Математика что это простыми словами
Математика
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Что такое математика?
Часто можно услышать высказывание «Математика-царица наук». А существует ли история математики, и что же это за наука? Так ли она необходима в современном мире?
Давайте разберемся, что такое математика:
В школьном курсе изучения представлены такие разделы математики:
В основе изучения математики лежит ряд математических понятий и действий, без понимания которых невозможно выполнять простейшие вычисления.
Понятие числа. Виды чисел
Классы и разряды чисел
Все существующие цифры сгруппированы по классам и разрядам натуральных чисел. Место цифры в записи числа называют разрядом. Самый маленький разряд – разряд единиц, за ним следует разряд десятков, сотен, тысяч.
При этом число разрядов в классе равняется 3. Самым большим числом класса единиц является 9, а самым большим числом класса тысяч 999999.
Математические действия
Существование математики невозможно без выполнения математических действий. Всего существует 4 вида арифметических действий:
Порядок выполнения математических действий в выражениях со скобками и без скобок
Так же имеется определенный порядок математических действий, запомнив который с легкостью можно решать задания любой сложности. Этот порядок зависит от наличия скобок и предложенных действий:
При отсутствии скобок, действия выполняются в обычном порядке. Вот правильный порядок математических действий в примере без скобок:
В любом выражении первыми необходимо выполнить умножение или деление в порядке очереди. Вот правильный порядок арифметических действий без скобок:
Когда выражение содержит скобки, первыми вычисляются действия в скобках, а потом по порядку все остальные. Вот необходимый порядок математических действий в примере со скобками:
Все очень просто. Если сразу запомнить не получается, то можно пользоваться этим уроком, как шпаргалкой!
Следующий интересный момент заключается в том, что любой компонент математического действия имеет свое название:
Правила нахождения неизвестного компонента при выполнении математических действий
Для того, чтобы максимально упростить решение задач и уравнений, существуют специальные правила нахождения неизвестного компонента:
— для нахождения одного из слагаемых необходимо от суммы отнять второе слагаемое:
-для нахождения уменьшаемого достаточно найти сумму разности и вычитаемого:
-для нахождения вычитаемого, нужно от уменьшаемого отнять разность
— для нахождения множителя, необходимо найти частное произведения и второго множителя
— для нахождения неизвестного делимого, необходимо найти произведение делителя и частного
— для нахождения неизвестного делителя, необходимо делимое разделить на частное
Основные законы выполнения действий (перместительный, сочетательный, распределительный)
Чтобы правильно и быстро выполнять любые арифметические действия всегда нужно помнить их основные законы, которые упрощают даже самый сложный процесс вычислений:
Переместительный закон для действий сложения и умножения.
Сформулируем переместительный закон сложения: при перестановке слагаемых сумма остается прежней.
Запишем равенство, выражающее переместительный закон сложения a+b=b+a
21+39=60 или 39+21=6015×3=45 или 3×15=45
Использование переместительного закона умножения.
Давайте сформулируем переместительный закон умножения: в случае перестановки множителей произведение остается прежним.
Запишем равенство, выражающее переместительный закон умножения a*b=b*a
Применение сочетательного закона в сложении.
Давайте сформулируем сочетательный закон сложения: чтобы сложить число и сумму чисел достаточно найти сумму этого числа и любого слагаемого, и к ней прибавить второе слагаемое.
Запишем равенство, выражающее сочетательный закон сложения a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c
Примеры сочетательного закона сложения:
20+(60+10)=90 или 20+(60+10)=90 или 20+(60+10)=20+60+10=90
1 действие: 60+10=70 1 действие: 20+60=80
2 действие: 20+70=90 2 действие: 80+10=90
Использование сочетательного закона умножения.
Этот закон также распространяется и на действие умножение. Давайте сформулируем сочетательный закон умножения: если необходимо, выполнить умножение числа на произведение чисел, то можно любые два множителя заменить их произведением a×(b×c)=(a×b)×c=a×b×c
Применение распределительного закона.
Давайте разберемся, что такое распределительный закон и как он формулируется. Вот формулировка распределительного закона сложения: для умножения числа на сумму, необходимо найти произведения этого числа с одними вторым слагаемыми, а результаты сложить.
Запишем равенство, выражающее распределительный закон a×(b+c)=ab+ac
В случае, когда вычитаемое меньше или равно уменьшаемому, можно использовать распределительный закон для нахождения произведения числа и разности чисел. Для умножения числа на разность, необходимо сначала умножить на уменьшаемое, после на вычитаемое и найти разность полученных произведений. В буквенном виде записывается так: a×(b-c)=a×b-a×c, если b≥c
Достаточно понять или запомнить эти простые законы и тогда любые задачи или уравнения будут казаться очень простыми и интересными, а уроки математики станут любимыми.
Интересные сведения из истории возникновения математики
Откуда же взялась математика? Куда же уходит корнями история развития математики? Самым первым источником появления простейшей математики ученые считают пальцы на руках и ногах, а также различные части тела. Об этом свидетельствует множество наскальных рисунков, дошедших до нашего времени. Учеными установлено, что 6 тысяч лет назад древние вавилоняне уже использовали простые математические действия: для бытовых нужд, учета скота, подсчета количества урожая, размера прибыли и расходов, при совершении купли или продажи различных товаров. Позже они же первые упоминают о решении математических задач и уравнений повышенной сложности. К самым первым математическим открытиям относят возникновение математических действий, которые известны нам как сложение, вычитание, умножение и деление.
Ученые-историки до сих пор спорят о точной дате появления этой науки и о месте, где впервые она появилась. Конкурентами в этом споре выступают древний Вавилон и Египет. Самые первые подтверждения математической деятельности принадлежат Свазиленду. Там найдены кости бабуинов с нанесенными черточками, которые явно говорят о первых математических операциях, выполненных 40000 лет назад.
А когда же появились дроби? Упоминания о дробях возникли гораздо позже, но уже достоверно известно, что жители древнего Египта совершали операции с дробями, у которых числителем являлась единица.
А вот представление о десятичных дробях появилось всего лишь пять столетий назад, а в Европу попало только через 200 лет после появления.
Невероятные факты, связанные с математикой:
Математика очень дружна со всеми существующими науками, видами деятельности и профессиями. Одно мудрое выражение гласит «Математика-язык других наук». Поспорить с этим очень сложно, ведь она является основой для развития таких дисциплин:
Значение слова «математика»
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
матема́тика
1. наука, занимающаяся изучением чисел, геометрических фигур и тел, структур, пространств и преобразований ◆ Грамотку, которую мой всемилостивейший Государь ко мне писал о самом чюднейшем и чрезмеру редко бываемом человеке, господине Даниле Дмитревиче Новицком, что моему всемилостивейшему Государю возвещено о великом его учение, 〈…〉 что он по твоему, моего всемилостивейшего Государя, указу исполнил, и всё выучил, геометрию и математику, а аще и ни одной цыфири не знает, и что день и ночь над начертанием пушек и мортиров, и ныне хочет начать учиться пушки лить; но мне мнится, что столко же будет и столко же выучится, как и математику. Аника Щербаков, письмо Петру I о Д. Д. Новицком (22 июля 1699) // «Письма и бумаги императора Петра Великого», т. I (1688—1701), 1887 г. (цитата из библиотеки Google Книги)
Фразеологизмы и устойчивые сочетания
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова ре (существительное):
ОНЛАЙН-КУРС (МООС) «ПСИХОЛОГИЯ И МЕТОДИКА РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ»
Лекция 1 «Что такое математика?»
При изучении лекции Вы можете обратиться к презентационному материалу.
Здравствуйте! Математику (точнее её разделы: арифметику,При изучении лен алгебру, геометрию, тригонометрию, теорию вероятностей и др.) изучают все, кто учится в школе. Но вот вопрос, что это за наука, в школе не рассматривается.
Если спросить об этом кого-нибудь, не специалиста, он начинает объяснять, какая это нужная наука. Но чёткого определения не даёт.
А вообще возможно ли это? Вы, как учителя математики, должны понять, что возможно дать только описательное определение математики. Какое бы не давали определение, всегда остаются те грани этой науки, которые оказываются за пределами этого определения. Вопрос о том, что представляет собой, в конечном счете, математика, остаётся открытым.
Итак, попытаемся всё же, понять и объяснить, что такое математика.
«Кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не сможет обнаружить своего невежества» (Фрэнсис Бэкон, 1561-1626, английский философ, историк, материалист).
«Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит» (Михаил Васильевич Ломоносов, 1711-1765, первый русский учёный-естествоиспытатель мирового значения, энциклопедист, академик).
В научной и методической литературе предложено много различных определений математики.
1. Знаменитая статья выдающегося советского академика А.Н. Колмогорова (1903-1987) «Математика» (1954 г.) начинается с такого определения математики: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть – весьма реальный материал».
Вместе с тем он подчеркивает, что запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется в связи с запросами естествознания, так что это определение наполняется все более богатым содержанием.
2. Математика (древне-греч. μάθημα – изучение, наука) – наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.
3. Математикой в разговорной речи называют точный расчёт, продуманные действия, которые требуются для чего-либо.
Математика как дедуктивная (доказательная) наука возникла в Древней Греции (начиная с VI в. до н.э.).
Математика не относится к естественным и гуманитарным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов.
Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или идеальных объектов и записи этих свойств на формальном языке.
Математика обслуживает все остальные естественные науки. Сегодня, во всяком случае, математика существует как выделенная область, независимо от остальных наук и от своих приложений.
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутренних математических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам. Некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. Например, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика – это и физика, и математика; информатика, теория алгоритмов относятся как к инженерным, так и к математическим наукам и т.д.
Математика как учебная дисциплина подразделяется на элементарную математику, изучаемую в средней школе, и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Высшая математика, изучаемая на математических специальностях, отличается от неё.
Но исторически элементарной называют ту математику, которая была создана как математика постоянных величин за период от VI-V веков до н.э. до конца XVI века н.э. А период высшей математики от начала XVII века до середины XIX века – это период создания математики переменных величин.
Математика отличается от других наук тем, что ее конечные выводы безусловны. Например, теории и концепции физики зависят от времени их возникновения, от личности установившего их ученого, от условий эксперимента и многих других обстоятельств. В естественных науках то и дело происходит смена научных подходов. Старые представления отменяются или принципиально уточняются. В математике такого не бывает. Доказанное математическое утверждение всегда остается верным. Новая теория может лишь добавить к нему нечто новое.
Как правило, люди думают, что математика – это всего лишь арифметика, то есть изучение чисел и действий над ними. На самом деле математика – это намного больше. Это – язык и способ описания мира.
Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, которого называли «королем математики» сказал: «Математика – царица наук, арифметика – царица математики».
Арифметика – это раздел математики, изучающий числа и действия над ними. Любой нормальный ребенок может преуспевать в арифметике.
Умение считать – это еще не все. Ребенку необходимо уметь выражать свои мысли, понимать задачи и устанавливать связи между фактами, которые хранятся в памяти. Числа – это только часть особого математического языка. А лучший способ выучить любой язык – это применять его.
Метод математики – метод абстракции.
По каким законам строится математика? Здесь нужно обратиться к законам мышления. Можно проследить следующую аналогию.
Детские игры, придуманные взрослыми, и различные научные теории строятся по одним и тем же законам нашего мышления.
Эти законы применял ещё Аристотель (384-322 до н.э., древнегреческий философ, основоположник логики), чтобы описать научные теории. Именно по ним строятся математические теории.
Проследим эти правила на следующем примере. Сравним игру в шахматы и математику.
1. Сначала вводим первичные понятия без определений.
Точка, прямая, плоскость, число, …
2. Затем устанавливаем правила игры (аксиомы).
Конь ходит буквой Г.
Ладья – по горизонталям и вертикалям. …
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Для каждого натурального числа существует следующее за ним число.
3. Опираясь на первичные понятия, определяются новые (производные) понятия.
Шах, мат, рокировка, гамбит, …
Отрезок, луч, треугольник, окружность, нуль, …
4. Доказываются свойства первичных и новых понятий – теоремы
(при помощи аксиом и ранее доказанных теорем).
Как играть, чтобы выиграть? Если в какой-то позиции возможен мат, то её можно написать и осуществить. Например, в эндшпиле король с поддержкой ладьи выигрывает против одинокого короля.
Шахматная истина не зависит от доски и игрока.
Доказуемо ли утверждение?
Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Математические истины не зависят от личностей и языков.
Теоремы в математике доказываются. Предполагается, что к ним добавляется вопрос: «Почему?» То есть, в математике требуется полноценная аргументация.
Знаменитый пример научной теории – главный труд Исаака Ньютона (1643-1727, английский физик, математик, создатель классической физики) «Математические начала натуральной философии». Он начинается с определений и аксиом о мире (Что такое сила? Что такое масса? Каковы основные законы механики?) Из них выводится строго дедуктивным образом модель мира.
А что такое не математика?
Математика – точная наука. Многие из нас испытывают особое доверие к утверждениям, выраженным в математических терминах, а еще лучше – записанным в виде математических формул.
Например, одна из формул, по которой предлагают вычислять температуру комфортности погоды, записано здесь:
где – реальная температура в градусах по Фаренгейту, – скорость ветра.
Эта формула – пример ложно понимаемой точности. Трудно найти двух человек, для которых «воспринимаемая температура» при одинаковой температуре воздуха и скорости ветра совпадает. Это зависит от множества факторов. Формула же приводит к неверному впечатлению, что мы здесь имеем дело с точной наукой.
А на основе математических утверждений лежат четкие понятия.
Большинство людей не любят математику. Почему?
1. Потому, что образование слишком продвинуто. Доказательства и логические структуры математики вводятся слишком рано и становятся центром внимания.
2. Часто не объясняют, для чего это всё нужно.
Иногда слышно политиков и звёзд (культуры, спорта и др.), хвастающих, как плохо они успевали по математике.
Но человек, который никогда не встречался с математическими рассуждениями, испытывает серьезные трудности с тем, чтобы отличить истинные утверждения от ложных. Приведём пример.
Учитель: 80 % из вас ничего не понимают!
Ученик: Но здесь нет столько присутствующих!
Сколько математики нужно человеку?
Нам правда нужны квадратные уравнения, графики и интегралы? Разве недостаточно уметь считать и знать таблицу умножения? Приведём некоторые доводы.
1. Математика полезна для решения конкретных задач реального мира. Начиная с вычислений в уме у прилавка магазина. Кончая долговременными экономическими планами: например, покупка дома и др.
2. Математика развивает интеллект. Решение математических проблем требует настойчивости и креативности.
3. Мир устроен на математических законах. Кто хочет познать сущность мира, должен быть знаком с числами, геометрическими фигурами и вероятностью.
К сожалению, обучение математике в школе и вузе ограничивается техническими приёмами. Учащиеся с такой подготовкой не прикасаются к сути математики.
«Математику уподобляют большому ветвистому дереву, которое систематически даёт новые побеги. Каждая ветвь дерева – это та или иная область математики», – сказал академик Б.В. Гнеденко.
«Так что же такое математика?
Во-первых, это одна из древнейших наук.
Во-вторых, это особый искусственный язык и аппарат оперирования этим языком.
В-третьих, это особый мир, в основе которого лежит абстрактная модель особых свойств, главным образом количественных и пространственных форм окружающего мира, но и свои особые понятия, не имеющие аналогов во внешнем мире» (Л.М. Фридман).
Можете просмотреть видеолекцию по данной теме
Математика
Содержание
Основные сведения
Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ниже).
Этимология
В текстах на русском языке слово «математика» или «мафематика» встречается по крайней мере с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год) [5]
Определения
Одно из первых определений предмета математики дал Декарт [6] :
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.
Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Это определение Энгельса [8] ; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.
Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,— именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.
Приведём ещё несколько современных определений.
Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:
Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.
Разделы математики
1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:
и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.
Программа обучения по специальности математика [13] образована следующими учебными дисциплинами:
2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации [14] подразделяется на специальности:
3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика» [15] универсальной десятичной классификации (УДК).
4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это MSC 2010. Предыдущая версия — MSC 2000.
Обозначения
Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.
Краткая история
Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:
Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.
Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.
Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.
Философия математики
Цели и методы
Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.
Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.
Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство 
, при 
3″ border=»0″ /> является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях». [16]
Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.
Основания
Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.
Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.
Теоретико-множественный подход
Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.
Логицизм
Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.
Формализм
Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.
Интуиционизм
Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).
Конструктивная математика
Основные темы
Числа
Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.
| |||||||||||||||
 |  | ||||||||||||||
| Комплексные числа | Кватернионы | ||||||||||||||
 Числовые системы | |
|---|---|
| Счётные множества | Натуральные числа ( ) • Целые ( ) • Рациональные ( ) • Алгебраические ( ) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |
| Вещественные числа и их расширения | Вещественные ( ) • Комплексные ( ) • Кватернионы ( ) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ( ) • Седенионы ( ) • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.) |
| Другие числовые системы | Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа |
| См. также | Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион |
Преобразования
 |  |  |  |
| Арифметика | Дифференциальное и интегральное исчисление | Векторный анализ | Анализ |
 |  |  | |
| Дифференциальные уравнения | Динамические системы | Теория хаоса |
Структуры
Пространственные отношения
Более наглядные подходы в математике.
Дискретная математика
Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.
 |  |  |  |
| Математическая логика | Теория вычислимости | Криптография | Теория графов |
Коды в системах классификации знаний
Онлайновые сервисы
Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные. [20] Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.