Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Окружность, вписанная в четырехугольник

Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.

На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что \( \small AB+CD=AD+BC \).

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то

Из равенств (1) и (2), следует:

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть \( \small AB+CD=AD+BC. \) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.

Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:

Но по условию данной теоремы:

Вычтем из равенства (4) равенство (3):

Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).

Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.

Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.

Источник

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Теорема 1 доказана.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около параллелограмма
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность
Окружность, описанная около ромба
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Теорема Птолемея

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Докажем, что справедливо равенство:

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

откуда вытекает равенство:

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность(1)

Источник

Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ 2022)

Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. Вот так:

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Вопрос: а можно ли получить вписанный четырехугольник?

Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Сейчас мы это выясним!

Вписанный четырехугольник — коротко о главном

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

\( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Вписанный четырехугольник — определения и теоремы

Вот оказывается, что это неправда!

НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность.

Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

На нашем рисунке: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \)

Посмотри, углы \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные?

Можно ли вместо углов \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) взять углы \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)?

Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \( \displaystyle 180<>^\circ \). Не веришь? Давай убедимся.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Пусть \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \( \displaystyle 360<>^\circ \).

То есть \( \displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360<>^\circ \) — всегда! \( \displaystyle 180<>^\circ \)

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.

Доказательство смотри чуть дальше.

А пока давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?

Вписанный параллелограмм

Попробуем сперва «методом научного тыка»:

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Вот как-то не получается. Теперь применим знание:

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть \( \displaystyle \angle B = \angle D\).

У нас получилось, что

\( \displaystyle \left\< \begin\angle B=\angle D\\\angle B+\angle D=180<>^\circ \end \right.\) → \( \displaystyle \left\< \begin\angle B=90<>^\circ \\\angle D=90<>^\circ \end \right.\)

А что же углы \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\)?

Ну, то же самое конечно.

\( \displaystyle ABCD\) – вписанный → \( \displaystyle \angle A+\angle C=180<>^\circ \) → \( \displaystyle \angle A=90<>^\circ \)

\( \displaystyle ABCD\) — параллелограмм→ \( \displaystyle \angle A=\angle C\) → \( \displaystyle \angle C=90<>^\circ \)

Источник

Вписанная в четырехугольник окружность

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьВ четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьO — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьAM=AN,

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

где p — полупериметр четырехугольника.

Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

Источник

Описанные четырехугольники

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Следовательно, справедливы равенства

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияКак доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружностьВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Квадрат
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

В любой квадрат можно вписать окружность

Прямоугольник
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

Параллелограмм
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

Дельтоид
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

Трапеция
Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Смотреть картинку Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Картинка про Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность. Фото Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *