Как определить что функция четная и нечетная функция

Четные и нечетные функции

Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, — четные функции.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например, — нечетные функции.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.

Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:

1. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).

Область определения функции

Проверим, является ли чётной или нечётной. Если функция четна. Если функция нечетна.

— значит, функция нечётная, её график симметричен относительно нуля.

2. Проверьте, является ли функция четной (нечетной)

Область определения: все действительные числа.

— чётная, как сумма двух чётных функций.

Её график симметричен относительно оси y.

3. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).

Область определения функции симметрична относительно нуля.

— чётная, её график симметричен относительно оси y.

Источник

Четные и нечетные функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Четные функции

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Нечетные функции

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Готовые работы на аналогичную тему

Функция общего вида

Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Пример задачи

Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.

Изобразим её на графике:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Изобразим её на графике:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Изобразим её на графике:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 07 2021

Источник

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Общие сведения

Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента. Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения. Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».

Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:

Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

Область определения

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.

D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

Основные виды

Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:

Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.

Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

Правила для выявления

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.

Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:

Следствия из утверждений

Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут. Математики выделяют следующие свойства для таких функций:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. Для анализа необходимо руководствоваться свойствами. Следующий класс, который объединяет все четные выражения, состоит из следующего перечня:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением. Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность. Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y 2 отнимается нечетное число (6 — 1 = 5). Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y». Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.

Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Источник

Четность и нечетность функции. Период функции. Экстремумы функции

Содержание

Способы задания функции

x−2−10123
y−4−3−2−101

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

Значит, функция f(x)=3x^<3>-7x^ <7>является нечетной.

Периодическая функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

f(x) > 0 на (x_<1>; x_<2>) \cup (x_<3>; +\infty )

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

f(x) на (-\infty; x_ <1>) \cup (x_<2>; x_ <3>)

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Ограниченность функции

Возрастающая и убывающая функция

Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).

а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Экстремумы функции

Необходимое условие

Достаточное условие

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Источник

Как определить четность и нечетность функции примеры

Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.

Если Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция, то функция четная.

Если Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция, то функция нечетная.

При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.

Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то найти Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функцияи сравнить с Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Если Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функциято функция — четная.
Если Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция, то функция нечетная.

Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична.

1. Определить, является ли четной функция: Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция.

Область определения этой функции – все действительные числа, то есть она симметрична. Теперь подставим вместо x – (-x) и посмотрим, что получится:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– функция четна.

Надо отметить, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, она для него словно зеркало. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а в левую просто отражать.

Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно оси ординат, то она четная.

2. Определить, является ли четной функция: Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция.

Область определения этой функции может быть найдена из системы неравенств:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция=0> >=0>>><>” title=”delim >=0> >=0>>><>”/> Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.
Теперь подставим вместо x – (-x): Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– данная функция нечетна.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.

Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.

3. Определить, является ли четной функция: Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция.

Область определения может быть найдена из системы неравенств:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция0> <>0>>><>” title=”delim >>0> <>0>>><>”/> Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Таким образом, область определения симметрична, и не содержит выколотые точки (1) и (-1).

Подставляем (-х) вместо х:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– исходную функцию не получили, а получили совсем другую – значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

4. Определить, является ли четной функция: Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– функция нечетна.

5. Определить, является ли четной функция: Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция.

Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– функция четная.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

6. Определить, является ли четной функция: Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Область определения – вся числовая ось – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– функция четная.

7. Определить, является ли четной функция: Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция.

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– функция нечетная.

Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.

Сумма двух нечётных функций – нечётна.

Сумма двух чётных функций – чётна.

А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.

Определим четность этих функций по отдельности.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– функция нечетная.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– функция нечетная.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

8. Исследуем теперь такую функцию:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?

Область определения функции Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функциясимметрична, функция нечётна, так как Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

9. Наконец, последняя:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– имеем произведение двух функций.

Произведение или частное двух нечётных функций чётно.

Произведение или частное двух чётных функций чётно.

Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.

Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция– функция четная.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Общие сведения

Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента. Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения. Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».

Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:

Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

Область определения

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.

D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

Основные виды

Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:

Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.

Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

Правила для выявления

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.

Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:

Следствия из утверждений

Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут. Математики выделяют следующие свойства для таких функций:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. Для анализа необходимо руководствоваться свойствами. Следующий класс, который объединяет все четные выражения, состоит из следующего перечня:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением. Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность. Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y 2 отнимается нечетное число (6 — 1 = 5). Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y». Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.

Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы дадим строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрим их свойства и решим некоторые задачи. Важным свойством четной функции является симметричность графика функции относительно оси у, важным свойством нечетной функции является симметричность графика относительно точки начала координат. Также на уроке мы выработаем методику исследования функции на четность и нечетность и решим ряд задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции»

Тема урока, введение

В этом уроке будут даны строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрены их свойства, решены некоторые задачи.

Основные определения

Определение 1: Функция

Определение 2: Функция

Дадим развернутое определение четной функции.

Определение 3: Функцию

1. Область определения симметрична относительно нуля, т.е.

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

2. Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Из определения вытекает важное свойство четной функции:

График четной функции симметричен относительно оси y (Рис. 1).

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Дадим развернутое определение нечетной функции.

Определение 4: Функцию

1. Область определения симметрична относительно нуля, т.е. Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

2. Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Из определения нечетной функции вытекает свойство: График нечетной функции симметричен относительно т. (0; 0) (Рис. 2).

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Если функция Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функцияне является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.

Примеры

Пример 1. Определите вид функции Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функциячетная функция, ее график симметричен относительно оси y.

Пример 2. Определите вид функции Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

В точке функция общего вида.

Пример 3.Определите вид функции Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Обе точки выколотые, график и область определения симметричны относительно начала координат, функция четная.

Пример 4. Определите вид функции Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функциярафик и область определения симметричны относительно начала координат, функция нечетная.

Пример 5. Определите вид функции Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Пример 6. Определите вид функции Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Область определения симметрична относительно нуля, функция нечетная.

Примеры на исследование функции

Рассмотрим примеры на свойства четных и нечетных функций.

Пример 7: Исследовать на четность функцию Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция,функция четная.

Возведем в квадрат обе части равенства. Тогда вместо уравнения получим систему:

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Второе уравнение полученной системы – уравнение окружности с центром в т.(0; 0) радиусом 4. Но т.к. является верхняя полуокружность (Рис. 9).

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

График симметричен относительно оси y, поэтому функция четная.

Ответ: Функция четная.

Пример 8. Известно, что функция

Нам известно, что функция убывает на луче

График четной функции симметричен относительно оси y, т.е. функция возрастает на луче Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

В качестве примера изобразим график функции Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция(Рис. 10).

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Ответ: Функция возрастает при Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Пример 9. Дана функция

Если функция четная, ее график симметричен относительно оси y, т.е. Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция(Рис. 11).

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Если функция нечетная, ее график симметричен относительно т. (0; 0), т.е. Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция(Рис. 12).

Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Заключение, вывод

Мы рассмотрели определения и свойства четных и нечетных функций, решили некоторые типовые задачи На следующем уроке мы продолжим изучение свойств четных и нечетных функций.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 275 – 278.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта. Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функцияКак определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть фото Как определить что функция четная и нечетная функция. Смотреть картинку Как определить что функция четная и нечетная функция. Картинка про Как определить что функция четная и нечетная функция. Фото Как определить что функция четная и нечетная функция

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *