Каждому натуральному числу которое больше чем 10 но меньше чем 20
Каждому натуральному числу которое больше чем 10 но меньше чем 20
Задача 1:
В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
Решение:
Обозначим первое из этих чисел через a. Получим
Задача 2:
В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.
Решение:
Перед нами миллион «кроликов»-елок и, увы, всего лишь 600001 клетка с номерами от 0 до 600000. Каждый «кролик»-елка сажается нами в клетку с номером, равным количеству иголок на этой елке. Так как «кроликов» гораздо больше, чем клеток, то в какой-то клетке сидит по крайней мере два «кролика» – если бы в каждой сидело не более одного, то всего «кроликов»-елок было бы не более 600001 штук. Но ведь, если два «кролика»-елки сидят в одной клетке, то количество иголок у них одинаково.
Задача 3:
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.
Решение:
Остатки по модулю 11 – «клетки», числа – «кролики».
Задача 4:
В городе Ленинграде живет более 5 миллионов человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове менее миллиона волос.
Решение:
Постройте миллион клеток с номерами от 0 до 999999 и рассадите там людей, поместив каждого ленинградца в клетку, номер которой равен количеству волос на его голове.
Задача 5:
В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
Решение:
25 ящиков-«кроликов» рассадим по 3 клеткам-сортам. Так как 25 = 3 8 + 1, то применим «обобщенный принцип Дирихле» для N = 3, k = 8 и получим, что в какой-то клетке-сорте не менее 9 ящиков.
Задача 6:
В стране Курляндии m футбольных команд (по 11 футболистов в каждой). Все футболисты собрались в аэропорту для поездки в другую страну на ответственный матч. Самолет сделал 10 рейсов, перевозя каждый раз по m пассажиров. Еще один футболист прилетел к месту предстоящего матча на вертолете. Докажите, что хотя бы одна команда была целиком доставлена в другую страну.
Решение:
Так как перевезено всего 10m + 1 футболистов, то, рассадив их по клеткам-командам, получаем, что в какой-то клетке сидит 11 футболистов.
Задача 7:
Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.
Решение:
Различных разностей может быть 14 – от 1 до 14 – это те 14 клеток, в которые мы будем сажать кроликов. Кто же будет нашими кроликами? Ими, конечно, должны быть разности между парами данных нам натуральных чисел. Однако имеется 28 пар и их можно рассадить по 14 клеткам так, что в каждой клетке будет сидеть ровно два «кролика» (и значит, в каждой меньше трех). Здесь надо использовать дополнительное соображение: в клетке с номером 14 может сидеть не более одного кролика, ведь число 14 можно записать как разность двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним способом: 14 = 15 – 1. Значит, в оставшихся 13 клетках сидят не менее 27 кроликов, и применение обобщенного принципа Дирихле дает нам желаемый результат.
Задача 8:
Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.
Решение:
Вариантов числа знакомых всего 5: от 0 до 4. Осталось заметить, что если у кого-то 4 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых.
Задача 9:
Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
Решение:
Пусть всего команд n. Тогда вариантов числа команд, с которыми сыграла данная команда n: от 0 до n – 1. Осталось заметить, что если одна команда сыграла со всеми n – 1-й, то никакая другая команда не могла ни с кем не сыграть.
Задача 10:
а) Какое наибольшее число полей на доске 8 × 8 можно закрасить в черный цвет так, чтобы в любом уголке вида из трех полей было по крайней мере одно незакрашенное поле?
б) Какое наименьшее число полей на доске 8 × 8 можно закрасить в черный цвет так, чтобы в каждом уголке вида было по крайней мере одно черное поле?
Решение:
а) Разбейте доску на 16 квадратиков 2 × 2 – это клетки; кроликами, конечно, будут черные поля.
Задача 11:
10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.
Решение:
Из условий следует, что найдутся 7 школьников, решивших 35 – 6 = 29 задач. Так как 29 = 4 7 + 1, то найдется школьник, решивший не менее пяти задач.
Задача 12:
Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?
Решение:
Ответ: 16 королей. Разобьём доску на 16 квадратиков, в каждом может быть не более одного короля.
Задача 14:
Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
Решение:
Каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины большого треугольника.
Задача 15:
В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.
Решение:
Разобьем наш квадрат на 25 квадратов со стороной 20 см. По обобщенному принципу Дирихле, в какой-то из них попадет по крайней мере три точки из 51 брошенной.
Задача 16:
Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату – 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.
Решение:
Если бы каждый из рабочих мог купить магнитофон, то у них в сумме было бы не менее 5 320 = 1600 рублей.
Задача 17:
В бригаде 7 человек и их суммарный возраст – 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.
Решение:
Покрасим всю сушу в синий цвет, а все точки, диаметрально противоположные суше – в красный. Тогда обязательно есть точка, которая покрашена в оба цвета. В ней и надо рыть туннель.
Задача 19:
Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 1987.
Решение:
Рассмотрите 1988 степеней и их остатки по модулю 1987.
Задача 20:
Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.
Решение:
Квадраты при делении на 100 могут давать лишь 51 остаток, так как остатки x и 100 – x при возведении в квадрат дают один и тот же остаток.
Задача 21:
Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое делится на 1987.
Решение:
Рассмотрим 1988 чисел-«кроликов» 1, 11, 111, …, 111 … 11 (1988 единиц) и посадим их в 1987 клеток с номерами 0, 1, 2, …, 1986 – каждое число попадает в клетку с номером, равным остатку от деления этого числа на 1987. Тогда (по принципу Дирихле) найдутся два числа, которые имеют одинаковые остатки при делении на 1987. Пусть это числа 11 … 11 (m единиц) и 11 … 11 (n единиц), причем m > n. Но их разность, которая делится на 1987, равна 11 … 1100 … 00 (m – n единиц и n нулей). Сократим все нули – ведь они не имеют никакого отношения к делимости на 1987 – и получим число из одних единиц, которое делится на 1987.
Задача 22:
Докажите, что существует степень тройки, оканчивающаяся на 001.
Решение:
Если 3 m и 3 n – степени тройки, дающие один и тот же остаток при делении на 1000, то 3 m – 3 n = 3 n (3 m – n – 1) делится на 1000 (мы считаем для определенности, что m > n).
Задача 23:
В клетках таблицы 3 × 3 расставлены числа – 1, 0, 1. Докажите, что какие-то две из 8 сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны.
Решение:
Эти суммы могут принимать лишь 7 разных значений: от – 3 до 3.
Задача 24:
Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.
Решение:
Разобьем всех людей на 50 пар так, что в каждой паре – два человека, сидящих друг напротив друга. Ясно, что в одной из этих пар-«клеток» оба человека – мужчины.
Задача 25:
15 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое число орехов.
Решение:
Если это не так, то, очевидно, что мальчики собрали не менее, чем 0 + 1 + 2 + … + 14 = 105 орехов – противоречие.
Задача 26:
Цифры 1, 2, …, 9 разбили на три группы. Докажите, что произведение чисел в одной из групп не меньше 72.
Решение:
Произведение чисел во всех группах равно 9! = 362880, а 71³ = 357911.
Задача 27:
В таблице 10 × 10 расставлены целые числа, причем любые два числа в соседних клетках отличаются не более, чем на 5. Докажите, что среди этих чисел есть два равных.
Решение:
Поскольку от любой клетки до любой другой можно добраться, не более 19 раз сдвинувшись в соседнюю клетку, то все числа находятся между числами a и a + 95, где a – минимальное из всех расставленных чисел. Значит, среди этих чисел не более 96 различных.
Задача 28:
Докажите, что среди любых 6 человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
Решение:
У данного человека среди остальных пяти есть либо не менее трех знакомых, либо не менее трех незнакомых ему. Разберем, например, первый случай. Среди этих трех людей есть либо двое знакомых – тогда они вместе с выбранным нами исходно человеком образуют нужную тройку, либо они все трое попарно незнакомы.
Задача 29:
На клетчатой плоскости дано 5 произвольных узлов сетки. Докажите, что середина одного из отрезков, соединяющих какие-то две из этих точек, также является узлом сетки.
Решение:
Рассмотрите координаты этих точек и их остатки при делении на 2.
Задача 30:
На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причем среди этих 600 сапог 300 левых и 300 правых. Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.
Решение:
В каждом размере каких-то сапог меньше: правых или левых. Выпишем эти типы сапог по размерам. Какой-то тип, например, левый, повторится по крайней мере дважды, например, в 41 и 42 размерах. Но так как количество левых сапог в этих размерах суммарно не меньше 100 (почему?), то мы имеем не менее 100 годных пар обуви в этих размерах.
Задача 31:
В алфавите языка племени Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных, причем словом в этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна буква не использована дважды. Алфавит разбили на 6 непустых групп. Докажите, что из всех букв одной из групп можно составить слово.
Решение:
Докажите, что в одной из групп разность между числом согласных и числом гласных не больше 1.
Задача 32:
Докажите, что среди любых 10 целых чисел найдется несколько, сумма которых делится на 10.
Решение:
Задача 33:
Дано 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.
Решение:
Разбейте числа от 1 до 20 на 10 наборов, в каждом из которых в любой паре чисел одно делится на другое: 11, 13, 15, 17, 19, 1,2,4,8,16, 3,6,12, 5,10,20, 7,14, 9,18.
Задача 34:
11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.
Решение:
Занумеруем кружки числами от 1 до 5 и вместо каждого пионера будем рассматривать тот набор кружков – подмножество множества 1,2,3,4,5 – который состоит из посещаемых им кружков. Осталось разбить 32 подмножества указанного множества на 10 наборов так, чтобы в каждом из наборов из любых двух множеств этого набора одно содержалось в другом. В качестве таких наборов рассмотрим следующие: , , , , , , , , , .
Каждому натуральному числу которое больше чем 10 но меньше чем 20
Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).
а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 9 нулями?
б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 23 нулями?
в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 100, для каждого из которых десятичная запись числа n! · (100 − n)! оканчивается ровно 23 нулями?
а значит, для каждого такого n десятичная запись числа n! · (100 − n)! оканчивается ровно
Число равно 20 при n, кратных 5, и равно 19 при n, не кратных 5.
Число равно 4 при n, кратных 25, и равно 3 при n, не кратных 25.
Значит, для числа получили:
− k = 24 при n, кратных 25,
− k = 23 при n, кратных 5, но не кратных 25,
− k = 22 при n, не кратных 5.
Следовательно, натуральное число n, меньше 100, будет искомым тогда и только тогда, когда оно кратно 5, но не кратно 25. Значит, существует ровно 16 искомых натуральных чисел.
Ответ: а) да; б) нет; в) 16.
Приведём другое решение.
Раскладывая все числа от 1 до n на простые множители и объединяя затем множители 2 и 5 в пары, мы будем получать множители 10, которые просто прибавляют 0 на конце числа. Когда множители 2 или 5 (на самом деле всегда 5) закончатся, оставшееся число не будет кончаться на 0, поэтому количество нулей равно либо суммарному количеству пятерок, либо суммарному количеству двоек в разложении всех чисел от 1 до n на простые множители.
а) Пусть n = 40. Есть ровно 8 чисел кратных 5 от 1 до 40, при этом одно (25) содержит сразу две пятерки. Ясно, что 9 двоек наберется (там есть 20 четных чисел, дающих минимум по одной двойке).
в) Среди чисел от 1 до n ровно кратны 5 и ровно кратны 25, поэтому степень пятерки в n! равна
нулей. Заметим, что при целом k [α] + [k − α] = k при целом α и [α] + [k − α] = k − 1 при нецелом α, поэтому или 20 и или 4. Нас интересует вариант 20 + 3 (вариант 19 + 4 означал бы, что n не кратно 5, но кратно 25, что невозможно). Значит n кратно 5, но не 25. Таких чисел 16.
Отметим, что одно из чисел n или 100 − n не меньше 50, поэтому его факториал содержит не менее 25 четных множителей, так что двоек на все эти пятерки хватит.
Два простых числа больше 15 и меньше 20. ГДЗ Математика 6 класс Чесноков. Дидактические материалы по математике для 6 класса. Вар.2 Вопр.17
Кто выполнит? Напишите два простых числа, каждое из которых больше 15 и меньше 20.
Два простых числа: 17 и 19.
Цена товара понизилась с 4,4 тыс. рублей до 3,74 тыс.
рублей. На сколько процентов понизилась цена товара?
Здравствуйте! Помогите найти значение выражения: ( Подробнее. )
Товарищи, как правильно сделать это упражнение?
Прочитайте. Придумайте к стихотворению название.
Улыбнулось солнышко, ( Подробнее. )
Каждому натуральному числу которое больше чем 10 но меньше чем 20
Про натуральные числа A, B и С известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С. Получилось 213. Какое число было загадано?
Числа А, В и С могут быть равны 5, 6 или 7.
Пусть загадали натуральное число Х, тогда Х · А + В – С = 213 или Х · А = 213 + (C – B). Рассмотрим различные случаи.
1) С – В = 0 (7 – 7 = 0, 6 – 6 = 0 или 5 – 5 = 0), тогда Х · А = 213. Число 213 не делится нацело на 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.
2) С – В = 1 (7 – 6 = 1 или 6 – 5 = 1), тогда Х · А = 214. Число 214 не делится нацело на 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.
3) С – В = –1 (6 – 7 = –1 или 5 – 6 = –1), тогда Х · А = 212. Число 212 не делится нацело на 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.
4) С – В = 2 (7 – 5 = 2), тогда Х · А = 215. Число 215 делится нацело на A = 5, значит, Х = 43.
5) С – В = –2 (5 – 7 = –2), тогда Х·А = 211. Число 211 не делится нацело на A = 5, на 6 и на 7, значит, этот случай не подходит.
Аналоги к заданию № 512428: 512448 512468 512682 Все
Каждому натуральному числу которое больше чем 10 но меньше чем 20
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 18. Задачи на логику.
1. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да; б) нет; в) 91
3. а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Ответ: а) нет; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в)12
4. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.
Ответ: а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет, в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14
5. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов: а) и б)?
Ответ: а) да; б) 9; в) 9/17
6. В течение четверти учитель ставил школьникам отметки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическое отметок ученика оказалось равным 4,625.
а) Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика?
б) На какое наибольшее число может увеличиться среднее арифметическое отметок этого ученика после замены четырёх отметок «3», «3», «5» и «5» двумя отметками «4»?
Ответ: а) 8; б) на 5/24
7. Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, − 2,− 3, 4,− 5, 7,− 8, 9, 10,− 11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному числу 1, − 2,− 3, 4,− 5, 7,− 8, 9, 10,− 11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4
8. Моток верёвки режут без остатка на куски длиной не меньше 168 см, но не больше 175 см (назовём такие куски стандартными).
а) Некоторый моток верёвки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток верёвки?
б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток верёвки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.
Ответ: а) 24; б) 4032
9. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4
10. Имеется 25 коробок массой 31 кг каждая и 15 коробок массой 51 кг каждая. Все эти коробки раскладывают по двум контейнерам. Пусть S— модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:
а) если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находиться одинаковое количество коробок;
б) без дополнительного условия пункта а.
Ответ: а) 20; б) 2
11. По окружности расставляют 40 ненулевых целых чисел с общей суммой 16. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 6 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.
а) Среди таких 40 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.
б) Среди таких 40 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.
Ответ: а) 37; б) 10
12. Костя должен был умножить двухзначное число на трехзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трехзначное число справа к двухзначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 2?
б) Могло ли N равняться 10?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Ответ: а) да; б) нет; в) 9
13. Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Ответ: а) да; б) 4
14. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Ответ: а) пример: 32 раза число 92 и число 26; б) нет; в) 693
15. На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел стать равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
16. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
17. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет; б) да; в) 549
18. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 720, и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Ответ: а) нет; б) нет; в) да
19. На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16
20. Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Ответ: а) да; б) нет; в) 30
21. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 16?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 14, но меньше 15?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Ответ: а) да; б) нет; в) 20,5
22. В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик дает порции по 100 г, второй – по 200 г, третий – по 300 г, четвертый – по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Ответ: а) да; б) нет; в) 9.
23. а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что выполняется неравенство
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что выполняется неравенство
в) Найдите все возможные значения натурального числа n при каждом из которых значение
выражения будет наименьшим.
24. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?
в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
25. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 18. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
Ответ: а) 6; б) 89; в) 19
26. На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 14.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 4?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 8?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S-B.