Как написать что прямая лежит в плоскости

Прямая на плоскости – необходимые сведения

Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости – понятие

Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.

Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.

Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.

Взаимное расположение прямой и точки

На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.

Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.

Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.

Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.

Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.

Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:

Взаимное расположение прямых на плоскости

Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.

Две прямые на плоскости могут совпадать.

Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.

Две прямые на плоскости могут пересекаться.

Две прямые на плоскости могут быть параллельны.

Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.

Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.

Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.

Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:

Рассмотрим это на рисунках.

Способы задания прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.

Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.

Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки.

Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.

Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.

Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.

Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.

Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.

Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:

Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.

И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.

Источник

Прямая на плоскости – необходимые сведения.

В этой статье мы подробно остановимся на одном из первичных понятий геометрии – на понятии прямой линии на плоскости. Сначала определимся с основными терминами и обозначениями. Далее обсудим взаимное расположение прямой и точки, а также двух прямых на плоскости, приведем необходимые аксиомы. В заключении, рассмотрим способы задания прямой на плоскости и приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прежде чем дать понятие прямой на плоскости, следует четко представлять себе что же представляет собой плоскость. Представление о плоскости позволяет получить, к примеру, ровная поверхность стола или стены дома. Следует, однако, иметь в виду, что размеры стола ограничены, а плоскость простирается и за пределы этих границ в бесконечность (как будто у нас сколь угодно большой стол).

Если взять хорошо заточенный карандаш и дотронуться его стержнем до поверхности «стола», то мы получим изображение точки. Так мы получаем представление о точке на плоскости.

Теперь можно переходить и к понятию прямой линии на плоскости.

Положим на поверхность стола (на плоскость) лист чистой бумаги. Для того чтобы изобразить прямую линию, нам необходимо взять линейку и провести карандашом линию на сколько это позволяют сделать размеры используемой линейки и листа бумаги. Следует отметить, что таким способом мы получим лишь часть прямой. Прямую линию целиком, простирающуюся в бесконечность, мы можем только вообразить.

Взаимное расположение прямой и точки.

Начать следует с аксиомы: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости: либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.

Это утверждение является аксиомой и его следует принять как факт. К тому же, это достаточно очевидно: отмечаем две точки на бумаге, прикладываем к ним линейку и проводим прямую линию. Прямую, проходящую через две заданные точки (например, через точки А и В ), можно обозначать двумя этими буквами (в нашем случае прямая АВ или ВА ).

Следует понимать, что на прямой, заданной на плоскости, лежит бесконечно много различных точек, причем все эти точки лежат в одной плоскости. Это утверждение устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Сейчас ответим на вопрос: «Как могут располагаться две прямые на плоскости относительно друг друга»?

Во-первых, две прямые на плоскости могут совпадать.

Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки. Действительно, в силу аксиомы, озвученной в предыдущем пункте, через две точки проходит единственная прямая. Иными словами, если через две заданные точки проходят две прямые, то они совпадают.

Во-вторых, две прямые на плоскости могут пересекаться.

В-третьих, две прямые на плоскости могут быть параллельными.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая a параллельна прямой b, то используют символическое обозначение . Для более полной информации смотрите статью параллельные прямые, параллельность прямых.

Прямую линию на плоскости с практической точки зрения удобно рассматривать вместе с векторами. Особое значение имеют ненулевые векторы, лежащие на данной прямой или на любой из параллельных прямых, их называют направляющими векторами прямой. В статье направляющий вектор прямой на плоскости даны примеры направляющих векторов и показаны варианты их использования при решении задач.

Также следует обратить внимание на ненулевые векторы, лежащие на любой из прямых, перпендикулярных данной. Такие векторы называют нормальными векторами прямой. О применении нормальных векторов прямой рассказано в статье нормальный вектор прямой на плоскости.

Когда на плоскости даны три и более прямых линии, то возникает множество различных вариантов их взаимного расположения. Все прямые могут быть параллельными, в противном случае некоторые или все из них пересекаются. При этом все прямые могут пересекаться в единственной точке (смотрите статью пучок прямых), а могут иметь различные точки пересечения.

Не будем подробно останавливаться на этом, а приведем без доказательства несколько примечательных и очень часто используемых фактов:

Способы задания прямой на плоскости.

Сейчас мы перечислим основные способы, которыми можно задать конкретную прямую на плоскости. Это знание очень полезно с практической точки зрения, так как на нем основывается решение очень многих примеров и задач.

Во-первых, прямую можно задать, указав две точки на плоскости.

Действительно, из аксиомы, рассмотренной в первом пункте этой статьи, мы знаем, что через две точки проходит прямая, и притом только одна.

Если в прямоугольной системе координат на плоскости указаны координаты двух несовпадающих точек, то есть возможность записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Во-вторых, прямую можно задать, указав точку, через которую она проходит, и прямую, которой она параллельна. Этот способ справедлив, так как через данную точку плоскости проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Доказательство этого факта проводилось на уроках геометрии в средней школе.

Если прямую на плоскости задать таким способом относительно введенной прямоугольной декартовой системы координат, то есть возможность составить ее уравнение. Об этом написано в статье уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.

В-третьих, прямую можно задать, если указать точку, через которую она проходит, и ее направляющий вектор.

Если прямая линия задана в прямоугольной системе координат таким способом, то легко составить ее каноническое уравнение прямой на плоскости и параметрические уравнения прямой на плоскости.

Четвертый способ задания прямой заключается в том, что следует указать точку, через которую она проходит, и прямую, которой она перпендикулярна. Действительно, через заданную точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой. Оставим этот факт без доказательства.

