Как понять что фигура выпуклая

Как понять что фигура выпуклая

Выпуклой называется такая фигура, которой принадлежат все точки отрезка, соединяющего любые ее две точки. Выпуклыми фигурами являются, например, круг, шар, треугольник; четырехугольники могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми (рис. 1).

Справедливо такое утверждение: «Общая часть двух выпуклых фигур вновь является выпуклой фигурой». Его вы сможете доказать сами, считая пустое множество выпуклой фигурой. Еще одно важное свойство плоской выпуклой фигуры: через каждую точку на ее границе можно провести прямую (она называется опорной прямой) так, что вся фигура будет лежать по одну сторону от этой прямой (рис. 2).

Верно и обратное утверждение: если через каждую точку границы некоторой плоской фигуры можно провести опорную прямую, то эта фигура является выпуклой. Таким образом, существование опорных прямых в каждой граничной точке можно принять за определение плоской выпуклой фигуры.

Для выпуклых тел опорные плоскости определяются аналогично (рис. 3).

Наличие опорных прямых и плоскостей у выпуклых фигур является фактом довольно очевидным. Гораздо менее очевиден следующий факт, открытый в 1913 г. австрийским математиком Э. Хелли: «Если из нескольких заданных на плоскости выпуклых фигур каждые три имеют общую точку, то тогда существует точка, принадлежащая всем этим фигурам». Требование выпуклости в этом утверждении существенно. Действительно, на рис. 4 изображены четыре фигуры, из которых лишь одна невыпукла, однако хотя у любых трех из них есть общая точка, но нет точки, общей всем четырем фигурам.

Для выпуклых тел (в пространстве) теорема Хелли в приведенном виде неверна. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть четыре треугольника, образующих грани треугольной пирамиды. Однако если потребовать, чтобы у системы выпуклых тел в пространстве каждые четыре тела имели общую точку, то тогда и все эти тела будут иметь общую точку. Теорема Хелли в соответствующей формулировке была доказана для пространства произвольного числа измерений и в этом виде оказалась очень полезной во многих математических исследованиях.

В последнее время понятие выпуклости получило широкое распространение в математике, особенно в ее прикладных областях. Появились «выпуклый анализ» и «выпуклое программирование», результаты которых облегчают поиск решений (особенно на ЭВМ) многих важных практических задач экономики, управления и других областей. Одним из самых интересных разделов геометрической теории выпуклых фигур является теория кривых постоянной ширины. Так называют кривую, ограничивающую такую выпуклую фигуру на плоскости, для которой расстояние между каждой парой параллельных опорных прямых равно одному и тому же постоянному числу .

Простейшей кривой постоянной ширины является окружность, но трудно представить себе другую кривую с таким свойством. Первым такую кривую нашел не математик, а французский механик Ф. Рело. Это равносторонний криволинейный треугольник, стороны которого являются дугами окружностей с центрами в вершинах этого треугольника (рис. 5). Из рис. 6 нетрудно понять способы построения двух других кривых постоянной ширины. Интересно, что длина любой кривой постоянной ширины равна .

Кривые постоянной ширины имеют многочисленные практические применения. На рис. 7 изображен механизм, состоящий из подвижной рамки, способной подниматься и опускаться, и треугольника Рело, который может вращаться вокруг своей вершины . При таком вращении рамки часть периода полного оборота находится в нижнем положении, потом периода поднимается вверх, далее неподвижно стоит там еще периода и за последние периода опускается вниз. Такое движение часто бывает необходимым, например, в киносъемочных аппаратах и кинопроекторах.

Треугольник Рело, как и любая кривая постоянной ширины , может вращаться внутри полосы ширины , как в описанном механизме, постоянно касаясь обеих прямых, более того, он может вращаться внутри квадрата со стороной , касаясь одновременно всех четырех его сторон.

А существуют ли такие выпуклые фигуры, которые могут вращаться внутри, скажем, равностороннего треугольника, постоянно касаясь всех его сторон? Одну такую фигуру вы знаете – это вписанный круг. А еще? Оказывается, таким свойством обладает пересечение двух кругов одинакового радиуса, расположенных так, что центр каждого из них лежит на границе другого (рис. 8). В отличие от круга, который при вращении продолжает касаться каждой прямой в одной и той же точке, этот двуугольник при вращении входит в соприкосновение последовательно и со всеми точками границы треугольника. Это его свойство позволило сконструировать механизм, позволяющий высверливать отверстия треугольной формы.

