Как доказать что высота в равнобедренном треугольнике является медианой и биссектрисой
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию
Теорема (свойство высоты равнобедренного треугольника)
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его медианой и биссектрисой.
(как боковые стороны равнобедренного треугольника))
2) сторона CF — общая
∠ AFC= ∠ BFC=90º (как смежные)
Сумма углов треугольника равна 180º.
Если из 180º вычесть сумму равных углов, то получим равные углы:
Таким образом, имеем:
2) ∆ ACF=∆ BCF ( по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AF=BF.
Поэтому CF является также медианой треугольника ABC.
Что и требовалось доказать.
One Comment
Ну вобщем доказательство этой теоремы не совсем корректно. Потому что предполагает предварительное введение признаков равенства треугольников, включая признаки равенства прямоугольных треугольников. Потому что тут напрямую можно воспользоваться равенством тр. AFC и тр. FCB по общему катету CF и гипотенузам AC и BC… Но дело в том, что введение этих признаков требует доказательства ряда теорем и свойств и по курсу геометрии предполагается после этой теоремы. Поэтому по логике такое доказательство не совсем уместно… Мы приходим к логическому противоречию. И потому требуется другое доказательство, не требующее использования признаков равенства треугольников. Это же доказательство ещё хуже, поскольку тут потребовали ещё и равенства углов противолежащих равным сторонам. (Это отдельная теорема, которая так же излагается после). Хотя этот недостаток легко устраняется… Но доказательство получается довольно таки запутанным. Вначале надо провести биссектрису(как обычно и доказывается эта теорема) и доказать равенство этих углов. Но если выбрать такой путь, то гораздо проще провести сразу биссектрису(не высоту. ) и доказать всю теорему. А потом ввести следствия и доказать эту на основании уже доказанной скажем методом от противного. Так обычно и излагается этот материал. Но если мы хотим доказать все свойства через высоту, то надо придумать что-то другое…
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Содержание:
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
АВ = ВС — боковые стороны
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.
Боковые стороны равны АВ = ВС,
Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.
Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника
Доказательство теоремы:
Вывод:
Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Доказательство теоремы:
Доказательство от противного.
Признаки равнобедренного треугольника
Формулы равнобедренного треугольника
Формулы сторон равнобедренного треугольника
Формулы длины стороны (основания — b):
Формулы длины равных сторон — (а):
Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
Площадь равнобедренного треугольника
Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.
Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, обратное не верно.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы уже познакомились с такими понятиями как треугольник, рассмотрели его виды.
Рассмотрим такие виды треугольников: как равнобедренные и равносторонние, более подробно. Начнём с описания равнобедренного треугольника. Но для начала, дадим ему определение.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
AB и BC – боковые стороны ∆ABC.
Если третья сторона равна двум другим, то любая сторона может быть основанием.
Теперь рассмотрим треугольник, у которого все стороны равны. Такой треугольник называется равносторонним.
Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теперь сформулируем теорему о биссектрисе, медиане и высоте равнобедренного треугольника, проведённых к основанию.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.
AF– биссектриса ΔABC
Доказать: AF – медиана и высота.
Справедливы и следующие утверждения.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
А медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
AF – медиана ∠ВАС ΔABC
Доказать: AF – биссектриса и высота ΔABC.
∆ABF = ∆ACF т. к. ∠В = ∠С (по свойству равнобедренного треугольника); BF = CF (по определению медианы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → ∠BАF = ∠FАC (как соответствующие элементы равных треугольников) => AF ‑ биссектриса ΔABC (по определению биссектрисы треугольника).
∠AFB = ∠AFC как соответствующие элементы равных треугольников, но их сумма равна 180 (по свойству развернутого угла).
∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты треугольника).
Сегодня мы узнали, что такое равнобедренный, равносторонний треугольник, рассмотрели свойства равнобедренного треугольника.
Разберем задачу на доказательство.
Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие: «медиана равнобедренного треугольника».
На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, при этом AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.
По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)→ ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).
Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МСА = ∠ВАС (по свойству равнобедренного треугольника).
Получаем, что ∠А = ∠ВАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.
Что и требовалось доказать.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 50 см, боковая сторона AC на 4 см больше основания BC. Найдите основание треугольника.
Решение: Пусть х – основание ВС треугольника АВС, тогда АС = АВ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).
АС = АВ = х + 4 (по условию).
Периметр треугольника АВС равен сумме всех его сторон, т. е. 50 см = АС + ВС + АВ,
х = 14 см – основание BC.
На рисунке изображён равнобедренный треугольник ABC. AC – основание треугольника, ∠1 = 120. Найдите ∠2.
Решение: ∠1 и ∠АСВ – смежные →∠1 + ∠АСВ = 180, значит:
АВС – равнобедренный, значит: ∠ВАС = ∠АСВ = 60 (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
Свойства равнобедренного треугольника
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника (рис. 63, а).
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (рис. 63, б).
Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.
| В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. |
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что ∠B = ∠C. Пусть AD — биссектриса треугольника АВС (рис. 64). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠1 = ∠2, так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠B = ∠C. Теорема доказана.
| В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. |
Обратимся снова к рисунку 64, на котором 
АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, AD — его биссектриса.
Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и ∠3 = ∠4. Равенство BD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС, и поэтому AD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 — смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.
Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения: