Как понять что уравнение квадратное

Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Первое уравнение:
x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

x 2 − 7 x = 0 ⇒ x · ( x − 7) = 0 ⇒ x ₁ = 0; x ₂ = −(−7)/1 = 7.

5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x ₁ = 3/2 = 1,5; x ₂ = −1,5.

Источник

Как решать
квадратные уравнения

В предыдущих уроках мы разбирали «Как решать линейные уравнения», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — « 2 », значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

Чтобы найти « a », « b » и « c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения « ax 2 + bx + c = 0 ».

Давайте потренируемся определять коэффициенты « a », « b » и « c » в квадратных уравнениях.

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней.

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду « ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения.

Определим коэффициенты « a », « b » и « c » для этого уравнения.

Подставим их в формулу и найдем корни.

x 2 − 3x − 4 = 0
x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

Ответ: x₁ = 4 ; x₂ = −1

Обязательно выучите наизусть формулу для нахождения корней.

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

В данном виде определить коэффициенты « a », « b » и « c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду « ax 2 + bx + c = 0 ».

Теперь можно использовать формулу для корней.

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x =

x = 3
Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Рассмотрим пример квадратного уравнения, у которого нет корней.

5x 2 + 2x = − 3
5x 2 + 2x + 3 = 0
x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

Ответ: нет действительных корней.

Итак, мы получили ситуацию, когда под корнем стоит отрицательное число. Это означает, что в уравнении нет корней. Поэтому в ответ мы так и записали «Нет действительных корней».

Что означают слова «нет действительных корней»? Почему нельзя просто написать «нет корней»?

На самом деле корни в таких случаях есть, но в рамках школьной программы они не проходятся, поэтому и в ответ мы записываем, что среди действительных чисел корней нет. Другими словами «Нет действительных корней».

Неполные квадратные уравнения

Иногда встречаются квадратные уравнения, в которых отсутсвуют в явном виде коэффициенты « b » и/или « c ». Как например, в таком уравнении:

Такие уравнения называют неполными квадратными уравнениями. Как их решать рассмотрено в уроке «Неполные квадратные уравнения».

Источник

Как найти дискриминант квадратного уравнения

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.

Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Есть три вида квадратных уравнений:

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:

В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Ответ: корень уравнения 3.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.

Источник

Квадратные уравнения — 32 примера (ЕГЭ 2022)

Почему нужно обязательно научиться щёлкать квадратные уравнения как орешки?

Потому что решение многих уравнений сводится к решению квадратных! И будет обидно, например, на ЕГЭ решить более сложное уравнение и споткнуться на квадратном.

Изучи эту статью реши вместе с Алексеем все 32 примера и про квадратные уравнения ты будешь знать всё!

От дискриминанта, до теоремы Виета или метода выделения полного квадрата.

Квадратное уравнение — коротко о главном

Определения

Квадратное уравнение – это уравнение вида \(a<^<2>>+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\) — коэффициенты квадратного уравнения, \(c\) – свободный член.

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты \(a\), \(b\), \(\displaystyle c\) не равны нулю.

Приведенное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент \(a=1\), то есть: \(^<2>+bx+c=0\).

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент \(b\) и/или свободный член \(c\) равны нулю:

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение вида \(a<^<2>>+c=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\), \(\displaystyle c\ne 0\):

Неполное квадратное уравнение вида \(a<^<2>>+bx=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\), \(\displaystyle b\ne 0\):

1) Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки: \(x\left( ax+b \right)=0\),

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня: \(\left[ \beginx=0,\\ax+b=0,\end \right.\Leftrightarrow \left[ \beginx=0,\\x=-\frac.\end \right.\)

Неполное квадратное уравнение вида \(a<^<2>>=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\):

Данное уравнение всегда имеет только один корень: \(x=0\).

Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида \(a<^<2>>+bx+c=0\), где \(a,b,c\ne 0\)

Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: \(a<^<2>>+bx+c=0\),

2) Вычислим дискриминант по формуле: \(D=<^<2>>-4ac\), который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на \(4x\)

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2

Домножим левую и правую часть на \(8x\):

Это уравнение, хотя в нем изначально был \(<^<2>>\), не является квадратным!