Источник

Как понять что фигура выпуклая

Что такое выпуклое тело ясно из названия: это тело, являющееся выпуклой фигурой, т. е. такое тело, каждые две точки которого соединимы в нем отрезком. Важнейшие примеры выпуклых тел — шар, цилиндр вращения, конус вращения, тетраэдр, параллелепипед.

Мы расскажем здесь о некоторых интересных и важных свойствах тел, но не будем доказывать формулируемых теорем, хотя некоторые из них доказываются довольно просто, и вы сами могли бы их доказать.

Из определения выпуклого тела легко выводятся две теоремы, характеризующие выпуклые тела.

Теорема 1, Тело является выпуклым тогда и только тогда, когда каждый луч, исходящий из любой его внутренней точки, пересекает поверхность тела в единственной точке.

Наглядная иллюстрация теоремы такова: тело является выпуклым тогда и только тогда, когда из любой его внутренней точки можно видеть всю поверхность тела (рис. 10.14 а).

Иначе говоря, тело — «помещение» выпукло тогда и только тогда, когда в нем нет «закоулков», т. е. всю его поверхность можно «осветить» из любой его точки (рис. 10.14 б).

Теорема 2. Ограниченная фигура является выпуклым телом тогда и только тогда, когда у нее есть внутренние точки и каждая прямая, проходящая через внутренюю точку, пересекает фигуру по отрезку

(рис. 10.15). (То, что граница принадлежит фигуре, гарантировано здесь тем, что каждый такой отрезок содержится в фигуре целиком, т. е. вместе с концами.)

Но, пожалуй, главной теоремой о выпуклых телах надо считать следующую:

Теорема 3. Тело выпукло тогда и только тогда, когда через каждую точку его границы проходит опорная плоскость.

Как всегда, выражение «тогда и только тогда» означает, что верны два взаимно обратных утверждения:

1) если тело выпукло, то через каждую точку его границы проходит опорная плоскость;

2) если у тела через каждую точку границы проходит опорная плоскость, то тело выпукло.

Теорема означает, что среди всех тел любое выпуклое тело характеризуется тем, что его можно опереть, скажем, о плоскость стола любой точкой поверхности. Именно по такому свойству и судят о выпуклости предмета (рис. 10.16). Ясно, что для невыпуклого тела это невозможно; у него на поверхности всегда найдутся точки, к которым не прикоснуться плоским предметом (рис. 10.17). С предыдущей теоремой связана следующая.

Теорема 4. Ограниченная фигура является выпуклым телом тогда и только тогда, когда она имеет внутренние точки и каждая не принадлежащая ей точка отделима от нее плоскостью, т. е. существует такая плоскость, что фигура и точка лежат с разных сторон от нее (рис. 10.18).

Поскольку любую точку, не принадлежащую выпуклому телу, можно отделить от него плоскостью, то, значит, проводя плоскости, отделяющие от тела внешние точки, получим само тело. Иначе говоря, выпуклое тело можно вырезать из окружающего пространства плоскими разрезами, для невыпуклого тела это сделать нельзя.

На точном языке геометрии это значит, что из последней теоремы вытекает

Следствие. Выпуклое тело является пересечением полупространств. (Более того, выпуклое тело является пересечением полупространств, ограниченных его опорными плоскостями.)

И вместе с тем фигура с внутренними точками, являющаяся пересечением полупространств, представляет собою выпуклое тело.

Обратите внимание на то, что выпуклые поверхности — границы выпуклых тел — и выпуклые кривые — границы замкнутых выпуклых областей — выпуклыми фигурами не являются. Так, например, сфера — это выпуклая поверхность — граница шара, но сфера выпуклой фигурой не является. Точно так же, окружность — это выпуклая кривая, но не выпуклая фигура: внутренние точки хорд, соединяющие точки окружности, самой окружности не принадлежат.

Источник

Как понять что фигура выпуклая

В этой главе собраны некоторые важные для дальнейшего предложения элементарной геометрии. Основное место здесь занимают довольно известные понятия и теоремы, которые включены в книгу лишь для большей полноты. Однако глава I содержит также и несколько более специальных предложений, к которым относятся, например, связанные с треугольником неравенства, составляющие содержание § 5; перенесениг этих предложений на случай пространства было бы достаточно интересно.

§ 1. Выпуклые фигуры

Плоское точечное множество Р называется выпуклым, если каждый отрезок, соединяющий две точки Р, принадлежит Р. Ограниченное, замкнутое, выпуклое плоское точечное множество, имеющее внутренние точки, мы будем называть выпуклой фигурой. Граничные точки выпуклой фигуры О составляют выпуклую кривую, которую иногда короче называют овалом. Прямая, которая содержит по крайней мере одну граничную точку G, но не содержит внутренних точек G, есть опорная прямая G; принадлежащая опорной прямой граничная точка G иногда называется опорной точкой. Если опорная прямая содержит единственную опорную точку G или если через опорную точку проходит единственная опорная прямая, то мы говорим о касательной, соответственно о точке касания.

Выпуклой оболочкой (наименьшей) произвольно заданного точечного множества М называется выпуклое точечное множество Р, которое содержит М, причем такое, что никакое отличное от Р выпуклое подмножество Р уже не содержит М,

Выпуклый многоугольник можно определить как выпуклую оболочку (минимум трех) компланарных, но не коллинеарных точек. Если все стороны и все углы выпуклого многоугольника раьны, то он называется правильным.

Выпуклый многоугольник Р вписан в выпуклую фигуру G, если вершины Р суть опорные точки G; аналогично выпуклый многоугольник Р описан около G, если стороны Р суть опорные прямые G. Наибольший круг, целиком заключающийся в области G, Называется вписанным кругом; наименьший круг, содержащий G внутри себя, называется описанным кругом. В то время как описанный круг у выпуклой фигуры может быть только один, вписанных кругов фигура может иметь много [1].

Совершенно аналогично можно определить выпуклое тело в пространстве, а также выпуклую поверхность, выпуклый многогранник, опорную плоскость и вписанный и описанный шары.

В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с выпуклыми фигурами или телами. Для них имеют смысл обычные понятия площади или объема, которые мы будем обозначать той же буквой, которой обозначим саму фигуру ил тело. Далее, каждая ограниченная выпуклая фигура (выпуклое тело) имеет определенный периметр (площадь поверхности), который мы будем обозначать той же буквой, что и выпуклую кривую, ограничивающую эту фигуру (выпуклую поверхность, ограничивающую тело).

Пересечение двух фигур (или тел) Т и U мы будем обозначать через TU. При этом число всегда означает величину площади (объема) пересечения фигур (тел) Т и в противоположность этому произведение площадей (объемов) Т и мы будем обозначать через

Мы определим еще параллельную оболочку ширины выпуклой фигуры Т как множество точек всех кругов радиуса , центры которых принадлежат Т. Имеет место следующая важная формула:

где L означает периметр Т.

Если Т — выпуклый многоугольник, то формула (1) почти очевидна. В этом случае параллельная оболочка состоит из следующих частей:

1) сам многоугольник Т;

2) прямоугольники высоты , построенные на сторонах Т; их общая площадь равна

3) секторы, из которых можно сложить целый круг радуса ; их общая площадь равна .

Отсюда уже следует, что наше утверждение справедливо и в общем случае, поскольку каждую выпуклую фигуру приближенно можно заменить выпуклым многоугольником.

Соответствующая формула для параллельной оболочки выпуклого тела V выгляд следующим образом:

Здесь F означает поверхность тела V, а так называемый интеграл средней кривизны.

Если тело V ограничено достаточно гладкой выпуклой поверхностью F, то

где — главные радиусы кривизны F в какой-то точке, a -элемент площади поверхности этой же точке [2]. Если же F, кроме того, имеет еще и «ребра», то к выписанному выше интегралу приходится прибавить дополнительный член

где а — угол при ребре, отвечающий элементу ребра т. е. угол, который образуют внешние нормали поверхностных элементов F, примыкающих к этому элементу ребра.

Если V есть выпуклый многогранник, то формулу (2) легко получить прямым подсчетом объема тела ; при этом величина М в формуле (2) будет иметь следующий смысл:

— длина ребра, а — угол при этом ребре, дополняющий двугранный угол многогранника до , и суммирование производится по всем ребрам.

Поэтому Штейнер предложил называть эту величину М для многогранника кривизной ребер (Kanterkriimmung)

Для того, чтобы вывести из справедливости формулы (2) для многогранника ее справедливость в общем случае, надо показать, что если последовательность выпуклых многогранников сходится (в каком-то определенном смысле) к заданной гладкой криволинейной поверхности, то кривизны ребер этих многогранников стремятся к интегралу средней кривизны поверхности. Мы не задержимся на доказательстве этого утверждения, так как оно нам нигде в последующем не понадобится. Однако мы считаем уместным упомянуть здесь о формуле (2), так как она показывает значение трех основных характеристик выпуклого тела, а именно объема V, поверхности F и интеграла средней кривизны М.

