Как доказать что заданная позиция в игре является выигрышной или проигрышной
Учитель информатики
Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.
Системный подход в моделировании. ГДЗ по Информатике 11 класс.
Информатика. 11 класс. Углубленный уровень. В 2 ч. Поляков К.Ю., Еремин Е.А.
§ 7. Системный подход в моделировании
1. Приведите примеры, когда в одной и той же ситуации люди используют разные модели. Какие из них можно считать системами?
2. Какие два типа табличных моделей вы знаете?
3. К какому типу можно отнести модель, построенную при решении задачи с путешественником? Обоснуйте ответ.
4. Какие типы диаграмм вы знаете? В каких случаях используется каждый из них?
*5. Изучите другие типы диаграмм, которые можно построить в табличных процессорах. Зачем они используются? Приведите примеры.
6. Объясните, почему любую систему, состоящую из подсистем, можно представить в виде иерархии.
7. Вспомните, что такое матрица смежности и весовая матрица графа (см. главу 1 в учебнике для 10 класса).
8. Зачем нужны сетевые модели при планировании производства?
9. Что такое семантические сети? В чем их достоинства и недостатки?
10. Что такое семантическая паутина? Можно ли её создать на основе существующих веб-страниц? Обоснуйте свой ответ.
11. Что такое выигрышная стратегия в игре?
12. Как доказать, что заданная позиция в игре является выигрышной (или проигрышной)? Как вы думаете, в каких случаях это сделать не удаётся?
13. Почему для того, чтобы доказать выигрыш какого-то игрока в заданной начальной позиции, не нужно строить полное дерево игры?
а) «Типы диаграмм»
б) «Сетевое планирование»
в) «Семантические сети»
г) «Интеллект-карты (mind maps)»
д) «Диаграммы Ганта»
е) «Использование ленты времени»
Задачи
1. В графе 9 узлов, причём каждый узел связан со всеми другими. Сколько всего связей в этой модели?
2. Система состоит из трёх подсистем по три элемента в каждой. Все элементы в каждой подсистеме связаны со всеми другими, кроме того, каждая подсистема связана со всеми другими подсистемами. Сколько всего связей в этой системе? Сравните ответы этой и предыдущей задач, сделайте выводы.
3. Постройте матрицы смежности и весовые матрицы для следующих графов.
4. Изготовление прибора «Заря-М» описывается следующей сетевой моделью (веса дуг обозначают длительность работ в днях).
Определите, через сколько дней после начала работ будет изготовлен прибор.
5. Постройте семантическую сеть на основе текста: «Кошачьи — семейство млекопитающих отряда хищных. Кроме кошек к ним относятся, например, львы и тигры. У кошачьих развиты слух и зрение. У нас дома живёт кошка Мурка. У неё рыжая шерсть».
6. Путешественник прибыл в посёлок Луковое в полночь по местному времени и увидел следующее расписание автобусов.
Определите самое раннее время, когда он может попасть в Васильево, и как ему нужно ехать.
7. Путешественник прибыл в посёлок Сычёво в 10:00 по местному времени и увидел следующее расписание автобусов.
Определите самое раннее время, когда он может попасть в посёлок Рогатое, и как ему нужно ехать.
8. Путешественник прибыл в посёлок Кунцево в полночь по местному времени и увидел следующее расписание автобусов.
Определите самое раннее время, когда он может попасть в посёлок Ручьи, и как ему нужно ехать.
9. Путешественник прибыл в посёлок Моховое в полночь по местному времени и увидел следующее расписание автобусов.
Определите самое раннее время, когда он может попасть в посёлок Лесное, и как ему нужно ехать.
10. На диаграмме показано, сколько ноутбуков, МРЗ-плейеров и телевизоров продала некоторая фирма в первые три месяца года (I квартал).
Какая из следующих диаграмм правильно отражает соотношение общего количества проданных товаров разных видов за весь I квартал?
11. В соревнованиях участвовали спортсмены из Москвы, Санкт- Петербурга и Мурманска, каждый из них имеет III, II или I разряд. На диаграмме 1) показано количество спортсменов, имеющих разные разряды, а на диаграмме 2) — соотношение спортсменов из разных городов.
Какие из этих утверждений следуют из анализа диаграмм:
а) все спортсмены, имеющие П разряд, могут быть москвичами;
б) все спортсмены из Мурманска могут иметь II разряд;
в) все спортсмены из Санкт-Петербурга могут иметь I разряд;
г) все спортсмены III разряда могут быть из Москвы?
12. В салоне продаются автомашины «Лада», «УАЗ» и «Ока» трёх цветов: красного, синего и зелёного. На диаграмме 1) показано количество машин разного цвета, а на диаграмме 2) — количество машин разных марок.
Какие из этих утверждений следуют из анализа диаграмм:
а) все автомобили «УАЗ» — зелёные;
б) среди автомобилей «Ока» нет красных;
в) все автомобили «Ока» — синие;
г) среди автомобилей «Лада» есть синие?
13. Два игрока играют в следующую игру. Вначале перед ними лежит куча из некоторого количества камней (обозначим его S). За один ход игрок может добавить в кучу 2 камня или увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней. Победителем считается игрок, первым получивший кучу, в которой 25 камней или больше. Для каждого значения S (1 ≤ S ≤ 24) определите, кто выиграет и за сколько ходов. Для S = 7 постройте дерево игры, показывающее стратегию выигрывающего игрока.
14. Два игрока играют в следующую игру. Вначале перед ними лежит куча из некоторого количества камней (обозначим его S). За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней. Победителем считается игрок, первым получивший кучу, в которой 55 камней или больше. Для каждого значения S (1 ≤ S ≤ 54) определите, кто выиграет и за сколько ходов. Для S = 16 постройте дерево игры, показывающее стратегию выигрывающего игрока.
15. Два игрока играют в следующую игру. Вначале перед ними лежит куча из некоторого количества камней (обозначим его S). За один ход игрок может добавить в кучу два камня, добавить в кучу три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней. Победителем считается игрок, первым получивший кучу, в которой 30 камней или больше. Для каждого значения S (1 ≤ S ≤ 29) определите, кто выиграет и за сколько ходов. Для S = 9 постройте дерево игры, показывающее стратегию выигрывающего игрока.
16. Игра Баше. Два игрока играют в следующую игру. Вначале перед ними лежит куча из некоторого количества камней (обозначим его S). За один ход игрок может взять из кучи 1, 2 или 3 камня. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Для каждого значения S (1 ≤ S ≤ 15) определите, кто выиграет и за сколько ходов. Для S = 12 постройте дерево игры, показывающее стратегию выигрывающего игрока.
Урок 15
Использование графов
§ 18. Игровые стратегии
Содержание урока
Выигрышные и проигрышные позиции
Выигрышные и проигрышные позиции
Ключевые слова:
Как вы уже знаете из § 16, игровые модели — это модели, которые описывают соперничество двух (или более) сторон, каждая из которых стремится к выигрышу, т. е. преследует свою цель. Часто цели участников противоречивы — выигрыш одного означает проигрыш других.
Построением и изучением игровых моделей занимается теория игр — раздел прикладной математики. Задача состоит в том, чтобы найти стратегию (алгоритм игры), который позволит тому или другому участнику получить наибольший выигрыш (или, по крайней мере, наименьший проигрыш) в предположении, что соперники играют безошибочно.
Стратегия — это алгоритм игры, который позволяет добиться цели в игре в предположении, что соперники играют безошибочно.
Мы будем изучать игры с полной информацией, в которых результат не зависит от случая (говорят, что в таких играх нет неопределённое™). Игроки делают ходы по очереди, в любой момент им известна позиция и все возможные дальнейшие ходы.
Можно ли считать играми с полной информацией «крестики-нолики», карточные игры, шахматы, шашки, «морской бой»?
Теоретически в играх с полной информацией можно построить последовательность ходов из заданной начальной позиции, которая приведёт одного из игроков к выигрышу или, по крайней мере, к ничьей. Нас будут интересовать простые игры, где не так много вариантов развития событий и перебор ходов возможен за приемлемое время. В большинстве игр, например в шахматах, количество вариантов настолько велико, что их полный перебор требует огромного времени и поэтому нереален.
Подсчитайте, сколько различных ходов могут сделать крестики в начале игры «крестики-нолики» на поле 3×3. Сколько различных позиций может возникнуть после ответного хода ноликов? После второго хода крестиков? После второго хода ноликов? Как можно сократить количество рассматриваемых вариантов в этой игре?
Подсчитайте, сколько различных ходов могут сделать белые в начале шахматной игры.
Все позиции (игровые ситуации) делятся на выигрышные и проигрышные.
Выигрышная позиция — это такая позиция, в которой игрок, делающий первый ход, может гарантированно выиграть при любой игре соперника, если не сделает ошибку.
При этом говорят, что у него есть выигрышная стратегия — алгоритм выбора очередного хода, позволяющий ему выиграть.
Проигрышная позиция — это такая позиция, в которой игрок, делающий первый ход, обязательно проиграет, если его соперник не сделает ошибку.
В этом случае говорят, что у него нет выигрышной стратегии. Таким образом, общая стратегия игры состоит в том, чтобы своим ходом создать проигрышную позицию для соперника.
Найдите среди позиций игры в «крестики-нолики», показанных на рис. 3.37, выигрышные и проигрышные. Во всех случаях ходят нолики.
Найдите все возможные ходы белых и чёрных фигур в позиции, показанной на рис. 3.38.
Найдите выигрышный ход белых (они начинают).
Выигрышные и проигрышные позиции можно охарактеризовать так:
• позиция, из которой все возможные ходы ведут в выигрышные позиции, — проигрышная;
• позиция, из которой хотя бы один из возможных ходов ведёт в проигрышную позицию, — выигрышная, при этом выигрышная стратегия игрока состоит в том, чтобы перевести игру в эту проигрышную (для соперника) позицию.
В позициях, показанных на рис. 3.39, найдите выигрышный ход ноликов, который создаёт проигрышную (для крестиков) позицию.
Докажите, что все позиции, показанные на рис. 3.40, проигрышные для ноликов. Рассмотрите все возможные ходы и для каждого из них укажите выигрывающий ход крестиков.
Следующая страница 
Дерево перебора вариантов
Cкачать материалы урока
Знакомство с теорией игр
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1
Алёша Попович и Илья Муромец борются с девятиглавым змеем. По очереди они подходят к его логову и обрубают 1, 2 или 3 головы. Как Алёше заполучить победу, следовательно, срубить последнюю голову, если Илья также хочет победить?
Числовая линейка, на которой изображено текущее количество голов, змея принимает следующий вид:
Где 9 — это начальное значение, а 0 — конечное.
Алёша побеждает, если в результате его последнего удара у змея не остаётся голов совсем. Для этого необходимо, чтобы в результате удара Ильи у змея осталось 1, 2 или 3 головы. Коротко говоря, позиции 1, 2 и 3 являются выигрышными для Алёши (так же и для Ильи). Выигрышные и проигрышные позиции на числовой линейке будут отмечаться буквами В и П соответственно:
Если Илья начнёт биться со змеем, когда у него будет 4 головы, то любым своим ударом он воссоздаст ситуацию, из которой Алёша выйдет победителем, то есть, переведёт Алёшу в выигрышную позицию. В результате на предыдущем шаге Алёше необходимо перевести Илью в эту заведомо выигрышную для себя позицию:
Представить Илье соперника с четырьмя головами Алёша сможет, если будет находиться в позиции 5, 6 или 7:
Выигрышная стратегия — это алгоритм, согласно которому действует игрок и выигрывает вне зависимости от действий противника.
У игрока имеется выигрышная стратегия, если он способен выиграть при любых ходах противника. При этом такая стратегия может быть только у одного из игроков. Описать стратегию игрока — это возможность угадать, как именно он поступит в любой ситуации при разной тактике противника.
На рисунке в форме дерева описана выигрышная стратегия Алёши. На нём для Алёши всегда указывается один ход А, который обеспечивает необходимый результат. Для Ильи, выступающего в роли противника, рассматриваются все возможные варианты и заносятся в графу «Ход Д».
Пример 2
Два игрока, Петя и Ваня, играют в такую игру. Перед ними расположена кучка камней. Игроки ходят по очереди, а начинает игру Петя. За один ход игрок может выполнить любое из описанных далее действий:
К примеру, если в кучке есть 8 камней, то в результате первого хода может получиться 9, 10 или 24 камня.
Каждый игрок для своего хода имеет неограниченное число камней. Игра заканчивается тогда, когда в кучке более 45 камней. Выигрывает тот, кто выполнил последний ход, то есть, первым получил кучу, в которой находится 46 или более камней. Пусть перед первым ходом в кучке S камней, 1 ≤ S ≤ 45.
Стратегия первого игрока для победы после первого хода
Узнаем, какие значения должно принимать S, чтобы Петя выиграл после первого своего хода.