Наконец, прямую на плоскости можно задать, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой.

Если известны координаты точки, лежащей на заданной прямой, и координаты нормального вектора прямой, то есть возможность записать общее уравнение прямой.

Источник

Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей с примерами

Содержание:

Взаимное расположение точки и прямой:

Возможны два варианта расположения точки относительно прямой:

Взаимное расположение прямых

Прямые в пространстве могут занимать друг к другу одно из трех положений:

Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Пересекающимися называются прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

У пересекающихся прямых на КЧ одноименные проекции пересекаются в проекциях точки А. Причем фронтальная и горизонтальная проекции этой точки должны находиться на одной линии связи.

Скрещивающимися называются прямые, лежащие в параллельных плоскостях и не имеющие общих точек.

Если прямые скрещивающиеся, то на КЧ их одноименные проекции могут пересекаться, но точки пересечений одноименных проекций не будут лежать на одной линии связи.

На рис. 3.4 точка С принадлежит прямой b, а точка D на прямой а. Эти точки находятся на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций.

Плоскость. Способы ее задания, положение относительно плоскостей проекций

Положение плоскости в пространстве может быть однозначно определено:

Всегда от одного способа задания плоскостей можно перейти к другому.

След плоскости – это линия пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Соответственно различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Плоскостью общего положения называется плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Плоскостями частного положения относительно плоскостей проекций называются плоскости параллельные или перпендикулярные им.

Плоскость перпендикулярная одной из плоскостей проекций называется проецирующей плоскостью.

Существует три вида проецирующих плоскостей: горизонтально- проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая плоскости. Такие плоскости вырождаются в прямую линию (след плоскости) на ту плоскость проекций, к которой они перпендикулярны.

2. Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.

3. Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня.

Существует три вида плоскостей уровня: горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости уровня.

1. Горизонтальная плоскость – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций.

3. Профильная плоскость – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций.

Принадлежность прямой и точки плоскости

Возможны два случая расположения точки относительно плоскости: точка может принадлежать плоскости или не принадлежать ей (рис. 3.12).

Точка принадлежит плоскости, если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если имеет с ней две общие точки или имеет с ней одну общую точку и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.

На рис. 3.12 изображена плоскость и точки D и Е. Точка D принадлежит плоскости, т. к. принадлежит прямой имеющей с этой плоскостью две общие точки – 1 и А. Точка Е не принадлежит плоскости, т.к. через нее нельзя провести прямую, лежащую в данной плоскости. На рис. 3.13. показана плоскость и прямая t, лежащая в этой плоскости, т.к. имеет с ней общую точку 1 и параллельна прямой..

Взаимное расположение прямой и плоскости

Для прямой и плоскости возможны три случая их взаимного расположения:

Параллельность прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.

Этот признак параллельности прямой и плоскости хорошо известен из курса стереометрии.

Взаимное расположение плоскостей

Плоскости по отношению друг к другу могут занимать два положения: быть параллельными или пересекаться.

Плоскости параллельны, если пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости

Если две плоскости не параллельны, то они обязательно пересекаются и результатом их пересечения является прямая.

Для построения линии пересечения плоскостей необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие этим плоскостям, или одну общую точку, если известно направление линии пересечения.

Направление линии пересечения известно в том случае, если:

Общая точка для двух пересекающихся плоскостей в общем случае определяется с помощью вспомогательной плоскости частного положения, также пересекающей заданные плоскости по прямой (рис. 3.12).

Рассмотрим сначала частные случаи пересечение двух плоскостей:

1. Пересекаются плоскость общего положения горизонтально- проецирующая плоскость заданная следом.

2. Пересекаются плоскости общего положения заданные следами.

В этом случае следы плоскости пересекаются в пределах чертежа, следовательно, линия пересечения этих плоскостей строится по двум точкам, являющимся следами линии пересечения, которые находятся в точках пересечения одноименных следов плоскостей.

Рассмотрим общий случай пересечения плоскостей:

3. Пересекаются плоскости общего положения.

Определение видимости на КЧ

Для улучшения наглядности изображений, заданных на КЧ, принято видимые для наблюдателя линии показывать сплошными, а невидимые штриховыми линиями. При этом предполагается, что:

Даны две пары точек:

Необходимо определить видимость точек относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.

Если на КЧ какие-либо две проекции точек совпадают, то для наблюдателя будет видима та точка, проекция которой на КЧ находится дальше от оси проекций.

Точки А и В, С и D называются точками, конкурирующими в видимости, а сам метод определения видимости – метод конкурирующих точек.

Конкурирующими в видимости точками называются точки, лежащие на одном проецирующем луче, но принадлежащие разным геометрическим объектам.

Пересечение прямой с плоскостью

Прямая называется пересекающей плоскость, если она имеет с ней только одну общую точку. Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и плоскости,

1. Прямая – проецирующая, плоскость – частного положения.

На КЧ необходимо построить проекции точки пересечения прямой с плоскостью и определить видимость этой прямой относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций. Точка К должна одновременно принадлежать и прямой, и плоскости.

В данном случае фронтальная проекция точки пересечения лежит на следе плоскости

Построение недостающей горизонтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки прямой:

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения (первая основная позиционная задача).

В общем случае задача на пересечение прямой с плоскостью решается с помощью вспомогательной секущей плоскости, на которую накладывается ряд условий:

Порядок нахождения точки пересечения прямой с плоскостью:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник