Как понять что последовательность бесконечно большая

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Бесконечно большие последовательности

Следствие. Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.

Замечание 2. Обратное утверждение в общем случае неверно.

является неограниченной, но не является бесконечно большой. Покажем это.

Бесконечно малые последовательности

Замечание 3. Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной, но не наоборот.

Примеры решения задач

Задание	Доказать, что последовательность является бесконечно малой.
Доказательство	Зададим произвольное положительное число и найдем такой номер элемента этой последовательности, что для всех выполняется соотношение

Что и требовалось доказать.

Источник

Определение бесконечно большой последовательности

Определение

Последовательности с пределами (2) и (3) являются частными случаями бесконечно большой последовательности (1). Из этих определений следует, что если предел последовательности равен плюс или минус бесконечности, то он также равен и бесконечности:
.
Обратное, естественно, не верно. Члены последовательности могут иметь чередующиеся знаки. При этом предел может равняться бесконечности, но без определенного знака.

Заметим также, что если какое-то свойство выполняется для произвольной последовательности с пределом равным бесконечности, то это же свойство выполняется и для последовательности, чей предел равен плюс или минус бесконечности.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Когда мы рассматривали конечные пределы, то ввели понятие окрестности точки. Напомним, что окрестностью конечной точки является открытый интервал, содержащий эту точку. Также мы можем ввести понятия окрестностей бесконечно удаленных точек.

Теперь мы можем дать единое определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам.

Таким образом, если предел существует, то за пределами окрестности точки a может находиться только конечное число членов последовательности, или пустое множество. Это условие является необходимым и достаточным. Доказательство этого свойства, точно такое, как для конечных пределов.

С помощью логических символов существования и всеобщности, это определение запишется так:
.

Примеры бесконечно больших последовательностей

Все примеры Сначала мы рассмотрим три простых похожих примера, а затем решим более сложный.

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Пример 2

Все примеры ⇑ Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Пример 3

Все примеры ⇑ Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Пример 4

Все примеры ⇑ Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Бесконечно малые последовательности.

Последовательность \(\<\alpha_\>\) называется бесконечно малой, если
$$
\displaystyle \lim_\alpha_=0.\nonumber
$$

При изучении свойств сходящихся последовательностей нам потребуется ввести арифметические операции над последовательностями. Назовем суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей \(\\>\) и \(\\>\) соответственно последовательности \(\+y_\>\), \(\-y_\>\), \(\y_\>\), \(\/y_\>\). При определении частного предполагается, что \(y_n\neq 0\) для всех \(n\in\mathbb\).

Бесконечно малые последовательности обладают следующими свойствами:

Так как бесконечно малая последовательность ограничена, то из доказанного свойства следует, что произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Бесконечно большие последовательности.

Последовательность \(\\>\) называется бесконечно большой, если для любого \(\delta>0\) существует такой номер \(N_<\delta>\), что для всех \(n\geq N_<\delta>\) выполняется неравенство \(|x_|>\delta\). В этом случае пишут \(\displaystyle \lim_x_n=\infty\) и говорят, что последовательность имеет бесконечный предел.

Используя логические символы, это определение можно записать так:
$$
\displaystyle \ <\lim_x_=\infty\>\Leftrightarrow\forall\delta>0\ \exists N_<\delta>:\forall n\geq N_<\delta>\rightarrow|x_|>\delta.\label
$$
Дадим геометрическую интерпретацию определения \eqref. Назовем \(\delta\) — окрестностью \(\infty\) (рис. 5.1) множество \(E=\:|x|>\delta\>\). Если

Рис. 5.1

последовательность \(\\) имеет бесконечный предел, то в любой \(\delta\)-окрестности \(\infty\) лежат все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Аналогично вводятся для последовательности \(\\) понятия бесконечного предела, равного \(-\infty\) и \(+\infty\) Эти пределы обозначаются соответственно символами \(\undersetx_n=-\infty\) и определяются так:
$$
\<\undersetx_n=-\infty\>\Leftrightarrow\forall\delta>0 \ \exists N_<\delta>: \ \forall n\geq N_<\delta>\rightarrow x_ 0 \ \exists N_<\delta>: \ \forall n\geq N_<\delta>\rightarrow x_>\delta\label
$$

Множества \(E_1=\: \ x \delta\>\), где \(\delta > 0\), назовем \(\delta\)-окрестностями \(-\infty\) и \(+\infty\) соответственно (см. рис. 5.1). Тогда \(E=E_<1>\cup E_<2>\).

Согласно определению \eqref последовательность \(\\) имеет предел, равный \(+\infty\), если в \(\delta\)-окрестности символа \(+\infty\) содержатся все члены этой последовательности, за исключением, быть может, конечного числа их. Аналогичный смысл имеет определение \eqref.

В дальнейшем под пределом последовательности будем понимать конечный предел, если не оговорено противное.

Приведем примеры последовательностей, имеющих бесконечный предел:

Источник

Свойства бесконечно больших последовательностей

Формулировки свойств

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностью

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательности

Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности

Частное ограниченной и бесконечно большой последовательности

Если последовательность < β_n > бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность < x_n > ограничена, то
.
Доказательство ⇓

Частное ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Если абсолютные значения элементов последовательности < y_n > ограничены снизу положительным числом ( | y_n | ≥ K > 0 ), а < α_n > – бесконечно малая с неравными нулю членами, то
.
Доказательство ⇓

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей

Это свойство имеет два частных случая, которые доказываются аналогичным способом.

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

Приведенные выше свойства выполняются, если последовательность ограничена, а последовательность абсолютных членов ограничена снизу положительным числом. При этом эти последовательности не обязательно должны иметь конечный предел, а могут расходиться. Однако, эти последовательности будут обладать указанными свойствами, если они имеют соответствующие пределы. Это позволяет сформулировать арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

Доказательство свойств

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностью

Первая часть свойства доказана.

Умножим первое неравенство (1.2) на положительное число :
.
Тогда вместо (1.2) имеем:
.
Подставим :
.

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательности

Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности

Частное ограниченной и бесконечно большой последовательности

Все свойства ⇑ Если последовательность < β_n > бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность < x_n > ограничена, то
.

Поскольку последовательность является бесконечно большой, то, согласно свойству 1, последовательность с членами является бесконечно малой. Но произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью. См. «Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую». Поэтому
.

Частное ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Все свойства ⇑ Если абсолютные значения элементов последовательности < y_n > ограничены снизу положительным числом ( | y_n | ≥ K > 0 ), а < α_n > – бесконечно малая с неравными нулю членами, то
.

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей

Источник

Предел последовательности – основные теоремы и свойства

Определение последовательности

Более подробно см. страницу Определение числовой последовательности >>>.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Теорема единственности предела числовой последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Арифметические действия с пределами

Свойства, связанные с неравенствами

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице
Бесконечно малые последовательности – определение и свойства >>>.

Бесконечно большая последовательность

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом ( ), а – бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>>.
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>>.

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.

Строго убывающая последовательность:
.
Неубывающая последовательность:
.
Невозрастающая последовательность:
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Монотонная последовательность – это неубывающая или невозрастающая последовательность.

Теорема Вейерштрасса. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M – некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Критерий Коши сходимости последовательности

Фундаментальная последовательность – это последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Критерий Коши сходимости последовательности. Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>>.

Подпоследовательности

Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>>.

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы после­довательностей>>>.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Источник