Как доказать что угол тупой
Тупой угол
Тупой угол — это угол, больший прямого, но меньший развёрнутого.
Градусная мера тупого угла — от 90º до 180º.
∠ABC, ∠DEF, ∠PTK — тупые углы.
Построить тупой угол заданной градусной меры можно с помощью транспортира.
Построить с помощью транспортира угол 140º.
1) Отмечаем точку — вершину угла.
2) От точки проводим луч — сторону угла.
3) Отметку в центре транспортира (у разных моделей отметка может располагаться в разных местах) совмещаем с вершиной угла таким образом, чтобы отметка 0º находилась на стороне угла.
4) Находим 140º на той шкале, где находится 0º, и ставим точку.
5) От вершины угла к отмеченной точке проводим луч — вторую сторону угла.
На рисунках показано построение угла 140º с началом отсчёта по разным шкалам — по нижней и по верхней.
Чтобы найти тупой угол на рисунке при помощи угольника, нужно приложить вершину угольника к вершине угла так, чтобы сторона угольника проходила вдоль одной из сторон угла. Если угол тупой, то его другая сторона выйдет за вторую сторону угольника.
Теорема косинусов и синусов
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:
Но так как b = c * cos α, то
Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.
Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула теоремы косинусов:
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
Приравниваем правые части уравнений:
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.
Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы
Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.
Тупоугольный треугольник (понятие и определение):
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.
Рис. 1. Тупоугольный треугольник
∠ BАC– тупой угол треугольника,
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника,
Рис. 3. Прямоугольный треугольник
Рис. 4. Равнобедренный треугольник
АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,
Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.
Элементы тупоугольного треугольника:
Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.
Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол
Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.
Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника
MA – медиана тупоугольного треугольника
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника
MС – высота тупоугольного треугольника
Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.
Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.
Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника
MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника
Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Свойства тупоугольного треугольника:
Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Рис. 9. Тупоугольный треугольник
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами
3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.
4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
Урок 20. Геометрия 7 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники»
Теорема о сумме углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Из теоремы следует, что если в треугольнике один из углов является прямым или тупым, то сумма двух других углов данного треугольника не больше 90 градусов, а следовательно, каждый из них острый.
По величине углов выделяют следующие виды треугольников.
Нужно знать, что стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия.
Итак, две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
Если взять прямоугольный лист бумаги и разрезать его, получим:
Получим две модели прямоугольного треугольника.
Для начала соединим точку В с точкой О, которая является центром нашей окружности. Так как отрезки ОА, ОВ и ОС равны как радиусы окружности, то треугольники АОВ и ВОС являются равнобедренными. А значит, у них углы при основаниях равны. Обозначим градусные меры этих углов m и n. Тогда ∠АОВ=2n, так как он является внешним углом треугольника ВОС, смежным с ∠ВОС. А нам известно, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
А так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то:
Что и требовалось доказать.
Доказать, что если в равнобедренном треугольнике АВС один из углов равен 60 градусов, то он равносторонний.
Если ∠А при основании равнобедренного треугольника АВС равен 60 градусов, то и второй ∠С при основании равен 60 градусам. Получаем:
Следовательно, треугольник АВС равносторонний.
Пусть ∠В при вершине равнобедренного треугольника АВС равен 60 градусам. Тогда получим:
А так как углы А и С- углы при основании равнобедренного треугольника, то они равны между собой и равны 60 градусам. А следовательно, и в этом случае треугольник АВС является равносторонним. Что и требовалось доказать.
Доказать, что в прямоугольном треугольнике АВС медиана, проведённая к гипотенузе АВ, равна половине гипотенузы.
Отложив ∠2=∠1, получаем:
Треугольник ADC является равнобедренным. А следовательно, отрезок DA=DC.
Известно, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, то есть:
Тогда из равенств получаем:
Из этого следует, что ВСD равнобедренный треугольник, у которого стороны DB и DC равны.
Равнобедренный тупоугольный треугольник – основание, формула
Равнобедренный треугольник наиболее часто встречается в задачах по геометрии. Так сложилось, что равнобедренный треугольник не столь прост в решении, как правильный, но при этом обладает рядом интересных свойств, которые могут затруднить решение задачи.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным треугольником зовется треугольник, две стороны которого равны между собой. Тогда третья сторона зовется основанием, а равные стороны считаются боковыми.
Рис. 1. Равнобедренный треугольник.
Любой равнобедренный треугольник имеет ряд свойств:
Именно эти два свойства определяют специфические особенности равнобедренных треугольников. Как и произвольные треугольник, равнобедренные треугольники бывают 3 видов:
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам. Поэтому в равнобедренном и тупоугольном треугольнике наибольший угол всегда лежит напротив основания. Если такой угол лежал бы при основании, то сумма углов превысила бы 180 градусов, а это невозможно.
Тупоугольный треугольник
Тупой угол это угол больше 90 градусов. Очень часто тупоугольный треугольник стараются изобразить так, чтобы тупой угол находился у основания треугольника. Такой подход облегчает восприятие фигуры.
Рис. 2. Тупоугольный треугольник.
В любой треугольник тупой угол добавляет несколько особенностей:
Равнобедренный тупоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник это треугольник, который с одной стороны содержит в себе тупой угол, с другой имеет две равные между собой стороны.
Такой равнобедренный треугольник сложно воспринимать визуально. Дело в том, что с одной стороны тупоугольные треугольники ученики часто изображают так, чтобы тупой угол был при основании.
Но если тупой угол начертить в основании, то реальное основание тупоугольного равнобедренного треугольника будет визуально совпадать с боковой стороной. Такой подход очень часто приводит к ошибкам. Поэтому равнобедренный тупоугольный треугольник лучше рисовать с тупым углом напротив основания, а сам угол подписывать прямо на чертеже.
Рис. 3. Равнобедренный тупоугольный треугольник.
С другой стороны, этот подход не всегда помогает воспринимать фигуру именно как тупоугольный треугольник. Поэтому и нужно подписывать углы, а при решении доказывать или проверять условие на наличие доказательств существования тупого угла в треугольнике.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое тупоугольный равнобедренный треугольник и какими особенностями он обладает. Поговорили о том, как лучше начертить тупоугольный треугольник и выделили проблемы, которые могут возникнуть с этим вопросом при решении задач.