пусть даны две непересекающиеся плоскости α и α’. И прямая а, которая пересекает плоскость α в точке В (Рис.7). Необходимо доказать, что прямая а пересекает плоскость α’ в точке В’.
Возьмем на плоскости α’ точку А и проведем через нее и прямую а плоскость β. Тогда плоскость β будет пересекать плоскости α и α’ по параллельным прямым b и b’. Точка В принадлежит прямой b, так как она принадлежит плоскости α и лежит на прямой а. И следовательно, она принадлежит двум плоскостям α и β.
Таким образом получается, что на плоскости β лежат две параллельные прямые b и b’. Одну из них пересекает прямая а в точке В. Следовательно, прямая а пересекает и вторую прямую b’. Так как согласно аксеоме, через точку В, не лежащей на данной прямой b’, можно провести только одну, параллельную прямой b’, прямую b. Отсюда следует, что прямая а не параллельна прямой b’, она ее пересекает в точке B’.
Рис.7 Задача. Даны две непересекающиеся плоскости.
Пример 3
Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а. И прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются.
Доказательство:
Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А (Рис.8). Необходимо доказать, что прямая b пересекает прямую а.
По условию задачи, прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А. Следовательно, точка А принадлежит двум плоскостям α и β.
Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что, так как точка А принадлежит двум плоскостям, то она лежит на прямой а, потому что прямая а является прямой пересечения двух плоскостей α и β.
Таким образом, точка А принадлежит двум прямым а и b. А следовательно, эти прямые пересекаются.
Рис.8 Задача. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а.
Пример 4
Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.
Доказательство:
Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Точки А, В, С одновременно принадлежат двум плоскостям α и β (Рис.9). Необходимо доказать, что все три точки принадлежат прямой а.
Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что все три точки А, В и С лежат на прямой пересечения двух плоскостей, т.е. прямой а, так как они принадлежат обоим плоскостям α и β.
Пусть дана точка D, принадлежащая только плоскости β. Тогда она не может лежать на прямой а, так как она не принадлежит плоскости α. Точно так же точка Е не может принадлежать прямой а, так как она принадлежит только плоскости α. Точка F не принадлежит плоскостям α и β, а следовательно, и прямой а.
Рис.9 Задача. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей.
Пример 5
Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.
Доказательство:
Пусть даны четыре точки А, В, С, D. Допустим, что все четыре точки лежат в одной плоскости α.
Прямая АВ не пересекается с прямой CD. Прямая АС также не пересекается с прямой BD. Если провести прямую AD, то точки В и С окажутся в разных полуплоскостях. Следовательно, прямая AD пересекается с прямой ВС в точке О (Рис.10 а).
Допустим, что прямая AB не пересекает прямую DС (Рис.10 б). АD не пересекает прямую BC. Тогда, если провести прямую АС, то точки B и D окажутся в разных полуплоскостях. И прямая АС будет пересекать прямую BD в точке О.
Теперь допустим, что прямая AC не пересекает прямую ВD (Рис.10 в). АD не пересекает прямую ВC. Тогда, если провести прямую АВ, то точки D и C окажутся в разны полуплоскостях. А следовательно, прямая АВ будет пересекать прямую СD в точке О.
Отсюда можно сделать вывод, для того, чтобы выполнялось условие, при котором прямые АВ, АС, АD, одновременно не пересекали бы прямые CD, BD, BC, необходимо чтобы четыре точки А, В, С и D лежали в разных плоскостях.
Рис.10 Задача. Даны четыре точки. Известно, что прямая.
, причем α – единственная.