Источник

Как понять что фигура выпуклая

Выпуклой называется такая фигура, которой принадлежат все точки отрезка, соединяющего любые ее две точки. Выпуклыми фигурами являются, например, круг, шар, треугольник; четырехугольники могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми (рис. 1).

Справедливо такое утверждение: «Общая часть двух выпуклых фигур вновь является выпуклой фигурой». Его вы сможете доказать сами, считая пустое множество выпуклой фигурой. Еще одно важное свойство плоской выпуклой фигуры: через каждую точку на ее границе можно провести прямую (она называется опорной прямой) так, что вся фигура будет лежать по одну сторону от этой прямой (рис. 2).

Верно и обратное утверждение: если через каждую точку границы некоторой плоской фигуры можно провести опорную прямую, то эта фигура является выпуклой. Таким образом, существование опорных прямых можно принять за определение плоской выпуклой фигуры.

Для выпуклых тел опорные плоскости определяются аналогично (рис. 3).

Наличие опорных прямых и плоскостей у выпуклых фигур является фактом довольно очевидным. Гораздо менее очевиден следующий факт, открытый в 1913г. австрийским математиком Э. Хелли: «Если из нескольких заданных на плоскости выпуклых фигур каждые три имеют общую точку, то тогда существует точка, принадлежащая всем этим фигурам». Требование выпуклости в этом утверждении существенно. Действительно, на рис. 4

изображены четыре фигуры, из которых лишь одна невыпукла, однако хотя у любых трех из них есть общая точка, но нет точки, общей всем четырем фигурам. Для выпуклых тел (в пространстве) теорема Хелли в приведенном виде неверна. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть четыре треугольника, образующих грани треугольной пирамиды. Однако если потребовать, чтобы у системы выпуклых тел в пространстве каждые четыре тела имели общую точку, то тогда и все эти тела будут иметь общую точку. Теорема Хелли в соответствующей формулировке была доказана для пространства произвольного числа измерений и в этом виде оказалась очень полезной во многих математических исследованиях.

В последнее время понятие выпуклости получило широкое распространение в математике, особенно в ее прикладных областях. Появились «выпуклый анализ» и «выпуклое программирование». результаты которых облегчают поиск решений (особенно на ЭВМ) многих важных практических задач экономики, управления и других областей. Одним из самых интересных разделов геометрической теории выпуклых фигур является теория кривых постоянной ширины. Так называют кривую, ограничивающую такую выпуклую фигуру на плоскости, для которой расстояние между каждой парой параллельных опорных прямых равно одному и тому же постоянному числу h.

Простейшей кривой постоянной ширины является окружность, но трудно представить себе другую кривую с таким свойством. Первым такую кривую нашел не математик, а французский механик Ф. Рело. Это равносторонний криволинейный треугольник, стороны которого являются дугами окружностей с центрами в вершинах этого треугольника (рис. 5). Из рис. 6

,

нетрудно понять способы построения двух других кривых постоянной ширины. Интересно, что длина любой кривой постоянной ширины h равна πh.

Кривые постоянной ширины имеют многочисленные практические применения. На рис. 7

изображен механизм, состоящий из подвижной рамки, способной подниматься и опускаться, и треугольника Рело, который может вращаться вокруг своей вершины О. При таком вращении рамки 1/6 часть периода полного оборота находится в нижнем положении, потом 1/3 периода поднимается вверх, далее неподвижно стоит там еще 1/6 периода и за последние 1/3 периода опускается вниз. Такое движение часто бывает необходимым, например, в киносъемочных аппаратах и кинопроекторах.

Треугольник Рело как и любая кривая постоянной ширины h, может вращаться внутри полосы ширины h, как в описанном механизме, постоянно касаясь обеих прямых, более того, он может вращаться внутри квадрата со стороной h, касаясь одновременно всех четырех его сторон.

В отличие от круга, который при вращении продолжает касаться каждой прямой в одной и той же точке, этот двуугольник при вращении входит в соприкосновение последовательно и со всеми точками границы треугольника. Это его свойство позволило сконструировать механизм, позволяющий высверлить отверстия треугольной формы.

Источник