Как доказать что в четырехугольник можно вписать окружность
Окружность, вписанная в четырехугольник
Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.
На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.
Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.
Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что \( \small AB+CD=AD+BC \).
Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то
Из равенств (1) и (2), следует:
Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть \( \small AB+CD=AD+BC. \) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.
Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.
Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.
Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.
Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.
Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:
Но по условию данной теоремы:
Вычтем из равенства (4) равенство (3):
Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).
Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.
Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).
Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.
Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.
Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Теорема 1 доказана.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Фигура | Рисунок | Свойство | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около параллелограмма | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник |
Окружность, описанная около параллелограмма | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник | |||||||||||||||||||||||
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, Теорема ПтолемеяДокажем, что справедливо равенство: Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4). откуда вытекает равенство:
Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ 2022)Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. Вот так: Вопрос: а можно ли получить вписанный четырехугольник? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника? Сейчас мы это выясним! Вписанный четырехугольник — коротко о главном
\( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).
Вписанный четырехугольник — определения и теоремыВот оказывается, что это неправда! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:
На нашем рисунке: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \) Посмотри, углы \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) взять углы \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \( \displaystyle 180<>^\circ \). Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \( \displaystyle 180<>^\circ \). Не веришь? Давай убедимся. Пусть \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \( \displaystyle 360<>^\circ \). То есть \( \displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360<>^\circ \) — всегда! \( \displaystyle 180<>^\circ \) Так что запомни крепко-накрепко:
Доказательство смотри чуть дальше. А пока давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \). Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Вписанный параллелограммПопробуем сперва «методом научного тыка»: Вот как-то не получается. Теперь применим знание: Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \). А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны. То есть \( \displaystyle \angle B = \angle D\). У нас получилось, что \( \displaystyle \left\< \begin А что же углы \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\)? Ну, то же самое конечно. \( \displaystyle ABCD\) – вписанный → \( \displaystyle \angle A+\angle C=180<>^\circ \) → \( \displaystyle \angle A=90<>^\circ \) \( \displaystyle ABCD\) — параллелограмм→ \( \displaystyle \angle A=\angle C\) → \( \displaystyle \angle C=90<>^\circ \) Вписанная в четырехугольник окружностьОписанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник. Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности? В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны. В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны: то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис. O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD. AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD, то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д. 3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины. AM=AN,
5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой где p — полупериметр четырехугольника. Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон. Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен Описанные четырехугольникиAH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG, Складывая эти равенства, получим: AH + BF + CF + DH = то справедливо равенство что и требовалось доказать. Следовательно, справедливы равенства Окружность касается касается стороны BC (рис.4). В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана. Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства: Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен. Итак, возможен и реализуется лишь случай 1. Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений. Примеры описанных четырёхугольников
| |||||||||||||||||||||||
Квадрат | |||||||||||||||||||||||
В любой квадрат можно вписать окружность | |||||||||||||||||||||||
Прямоугольник | |||||||||||||||||||||||
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом | |||||||||||||||||||||||
Параллелограмм | |||||||||||||||||||||||
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом | |||||||||||||||||||||||
Дельтоид | |||||||||||||||||||||||
Трапеция | |||||||||||||||||||||||
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
|