Пример 3

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену \(t=<^<2>>\), то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

Пример 4

Вроде бы есть \(<^<2>>\), но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

Видишь, \(<^<2>>\) сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Определи сам, какое из следующих уравнений является квадратным:

Ответы:

Два вида квадратных уравнений

Все квадратные уравнения можно разделить на два вида:

Полные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициенты \(a\) и \(b\), а также свободный член с не равны нулю (как в примере \(1\)).

Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент \(a=1\) (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

Неполные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициент \(b\) и или свободный член с равны нулю.

Неполные они потому, что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате. Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление?

Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают \(3\) типов:

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

Решение неполных квадратных уравнений первого типа

Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что \(<^<2>>\) не может быть меньше \(0\).

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5

Решите уравнение \(2<^<2>>-18=0\)

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

Ответ: \(-3;\text< >3.\)

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком.

Пример 6

Решите уравнение \(5<^<2>>-80=0\)

Ответ: \(-4;\text< >4.\)

Пример 7

Решите уравнение \(18<^<2>>+54=0\)

Ой! Все ли здесь правильно?

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение неполных квадратных уравнений второго типа

Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.

Пример 8

Решите уравнение \(6<^<2>>+15x=0\)

Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\) за скобки:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение неполных квадратных уравнений третьего типа

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Здесь обойдемся без примеров.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение \(a<^<2>>+by+c=0,\) где \(a,b,c\ne 0.\)

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду: \(a<^<2>>+by+c=0\)

Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты \(a\) и \(b\) и свободный член \(c\).

Шаг 2. Вычислить дискриминант по формуле: \( \displaystyle D=<^<2>>-4ac\)

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня.

Нужно особое внимание обратить на шаг \(\displaystyle 2\). Дискриминант (\(\displaystyle D\)) указывает нам на количество корней уравнения:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, \(f\left( x \right)=0\). А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось \(x\)).

Парабола может вообще не пересекать ось \(x\), либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси \(x\)) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент \(a\). Если \(a>0\), то ветви параболы направлены вверх, а если \(a Пример 9

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

\(D>0\), а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

Ответ: \(-2;\text< >0,75\)

Пример 10

Решите уравнение \(4<^<2>>-2x+0,25=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример 11

Решите уравнение \(3<^<2>>+4x+5=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Познакомили поэта с теоремою Виета.
Оба корня он сложил, минус \(p\) он получил.
А корней произведенье дает \(q\) из уравнения.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен \(1\)):

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения \(<^<2>>+px+q=0\) равна \(-p\), а произведение корней равно \(q\).

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 12

Решите уравнение \(<^<2>>-7x+12=0\)

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. \(a=1\).

Сумма корней уравнения равна \(-p\), т.е. получаем первое уравнение:

А произведение равно \(q\):

Составим и решим систему:

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(12\), и проверим, равна ли их сумма \(7\):

\(3\) и \(4\) являются решением системы:

Таким образом, \(3\) и \(4\) – корни нашего уравнения.

Ответ: \(3\); \(4\).

Пример 13

Уравнение приведенное, а значит:

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример 14

Решите уравнение \(<^<2>>+18x+77=0\)

Уравнение приведенное, а значит:

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример 15

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(6\), а затем проверим, равна ли их сумма \(-5\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример 16

Решение:

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней – отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой – положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей.

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(24\), и разность которых равна \(2\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример 17

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример 18

Решите уравнение \(<^<2>>+18x+77=0\).

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Согласись, это очень удобно – придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма.

А для этого порешай-ка еще примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета!

Тренировка теоремы Виета

Решения

Пример 19

По теореме Виета:

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример 20

И снова наша любимая теорема Виета: в сумме должно получиться \(-13\), а произведение равно \(36\).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример 21

\(\displaystyle 24-22=2<^<2>>\)

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

\(\displaystyle 24-22=2<^<2>>\text< >\Leftrightarrow \text< 2><^<2>>-24x+22=0\)

Сумма корней равна \(\displaystyle 24\), произведение \(\displaystyle 22\).

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение – значит сделать старший коэффициент равным \(\displaystyle 1\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример 22

\(\displaystyle <^<2>>-11-26=0\)

Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна \(\displaystyle 11\), а произведение \(\displaystyle 26\).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Задание 5. \(\displaystyle 2<^<2>>=56-6x\text< >\Leftrightarrow \text< >2<^<2>>+6-56=0\)

Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:

\(\displaystyle 2<^<2>>+6-56=0\left| :2 \right.\text< >\Leftrightarrow \text< ><^<2>>+3-28=0\)

Снова: подбираем множители числа \(\displaystyle 28\), и их разность должна равняться \(\displaystyle 3\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Выводы:

Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное \(x\), представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения – квадрата суммы или разности – то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа \(a<^<2>>+c=0\).

\(\displaystyle \Leftrightarrow <<\left( x+3 \right)>^<2>>=1\Leftrightarrow x+3=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \beginx=-2,\\x=-4.\end \right.\)

Пример 23

Решение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример 24

Решите уравнение: \(3<^<2>>+12x+8=0\).

Решение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

Выделение полного квадрата — это самое сложное и важное умение, относящееся к формулам сокращенного умножения.

Этот навык поможет вам решать квадратные уравнения, раскладывать выражение на множители, разобраться с с уравнением окружности в задаче с параметром (18-я задача), которая дает целых 4 первичных балла.

В общем, метод выделения полного квадрата — бесценный навык и вы сможете приобрести его посмотрев это видео.

Выделение полного квадрата (разбор 8 примеров)

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

А теперь мы хотим услышать тебя…

Хочешь жить – умей решать квадратные уравнения 🙂

Мы рассказали тебе об основных методах решения квадратных уравнений. А теперь мы хотим услышать тебя.

Расскажи, что ты думаешь об этой статье? Все ли было понятно?

Напиши в комментариях ниже. А еще ты можешь задать любой вопрос, и мы обязательно тебе ответим!

Если у тебя есть какие-то идеи и предложения о том, что еще можно добавить в статью, напиши нам об этом!

Удачи на экзаменах!

Добавить комментарий Отменить ответ

3 комментария

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Михаил
15 апреля 2019
Здравствуйте, большое спасибо за материалы! Могу ошибаться, но в части про определение квадратного уравнения в примере 2 для самостоятельной работы допущена опечатка, конкретнее в ответах написано, что уравнение квадратное, хотя таким не является. Мы обе части уравнения умножаем на 7x после чего в левой сокращаются иксы, а в правой семерки и получаем 42 = x^2. На сколько понял такой вид не является квадратным. И еще раз спасибо за материалы! Очень доступно описано то, обо что я бился головой не один день

Александр (админ)
15 апреля 2019
Пожалуйста, Михаил. Очень рады, что понравился наш материал. По поводу вопроса. Я вижу в уравнении, которое ты привел переменную в квадрате, тот самый икс в квадрате. (42 = x^2). А по нашему вольному определению, данному вначале этого текста, уравнение является квадратным, если у него есть переменная в квадрате и нет переменных в 3-й и более степеней.

Алексей
23 августа 2019
Здравствуйте! Скажите почему в неполных квадратных уравнениях (в 3 типе) нельзя перенести второе слагаемое вправо, а затем поделить на x. Получиться что x не равен 0. Но это не так! Мы ведь можем левую и правую часть подвергать любым операциям или это кроме операций с переменной (умножать на ее, делить и т.д.) Или в конце просто сделать проверку?

Алексей Шевчук
25 августа 2019
Алексей, всё верно, на переменную умножать, делить и т.д. нельзя, если мы не уверены, что она не равна нулю. Если это сделать, то даже проверка не поможет найти упущенные корни. Пример, когда можно делить: (x^2+1)*x = 5*(x^2+1) здесь можно поделить на скобку (x^2+1), так как она равной нулю быть не может. Но для того, чтобы схема решения была универсальной, даже в таких задачах лучше всё переносить в одну сторону и раскладывать на множители — так меньше вероятность ошибки, и не придётся каждый раз анализировать, можно на неё делить или нет.

Источник