Как понять что уравнение однородное

Источник

Как определить однородное уравнение

Дифференциальное уравнение 1-го порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется однородным, если P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции одинакового измерения, то есть

Как определить, что дифференциальное уравнение — однородное? На практике проверку уравнения на однородность проводят следующим образом: вместо каждого x подставляют λx, вместо каждого y — λy. При этом y’, dx и dy не трогают. После этого упрощают уравнение. Если после упрощения удается сократить на λ (или n- ю степень λ) и получить исходное уравнение, то это и означает, что данное уравнение является однородным уравнением 1-го порядка.

Другая форма записи: y’=f(x;y). Это уравнение является однородным, если функция f(x;y) является однородной функцией нулевого порядка. Это означает, что f(λx;λy)=f(x;y).

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy:

Выносим лямбда в квадрате за скобки и сокращаем на него:

Пришли к исходному уравнению, а это значит, что данное уравнение — однородное.

2) (x-y)ydx-x²dy=0.

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy: (λx-λy)λydx-(λx)²dy=0. Теперь выносим общий множитель λ² за скобки: λ²((x-y)ydx-x²dy)=0. Делим обе части уравнения на λ²:

(x-y)ydx-x²dy=0. Пришли к исходному уравнению, значит, это уравнение — однородное. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 2й степени).

Наличие дроби y/x уже косвенно указывает на то, что уравнение может быть однородным. Проверим, так ли это:

После сокращения на λ получаем исходное уравнение:

а это значит, что данное уравнение является однородным.

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy:

Делим обе части уравнения на лямбда в 4й степени:

Получили исходное уравнение, а значит, оно является однородным. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 4й степени).

Источник

Однородные уравнения (ЕГЭ 2022)

В этой статье ты научишься решать однородные уравнения.

В частности, тригонометрические и показательные.

И это не так сложно, как выглядит!

Потому что алгоритм решения однородных уравнений один и тот же!

Для этого эти уравнения и выделили в одну группу – чтобы было легче решать. По одному алгоритму.

Читай статью, решай примеры и все поймешь!

Однородные уравнения — коротко о главном

Определение однородных уравнений

Однородные уравнения – это уравнения вида \( <_<0>><^>+<_<1>><^>y+<_<2>><^><^<2>>+…+<_>x<^>+<_><^>=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.

Алгоритм решения однородных уравнений

Однородные уравнение — подробнее

Что такое однородные уравнения? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида \( <_<0>><^>+<_<1>><^>y+<_<2>><^><^<2>>+…+<_>x<^>+<_><^>=0\) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример №1

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Стоп! Давай все-таки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

На первом месте должна идти первая переменная в степени \( n\) с некоторым коэффициентом. В нашем случае это \( 1\cdot <^<2>>,\ \ k=1,\ \ x=a,\ \ n=2\)

Дальше идет первая переменная в степени \( n-1\) и вторая переменная в первой степени.

Как мы выяснили, \( n=2\), значит здесь степень \( n-1=1\) при первой переменной \( \left( a \right)\) – сходится.

Первая переменная \( \left( a \right)\) в степени \( n-2=0\), и вторая переменная \( \left( b \right)\) в квадрате, с коэффициентом \( \left( 3 \right)\). Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные \( (a\) и \( b)\). Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

\( 3<^<2>>\) — сумма степеней равна \( 2\).

Как видишь, все сходится! Это однородное уравнение.

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи какие из уравнений — однородные

Однородные уравнения — уравнения под номерами:

Рассмотрим отдельно \( 11\) уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим:

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени \( n\) и дальнейшей заменой переменных.

Пример №2

Найдите \( \displaystyle \frac\).

Разделим уравнение на \( <^<2>>\).

Нужно всегда помнить, что делить (и умножать) на переменную мы можем только тогда, когда мы уверены, что эта переменная не может быть равна \( 0\). Например, если нас просят найти \( \frac\), то мы сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.

Когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай, когда эта переменная равна \( 0\).

У нас по условию y не может быть равен \( 0\). Поэтому мы можем смело делить на \( <^<2>>\)

Произведя замену \( t=\frac\), мы получим простое квадратное уравнение:

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

Произведя обратную замену, получаем ответ

Ответ: \( 2;5\)

Пример №3

Нужно найти: \( \displaystyle \ \frac.\)

Решение:

Разделим уравнение на \( <^<2>>\) (\( y\ne 0\) по условию).

Произведем замену \( \displaystyle t=\frac\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №4

Здесь нужно не делить, а умножать.

Умножим все уравнение на \( <^<2>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение однородных тригонометрических уравнений

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше.

Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел «Тригонометрические уравнения»).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример №5

Решите уравнение \( <<\sin >^<2>>x-3\sin x\cdot \cos x-4<<\cos >^<2>>x=0\).

Мы видим типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на \( <<\cos >^<2>>x\), рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\)

В этом случае уравнение примет вид: \( <<\sin >^<2>>x=0\), значит \( \sin x=0\). Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( <<\cos >^<2>>x+<<\sin >^<2>>x=1\). Поэтому \( \cos x\ne 0\), и на него можно смело делить:

Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №6

Решите уравнение \( 5<<\sin >^<2>>x-2\sin x\cdot \cos x-3<<\cos >^<2>>x=0\).

Как и в примере \( 5\), нужно разделить уравнение на \( <<\cos >^<2>>x\).

Рассмотрим случай, когда \( \cos x=0\) :

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны \( 0\), ведь по основному тригонометрическому тождеству \( <<\cos >^<2>>x+<<\sin >^<2>>x=1\).

Поэтому \( \cos x\ne 0\).

Сделаем замену \( t=tgx\) и решим квадратное уравнение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение однородных показательных уравнений

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения – посмотри соответствующий раздел («Показательные уравнения»)!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №7

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней \( 2x\). Разделим уравнение на \( <<18>^<2x>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №8

Разделим уравнение на \( <<16>^<2x>>\):

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №9

На примере этой задачи повторим, что такое однородные уравнения и как их решать.

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на \( <^<2>>\), получим:

То есть, теперь нет отдельных \( a\) и \( b\), – теперь переменной в уравнении является искомая величина \( \frac\). И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно \( 2\), а сумма \( 3\) – это числа \( 2\) и \( 1\).

Ответ: \( 1;\text< >2.\)

называется однородным.

То есть это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна \( 2\).

Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

И последующей заменой переменных: \( t=\frac\). Таким образом получаем уравнение \( n\) степени с одной неизвестной \( t\):

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

\( \displaystyle \Leftrightarrow\ a<^<2>>+bt+c=0\).

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю!

Например, если нас просят найти \( \displaystyle \frac\), сразу понимаем, что \( y\ne 0\), поскольку на \( 0\) делить нельзя.

В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение \( <<\sin >^<2>>x+3\sin x\cdot \cos x+2<<\cos >^<2>>x=0\).

Пример №10

Видим здесь типичное однородное уравнение: \( \sin x\) и \( \cos x\) – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна \( 2\).

Но, прежде чем разделить на \( <<\cos >^<2>>x\) и получить квадратное уравнение относительно \( \displaystyle \frac<\sin x><\cos x>\), мы должны рассмотреть случай, когда \( \cos x=0\).

Источник

О дифференциальных уравнениях первого порядка

Что такое дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением называют такое уравнение, которое содержит функцию у(х) только от единственной переменной, к примеру, х.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Таким образом, в первой части можно наблюдать независимую переменную х, неизвестную функцию у(х) и производную данной функции y′(x). Во второй части заметна лишь вторая производная функции y″(x). Можно сделать вывод, что дифференциальным уравнение будет в том случае, когда имеется производная у(х) любого порядка.

Порядок дифференциального уравнения представляет собой порядок наибольшей производной неизвестной функции у(х) в выражении.

В первом варианте имеем наибольшую производную первого порядка. Из этого можно сделать вывод, что дифференциальное выражение также первого порядка. Во втором случае в уравнении имеется вторая производная y″(x), таким образом, данное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общим решением дифференциального уравнения является комплекс функций y=f(x,C), подстановка которых в определенное выражение приводит к равенству обеих частей этого уравнения.

В данном выражении С является произвольной константой. Поиск подобных решений представляет собой интегрирование дифференциального уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называют такое решение, которое было получено в результате поиска константы С, согласно дополнительным условиям задачи.

Дифференциальные уравнения первого порядка делят на несколько основных видов, которые наиболее часто можно встретить при решении задач:

Алгоритм поиска решений дифференциальных уравнений:

Как определить однородное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение, которое относится к первому порядку, имеет вид:

Данное дифференциальное уравнение можно считать однородным в том случае, когда правая часть выражения соответствует условию:

В этом случае справедливы все значения t.

Таким образом, правая часть представляет собой однородную функцию нулевого порядка, относительно переменных x и y:

Другой вид записи однородного дифференциального уравнения:

Кроме того, уравнение можно представить с помощью дифференциалов:

\(P\left( \right)dx + Q\left( \right)dy = 0\)

где \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right)\) являются однородными функциями, порядок которых одинаковый.

Функцию \(P\left( \right)\) называют однородной функцией порядка n, если для всех t, которые больше нуля, характерно такое равенство:

Основным способом решения однородного дифференциального уравнения является подстановка y = ux, что позволяет преобразовать исходное выражение в уравнение, в котором присутствуют разделяющие переменные.

Таким образом, дифференциальное уравнение, записанное в виде:

\(\left( <x + y + > \right)dx + \left( <x + y + > \right)dy = 0\)

будет преобразовано в выражение, в котором имеются разделяющие переменные, путем перемещения начальной части координатной системы в точку пересечения прямых, заданных уравнением. В том случае, когда эти линии параллельны друг другу, дифференциальное уравнение можно свести к виду уравнения с разделяющими переменными с помощью подстановки переменной:

Метод решения однородного дифференциального уравнения

Проверка однородности предложенного уравнения выполняется путем замены x и y на λx и λy. Производная при этом остается неизменной. В том случае, когда все λ после преобразований будут удалены, можно сделать вывод о том, что искомое дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка.

Решить дифференциальное уравнение первого порядка можно с помощью выполнения последовательных действий:

Примеры решения

Задача 1

Требуется найти решение дифференциального уравнения:

Решение

Заметим, что многочлены \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right)\) при dx и dy представляют собой однородные функции первого порядка. Из этого можно сделать вывод о том, что записанное дифференциальное уравнение будет однородным.

Допустим, y = ux, где u – представляет собой какую-то новую функцию с зависимостью от х. В таком случае:

\(dy = d\left( \right) = udx + xdu\)

Полученное выражение можно подставить в дифференциальное уравнение:

\(\require 2xdx + \cancel — \cancel — du = 0\)

Можно поделить две части выражения на х, получим:

С помощью деления на x, можно было утратить решение x = 0. Благодаря прямой подстановке, удалось понять, что x = 0 действительно представляет собой одно из решений заданного уравнения.

Последнее выражение следует интегрировать:

В этом случае C является постоянной интегрирования.

Если вернуться к первоначальной переменной, то запись будет выглядеть следующим образом:

Получается, что у уравнения существует пара решений:

Задача 2

Необходимо найти решение для дифференциального уравнения:

\(xy’ = y\ln \large\frac\normalsize\)

Решение

Можно заметить, что корень x = 0 не относится к области определения данного дифференциального уравнения. Следует представить выражение в таком виде:

Из чего становится понятно, что уравнение однородное.

Далее можно заменить y = ux. Таким образом:

Затем следует выполнить подстановку полученного выражения в первоначальное дифференциальное уравнение:

Если разделить две части уравнения на \(x \ne 0\) :

Таким образом, выражение будет записано в виде уравнения с разделяющимися переменными:

Следует проинтегрировать обе части равенства:

В результате получим:

Постоянная С в данном случае может быть записана, как:

В этом случае уравнение примет вид:

По итогам вычислений получаем пару решений:

В итоге, все решения дифференциального уравнения можно записать с помощью одного равенства:

где C является произвольным действительным числом.

Задача 3

Дано дифференциальное уравнение, решение которого требуется найти:

Решение

В данном примере также записано однородное дифференциальное уравнение. Выражение можно представить следующим образом:

Можно подставить y = ux. В таком случае, y’ = u’x + u. Подставляя y и y’ в исходное уравнение, получим:

Преобразованное уравнение будет записано в таком виде:

Найти общее решение можно путем интеграции:

следует записать последнее уравнение в виде:

Обратная функция \(x\left( y \right)\) будет записана в таком виде:

Исходя из того, что C является произвольным числом, знак «минус» перед этой константой можно заменить на знак «плюс». Путем преобразований получим:

\(x = y\ln \left| y \right| + Cy\)

В итоге представим запись дифференциального решения:

\(x = y\ln \left| y \right| + Cy,\;\;y = 0\)

Задача 4

Требуется решить дифференциальное уравнение, которое записано в виде:

Решение

Проанализировав правую часть уравнения, можно сделать вывод, что x \ne 0 и y \ne 0. Можно выполнить подстановку: y = ux, y’ = u’x + u. В итоге получим уравнение, в котором есть разделяющие переменные:

Далее следует интегрировать полученное выражение:

Заменим 2C на постоянную C. Получаем:

Общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

Источник

Дифференциальное однородное уравнение: особенности и решение

Однородные уравнения

Чтобы убедиться в их однородности, достаточно аргументы функции F или A умножить на какой-либо коэффициент и посмотреть, не сократится ли он.

Замена e(t) = f(1, t)

Выше говорилось о том, что дифференциальные уравнения с однородными функциями сводятся к разделяющимся за счет замены. Для объяснения этого рассмотрим лемму.

Доказывается данная лемма тривиальным образом: для этого просто нужно положить k = 1/x для всех ненулевых x.

Применение замены в решение y’ = f(x, y)

Интегрируя, получим решение E = ln|x| + C.

Заметка

Рассмотрим, почему вышеописанная замена работает при решении однородных дифференциальных уравнений. Для этого возьмем общее решение E = ln|x| + C и заменим x на kx и y на ky: E = ln|kx| + C = ln(k) + ln|x| + C. В свою очередь выражение ln(k) + C может быть представлено как W, и тогда решение будет выглядеть как E = ln|x| + W.

Получается, что замена x на kx и y на ky приводит лишь к замещению одного решения другим, но из того же класса. Иными словами, другое решение также удовлетворяет исходному уравнению. Описанное свойство на координатной плоскости называется гомотетией, т. е. интегральные кривые однородных дифференциальных уравнений переходят друг в друга.

Пример 1

Дано уравнение l 2 + ml + m 2 l’ + m 2 = 0. Найдем его решение. Неопытный глаз может по ошибке торопливо заключить, что данное уравнение не однородно, так как подстановка km вместо m и kn вместо n не дает исходное уравнение. Ошибка в данном случае заключается в том, что уравнение предварительно не было разрешено относительно производной n’. Сделаем.

В данном виде легко определить, что уравнение однородно.

Приступим к решению, совершив замену l/m = v. Получим l = vm и l’ = mv’ + v. Подставим эти значения в уравнение:

Из получившегося уравнения в дифференциальной форме легко находится общий интеграл:

Проведем обратную замену:

Линейные дифференциальные уравнения

Часто однородные дифференциальные уравнения путают с линейными. Для полноты вопроса рассмотрим немного и этот класс. Итак, линейным называется дифференциальное уравнение, в котором функция и ее производная располагаются в линейной зависимости, т. е. получаем уравнение, которому присущ следующий вид:

Для разрешения этого уравнения относительно y’ необходимо рассмотреть все корни o(x). Положим, что для некоторого числа o(x₀) = 0, тогда одним из решений описанного уравнение будет x₀, т.к. получаем o(x₀)dy = 0 и dx = 0. Это становится очевидным, если записать дифференциальную форму уравнения, умножив на dx обе части: o(x)dy + w(x)ydx = e(x)dx.

Исключив нулевые значения o(x), для оставшихся значений x записываем уравнение в разрешенном виде, поделив его на o(x).

Решение линейных дифференциальных уравнений

В общем случае линейное уравнение (неоднородное) решается в несколько этапов:

Еще одна путаница однородных уравнений возникает при рассмотрении однородных систем уравнений. Однако это другой вопрос, рассмотрение которого выходит за пределы данной статьи.

Примеры

Дана задача. Нужно найти решение.

Очевидно, данное уравнение неоднородно, поэтому решим сначала следующее уравнение:

Следует отметить, что одним из решений уравнения является y = 0. Нахождение общего решения происходит через дифференциальную форму, которая позволяет воспользоваться разделением переменных:

Решение неоднородного уравнения выполним другим, аналогичным способом, который называется методом вариации постоянной, или метод Лагранжа. Опишем его теоретически.

Применяя метод Лагранжа для нашей задачи, положим:

Мы рассмотрели способы решения линейных однородных уравнений.

Источник