Если S = 45, тогда, если добавить в кучку один, два камня или умножить число камней в ней на три, Петя победит.
Если S = 44, то Петя победит тогда, когда добавит в кучку два камня или умножит на три число камней в ней.
В случае, если S = 43, то Петя выиграет, когда утроит число камней в кучке. Таким образом можно действовать до тех пор, пока S ≥ 16.
В результате Петя выигрывает, если S принимает значение от 16 до 45 — это его выигрышные позиции. Для победы Пете можно всегда умножать число камней в кучке на 3. Если S будет принимать меньшие значения, то за один ход невозможно получить кучку, в которой будет 46 или более камней.
Если кучка будет состоять из 15 камней, тогда после любого хода Пети Ваня может победить в этой игре. Например, если S = 15, тогда после первого хода Пети, обозначенного как «Ход П», в кучке будет 16, 17 или 45 камней. Каждый из этих случаев считается выигрышным для Вани, который следующим делает ход («Ход В»). Ему для победы можно увеличить число камней в 3 раза.
Стратегия первого игрока для победы после второго хода
Теперь предстоит определить значения S, при которых Петя будет иметь выигрышную стратегию, при этом он не сможет выиграть первым ходом, но сможет это сделать вторым, при этом вне зависимости от действий Вани.
Ранее было выяснено, что S = 15 — это проигрышная позиция для любого из игроков. Если Пете первым ходом удастся перевести в неё Ваню, тогда при любых его действиях, Петя окажется победителем. 15 камней Петя сможет получить при S = 14, S = 13 или S = 5. Прочих вариантов получить не удастся.
Опишем данные с помощью числовой линейки:
Стратегия второго игрока
Определим такое значение S, при котором Ваня будет иметь выигрышную стратегию, в результате которой он сумеет победить после первого или второго своего хода при любых действиях Пети. При этом Ваня не владеет стратегией, с помощью которой он гарантированно сможет выиграть после первого хода.
Здесь имеется ввиду проигрышная позиция для первого игрока. В результате поиск значения S следует выполнять среди позиций, которые не отмечены в качестве выигрышных.
Допустим, S = 12. Как бы ни пошёл Петя, он переведёт Ваню в выигрышную позицию, получив: 13, 14 или 36. Если будет получено 36, то Ваня может победить своим первым ходом, утроив число камней в кучке. В остальных же случаях ему придётся перевести соперника в проигрышную позицию S = 15, таким образом он обеспечит себе победу после второго хода. В результате проигрышная стратегия для Пети — это S = 12. Дерево решений таким образом будет иметь следующий вид:
Рассмотренные примеры напрямую относятся к теории игр — разделу современной математики, который связан с решением экономических, социологических, политологических, биологических задач и задач из многих других сфер, где требуется изучение поведения человека и животных в различных ситуациях.
Игра в этом является математической моделью определённой ситуации и воспринимается как процесс, в котором принимают участие две или более стороны, стремящиеся реализовать собственные интересы.
При этом игра описывается следующими признаками:
Игра может представляться в виде дерева, каждая вершина которого соответствует ситуации выбора игроком собственной стратегии.
Рассмотренные выше примеры можно отнести к играм с полной информацией. В таких случаях участники знают все ходы, которые были сделаны ранее, а также вероятные стратегии противников. Тогда появляется возможность предсказания последующего развития игры.
Информатика. 4 класс. Поурочные разработки (стр. 8 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 |
Итак, если игроку нужно делать ход из выигрышной позиции, он всегда сможет подобрать такой ход, который оставит противнику проигрышную позицию. Любой ход противника из этой (проигрышной) позиции оставит нашему игроку выигрышную позицию. Значит, он опять сможет выбрать ход, в результате которого позиция изменится на проигрышную, и т. д. В итоге игрок выиграет в этой партии, как бы ни старался противник.
Продолжим исследования позиций в игре «камешки», следуя данным определениям. Из позиций 5 и 6 есть ход, в результате которого получается проигрышная позиция 2. Значит, позиции 5 и 6 — выигрышные позиции. В результате всех ходов из позиции 7 получаются выигрышные позиции, значит, позиция 7 — проигрышная позиция и т. д.
