Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.
Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.
Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.
Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.
Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.
То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:
Как обозначить прямую
Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.
Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.
Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс
Решение задачи
Опишем взаимное расположение точек и прямой.
Как обозначается пересечение прямых
Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).
Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.
Взаимное расположение прямой и точек
Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.
Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.
Сколько общих точек имеют две прямые
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.
Первый случай расположения прямых
На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.
Второй случай расположения прямых
Третий случай расположения прямых
Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение задачи
Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.
Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.
Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.
Ответ: точек пересечения получается одна или три.
Что такое отрезок
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.
В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.
Основные определения по разделу «Основные понятия. Свойства простейших геометрические фигур.»
Содержимое разработки
Прямая бесконечна. На рисунке изображается только ее часть, но мы представляем ее себе неограниченно продолженной в обе стороны.
Аксиома 1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Аксиома 2 Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Если две прямые имеют общую точку, то говорят что они пересекаются. Если две прямые не имеют общих точек, то говорят что они не пересекаются.
Прямая a пресекает прямую b в точке A. A – точка пересечения прямых a и b.
Точки A и B принадлежат прямой a. Тоска С не принадлежит прямой a. Соответственно точки С и B принадлежат прямой b. Тоска A не принадлежит прямой b. Так же говорят точки A и B лежат на прямой a, а точка С не лежит.
Прямую можно обозначить двумя точками лежащими на ней. Прямую с можно обозначить AB
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками, которые называются концами отрезка.
Точки прямой a, расположенные между точками A и B называются «отрезком AB». A и B – концы отрезка AB.
Аксиома 3 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
На прямой b три точки A, B и С. Точка В лежит между точками A и С или можно сказать, что точка В разделяет точки A и С. Иначе говоря, А и С лежат по разные стороны от точки B.
На прямой с точка X лежит между точками A и B, можно сказать X принадлежит отрезку AB. Точка Y не лежит между точками A и B, поэтому она не принадлежит отрезку AB.
Аксиома 4 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB. При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю. Два отрезка называются равными, если равны их длины.
Если взять на отрезке AB точку, пусть это будет точка С. То длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB. Это можно записать так AB = AC + CB
Обычно слово отрезок не пишут, а записывают название концов отрезков заключенными в квадратные скобки. Т.е. можно записать «отрезок AB» или [AB].
Полупрямая, луч.
Лучом или полупрямой называется часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от фиксированной точки этой прямой, и самой этой точки, называемой началом луча или начальной точкой полупрямой.
Разные лучи одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными полупрямыми. Полупрямые AC и AB называются дополнительными.
Аксиома На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
Перпендикулярные прямые
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая a пересекается с прямой b под прямым углом в точке A. Можно зависать используя значок перпендикулярности: a ⊥ b. Это читается так: прямая а перпендикулярна прямой b. Следует заметить, что смежный угол и вертикальный угол с прямым углом тоже прямые.
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Пусть b – данная прямая, а точка A принадлежит этой прямой. Возьмем некоторый луч b1 на прямой b с начальной точкой в A. Отложим от луча b1 угол (a1b1), равный 90°. По определению прямая содержащая луч a1 будет перпендикулярная прямой b. Допустим, существует другая прямая перпендикулярная прямой b и проходящая через точку A. Возьмем на этой прямой луч с1, исходящий из точки A и лежащий в той же полуплоскости, что и луч a1. Тогда ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Но согласно аксиоме 8, в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90 º. Следовательно, нельзя провести другую прямую перпендикулярную прямой b через точку A в заданную полуплоскость. Теорема доказана.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющий одним из концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра. AB – перпендикуляр к прямой a. Точка A – основание перпендикуляра.ммм
Плоскость в математике можно сравнить с другими плоскостями, которые окружают нас в повседневной жизни: школьная доска, лист бумаги, экран планшета или смартфона и т.д. На них мы можем легко обозначить точки и линии, которые мы изучали на предыдущем уроке. На школьной доске мы это делаем мелом или фломастером, на листе бумаги можем нарисовать их ручкой, карандашом, фломастером; когда мы прокручиваем окно сайта или приложения на смартфоне, мы проводим на экране пальцем линию, когда переходим по ссылкам – ставим на его плоскости точку.
Но эти примеры плоскостей из жизни имеют свои размеры и границы, они конечные, их можно измерять.
Плоскость – это воображаемая абсолютно ровная и неизменяемая поверхность, которая не имеет толщины, но обладает бесконечными длиной и шириной.
Плоскость нельзя измерять, потому что она бесконечная.
Плоскость нельзя согнуть, в каком бы положении она ни находилась.
Все объекты и фигуры, которые изучаются в курсе математики 5 класса, находятся на плоскости.
Прямая линия
Прямая линия – абсолютно ровная линия, которая длится бесконечно в обе стороны, и на всем ее протяжении не изгибается и не преломляется.
Обозначение прямой
Например, на рисунке 1 обозначены такие прямые:
Рис. 1 Обозначение прямой линии
Рис. 2 Обозначение прямой с несколькими точками
Некоторые свойства прямой
Две точки, лежащие на одной прямой, создают отрезок этой прямой.
Через две любые точки на плоскости можно провести единственную прямую.
Рис. 3 Отрезок на прямой
Две разные прямые могут пересекаться или не пересекаться.
Две прямые пересекаются в том случае, если у них есть общая точка.
Рис. 5 Пересечение прямых
Более подробно об этих и других свойствах прямой написано в уроке геометрии 7 класса.
Луч – это часть прямой, которая начинается в определенной точке и длится бесконечно в одну сторону.
Рис. 6 Деление прямой линии точкой
У луча есть начало, но нет конца. От прямой луч отличается тем, что луч бесконечно продолжается только в одну сторону.
Свое название этот математический объект получил по аналогии с лучом света, который имеет начало (источник света), но определенного конца у него нет.
Обозначение луча
Луч, как и прямую, обозначают двумя способами.
Рис. 7 Обозначение луча
На рисунке 2 приведены примеры обозначения луча:
Луч имеет второе название – полупрямая.
Рис. 8 Дополнительные друг другу и совпадающие лучи