Что же такое разумная партия с точки зрения уже введённых определений выигрышной и проигрышной позиций? Это такая партия, в которой на каждом ходу игроки стараются по возможности оставить противнику проигрышную позицию. Если игроку досталась выигрышная позиция, то он наверняка сможет оставить противнику проигрышную. Однако если игрок делает ход из проигрышной позиции, то соблюсти это правило точно невозможно, как бы он ни старался (ведь всякий ход из проигрышной позиции оставляет противнику выигрышную позицию). Таким образом, на самом деле разумно может вести себя только игрок, который делает ход из выигрышной позиции. Если такой игрок на протяжении всей игры делает только разумные ходы, то в дальнейшем мы будем говорить, что он следует своей выигрышной стратегии. Его противник может при этом делать любые ходы, партия всё равно будет оставаться разумной.
Конечно, обсуждение этих моментов не нужно проводить со всем классом на первом уроке по теме. Главное, что должны понять дети после изучения листа определений, — чем выигрышная позиция отличается от проигрышной. Также они должны уметь раскрашивать позиции на числовой линейке и понимать, что в разумной партии игрок, у которого есть возможность, всегда должен делать такой ход, который оставит противнику проигрышную позицию.
Выигрышные и проигрышные позиции существуют и в других играх. Но изучение других игр связано с дополнительными трудностями. Так, в отличие от игры «камешки» в играх «ползунок», «сим», «крестики-нолики» все возможные позиции придётся размещать на дереве игры, которое чаще всего будет очень большим, поэтому возникают технические трудности. В игре «камешки» позиции Первого и Второго ничем не отличаются, поэтому можно говорить, что некоторая позиция является выигрышной или проигрышной для игрока, который должен делать из неё ход, и анализировать игру «камешки» одновременно как для Первого, так и для Второго (в отличие, например, от игры «крестики-нолики», в которой каждый игрок изменяет позицию по-своему, ставит свой знак, и поэтому каждую позицию нужно анализировать для каждого игрока в отдельности).
Решение задач 40—48 из учебника
Задача 40. Первое задание данной задачи — продолжение работы, начатой на листе определений. Поэтому ребятам помогут те же рассуждения, которые приведены на с. 27 — 28 учебника. Начинаем со следующей нераскрашенной позиции — позиции 9. Возможные ходы игры — 1, 3 и 4, следовательно, из позиции 9 могут получиться позиции 8, 6 и 5. Все они выигрышные, значит, позиция 9 проигрышная. Если кто-то из ребят испытывает трудности, поработайте вместе над позицией 9, используя наводящие вопросы: «Какие ходы может сделать игрок?», «Какие позиции могут получиться из позиции 9 в результате одного хода?», «Какими являются эти позиции (есть ли среди них проигрышные)?», «Какой (выигрышной или проигрышной) является позиция 9?».
Далее ребята продолжают раскрашивать числовую линейку самостоятельно до позиции 15:
Теперь, пользуясь раскрашенной числовой линейкой, учащиеся отвечают на вопросы, подводящие к пониманию поведения игроков в разумной партии. Как говорилось на листе определений, в разумной партии игрок всегда старается оставить противнику проигрышную позицию. Здесь же требуется подобрать такие ходы, которые могут быть в разумной партии.
Наконец, ребята должны составить разумную партию целиком. Мы уже обращали ваше внимание, что разумный ход (оставляющий противнику проигрышную позицию) может сделать лишь игрок, находящийся в выигрышной позиции. Поскольку игру начинает Первый и находится при этом в выигрышной позиции 15, то он может сделать разумный ход: взять 1 камешек и оставить Второму проигрышную позицию 14. Теперь в результате любого хода Второй оставит Первому выигрышную позицию (13, 11, 10). Второй просто не может сделать позицию проигрышной, поэтому он может делать любой ход, например взять 3 камешка. Первый снова должен сделать разумный ход и оставить Второму проигрышную позицию 7 и т. д. Итак, в данном случае разумной партию делает только Первый, все позиции, которые он оставляет Второму, должны быть проигрышными. Например, разумной будет следующая партия:
15 — 14 — 11 — 7 — 3 — 0.
Задача 41. Данная задача аналогична задаче 40, и работать с ней ребятам предстоит по той же схеме. Вот раскрашенная числовая линейка:
Существенное отличие обнаруживается лишь при выполнении последнего задания — написания цепочки разумной партии. Действительно, начальная позиция 12 — проигрышная, значит, Первый в начальной позиции не сможет сделать разумного хода: в результате любого его хода Второй получает выигрышную позицию. Зато Второй, оказавшись в выигрышной позиции, может сделать разумный ход — оставить противнику проигрышную позицию и поступать таким образом до конца партии, которая в этом случае закончится его победой. Вот одна из возможных разумных партий:
12 — 11 — 9 — 7 — 6 — 5 — 3 — 1 — 0.
Задача 42. Необязательная. Эта задача помечена как необязательная, хотя её первое задание ничем не сложнее обязательной задачи 40. Вот раскрашенная числовая линейка, которая должна появиться у ребят:
Однако ответ на вопрос потребует от ребят дополнительных размышлений и даже некоторого забегания вперёд — подобные вопросы мы будем обсуждать со всеми детьми позднее. Из материала листа определений и решения задачи 40 становится ясно, что игрок, находящийся в выигрышной позиции, может (делая до конца партии только разумные ходы) выиграть. Однако если он не будет делать разумные ходы, то может и проиграть. Обратите внимание, что в вопросе речь идёт не о разумной партии, а вообще о любой партии.
Проведя несколько партий в камешки по данным правилам (начальная позиция 11, разрешается брать 1 или 3 камешка), ребята могут убедиться в том, что выигрывает действительно всегда только Первый. Почему? Анализируя раскрашенную линейку, можно заметить, что Первый вынужден играть разумно, т. е. он при любом своём ходе оставляет Второму только проигрышные позиции. Это легко проверить, моделируя различные партии на раскрашенной числовой линейке.
Ещё проще можно объяснить исход игры, используя чётность и нечётность позиций. Действительно, при начальной позиции 11 (нечётное число) все возможные позиции после хода Первого — чётные числа (ведь разрешается брать только 1 или 3 камешка). А после хода Второго остаются всегда только нечётные числа. Поэтому позиция 0 может получиться только после хода Первого (0 — чётное число), а после хода Второго позиция 0 получиться не может.
Задача 43. Необязательная. Если у кого-то из ребят возникли трудности с решением, попробуйте с помощью вопросов навести его на мысли о связи длины ползунка (чётности или нечётности числа его звеньев) и выигрыша определённого игрока (см. комментарии к задачам 27, 28, 37). Посоветуйте ребятам сначала работать на черновике (на запасных полях 4 Ч 3 на листах вырезания), а уже потом нарисовать соответствующие позиции в рабочей тетради. Лучше, если ходы Первого и Второго ребята будут, как обычно, раскрашивать двумя разными цветами, так им проще будет увидеть победителя, а вам будет проще проверить правильность ответа.
Задача 44. Необязательная. Скорее всего, дети воспользуются методом проб и ошибок или методом перебора. Проще всего узнать первую команду в первой конструкции повторения, так как команда «вправо» — это единственная команда, которую может выполнить Робик из начального положения, не выходя за пределы закрашенной фигуры. Вторую команду можно определить перебором. Действительно, команду «вниз» Робик выполнить не может (тогда он выйдет за пределы поля), команду «вправо» — может, но тогда Робик не сможет повторить команды внутреннего цикла даже дважды. Остаются две возможные команды — «влево» и «вверх», которые надо рассмотреть подробнее. Выбрав команду «вверх», подберём число повторений (здесь возможны два варианта — 2 и 3). Сравнивая на каждом этапе результат выполнения конструкции с клетками, закрашенными в задании, постепенно находим правильный ответ. Закончить решение задачи, конечно, необходимо проверкой — выполнением написанной программы на таком же поле (можно использовать поля на листе вырезания).
Задача 45. Данная задача — обобщённый и сокращённый вариант задач 40 и 41, но уже не содержащий подсказок. Вот раскрашенная числовая линейка:
Здесь не указано, кто должен победить в разумной партии. Учащийся должен понять это сам, анализируя выигрышные и проигрышные позиции на числовой линейке. В данном случае начальная позиция 15 — выигрышная, поэтому разумность партии зависит от Первого, который должен в результате каждого своего хода оставлять Второму проигрышную позицию. Ходы Второго могут быть любыми. Если задачи 40 и 41 ребята решили легко, данную задачу можно использовать для промежуточного контроля. Здесь можно проверить, научились ли ребята самостоятельно раскрашивать числовую линейку и понимают ли они отличие разумной партии от других. Ниже приведена одна из возможных разумных партий: