Матрица и определитель в чем разница

Разница между матрицей и определителем

Содержание:

Матрицы обычно заключаются в квадратные или изогнутые скобки. Каждая закрытая скобка рассматривается как одна матрица. Этим матрицам присваивается заглавный алфавит, который представляет собой матрицу. Данные в матрице могут быть любым типом числа, которое мы выбираем, включая положительное, отрицательное, ноль, дроби, десятичные дроби, символы, алфавиты и т. Д. Матрицы могут быть добавлены, вычтены или умножены. В случае сложения, вычитания и умножения двух матриц, матрицы должны иметь одинаковое количество строк и столбцов. Существует две формы умножения: скалярное умножение и умножение матрицы на другую матрицу. Скалярная матрица включает в себя умножение матрицы на одно число.

Умножение двух матриц друг на друга требует их решения в «точечном произведении», где одна строка умножается на один столбец. Полученные цифры затем складываются. Результат первого умножения будет 1 х 7 + 2 х 9 + 3 х 11 = 58.

Матрицы широко применяются при линейном преобразовании, необходимом для решения линейных функций. Другими областями, которые включают матрицы, являются классическая механика, оптика, электромагнетизм, квантовая механика и квантовая электродинамика. Он также используется в компьютерном программировании, графике и других вычислительных алгоритмах.

Давайте возьмем пример матрицы B:

Для матрицы 3х3 будет использоваться аналогичная схема.

На образовательном сайте Richland Community College говорится, что существуют различные свойства детерминантов:

Источник

Разница между матрицей и определителем

Матрица против детерминанта Матрицы и детерминанты являются важными понятиями линейной алгебры, где матрицы обеспечивают краткий способ представления больших линейных уравнений и комбинаций, в то вр

Содержание:

Матрица против детерминанта

Матрицы и детерминанты являются важными понятиями линейной алгебры, где матрицы обеспечивают краткий способ представления больших линейных уравнений и комбинаций, в то время как определители однозначно связаны с определенным типом матриц.

Подробнее о Матрице

Матрицы представляют собой прямоугольные массивы чисел, в которых числа расположены в строках и столбцах. Количество столбцов и строк в матрице определяет размер матрицы. Как правило, матрица идентично представлена ​​квадратными скобками, а числа выровнены по строкам и столбцам внутри.

Матрица A известна как 3 × 3, потому что она имеет 3 столбца и 3 строки. Числа, обозначенные a_ij, называются элементами и однозначно идентифицируются номером строки и номером столбца. Кроме того, матрица может быть представлена ​​как [a_ij] _ (3 × 3), но ее использование ограничено, поскольку элементы не указаны явно. Распространяя вышеприведенный пример на общий случай, мы можем определить общую матрицу размера m × n;

A имеет m строк и n столбцов.

Матрицы классифицируются на основе их особых свойств. Например, матрица с равным количеством строк и столбцов известна как квадратная матрица, а матрица с одним столбцом известна как вектор.

Операции с матрицами определены специально, но следуют правилам абстрактной алгебры. Следовательно, сложение, вычитание и умножение матриц выполняется поэлементно. Для матриц деление не определено, хотя существует обратное.

Подробнее о детерминанте

и, как правило, для матрицы размера m × n

Операция получения определителя следующая;

| A | = ∑ п _{j = 1} а_j C_ij, где C_ij является кофактором матрицы, заданной C_ij= (-1) я + j M_ij.

В чем разница между матрицей и определителем?

• Определитель может быть получен из квадратных матриц, но не наоборот. Определитель не может дать уникальную матрицу, связанную с ним.

• Алгебра, касающаяся матриц и определителей, имеет сходства и различия. Особенно при выполнении умножений. Например, умножение матриц должно выполняться поэлементно, где определители являются отдельными числами и следует за простым умножением.

• Детерминанты используются для вычисления обратной матрицы, и если определитель равен нулю, обратной матрицы не существует.

Источник

От действий над матрицами к пониманию их сути…

Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше.

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.

Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

Источник

Матрица и определитель в чем разница

Прежде чем приступить к обсуждению некоторых основных элементов теории факторного анализа, — это будет сделано в той мере, в какой необходимо для понимания практической процедуры выделения факторов, — необходимо изложить некоторые разделы математики, используемые этой теорией.

Для того чтобы освоить факторные методы на уровне, необходимом исследователям-«прикладникам», нужен некоторый объем математических знаний, которые прежде всего включают элементы, охватываемые программой средней школы. Сюда относятся основные сведения из алгебры и тригонометрии, а также такие элементы аналитической геометрии, как координаты и векторы на плоскости и в пространстве. Эти вопросы не будут рассматриваться в силу их элементарности, а также потому, что по данному предмету существует большая литература, включая школьные учебники.

Но это еще не все. Основное значение для теории факторного анализа имеет раздел математики, менее популярный и не входящий в программу общеобразовательных школ. Речь идет о понятии матриц и определителей. Эти понятия будут рассмотрены более подробно.

Во вступлении к своей основополагающей работе «Многофакторный анализ» Л. Тэрстоун подчеркивает, что трактовка основных положений факторного анализа в терминах матричного исчисления явилась переломным моментом, позволившим развить и обобщить исходные концепции Ч. Спирмэна.

Необходимо подчеркнуть, что именно Л. Тэрстоун впервые использовал матричную алгебру в факторном анализе. Мы познакомимся более основательно с теми математическими понятиями, которые, как правило, мало известны «прикладникам» и в то же время не настолько трудны, как может показаться с первого взгляда. При этом мы максимально подробно рассмотрим лишь элементы, необходимые для дальнейшего изложения, так как цель данной главы заключается не в углублении и основательном рассмотрении различных понятий и математических проблем, связанных с факторным анализом, а скорее в ознакомлении читателя с терминологией и самым общим характером зависимостей, с которыми чаще всего сталкиваются при использовании факторных методов.

а. МАТРИЦА. ПОРЯДОК И РАНГ МАТРИЦЫ

Матрицей называется прямоугольная или квадратная таблица чисел, рассматриваемая безотносительно к тому, что именно представляют собой эти числа и существуют ли между ними какие-то заранее определенные зависимости. Вертикальный ряд чисел, расположенных в матрице одно над другим, называется столбцом, горизонтальный ряд чисел — строкой. Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. В тех случаях, когда нужно обозначить какие-либо элементы матрицы, им приписываются соответствующие индексы, первый из которых указывает номер строки, а второй — номер столбца, в котором находится данный элемент.

Схема 2.1. Квадратная матрица 4X4

Таким образом, в квадратной матрице, показанной на схеме. 2.1, символ обозначает элемент, находящийся на пересечении второй строки третьего столбца. Вся матрица обозначается буквой А. С обеих сторон матрица ограничивается двумя вертикальными линиями. Это помогает отличить ее от определителя. Некоторые авторы используют для этого обычные квадратные или фигурные скобки. О матрице, имеющей строк и столбцов, говорят, что ее порядок составляет . Квадратная матрица имеет порядок .

В общем виде матрица записывается следующим образом:

Схема 2.2. Общая запись матрицы

В первой строке этой матрицы находятся элементы что означает лишь то, что матрица содержит столбцов. Если еще раз взглянуть на элементы первого столбца то можно убедиться, что матрица включает строк. Общий элемент матрицы записывается в виде где i (индекс строки) может принимать последовательные значения (индекс столбца) может принимать последовательные значения . Матрица А может обозначаться через ее общий элемент

б. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

Это важное понятие, часто встречающееся в факторном анализе. Представим себе, что строки матрицы А становятся столбцами, в результате чего возникает новая матрица, которая будет транспонированной по отношению к А. Обозначим новую матрицу А. Дадим пример транспонирования матрицы

в. СИММЕТРИЧЕСКАЯ МАТРИЦА

Если матрица А квадратная и совпадает с транспонированной к ней матрицей, то матрица А симметрична. Другими словами, квадратная матрица А симметрична, если . Пример симметрической матрицы дает схема 2.4.

Схема 2.4. Симметрическая матрица

Если элементами матрицы являются коэффициенты корреляции данной совокупности переменных, то эта матрица симметрическая. В факторном анализе, как правило, встречаются именно такие ситуации.

г. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Матрицы можно умножить друг на друга. Операция умножения часто встречается в факторном анализе и поэтому мы обсудим ее подробнее. Не вдаваясь глубоко в теорию вопроса, ограничимся описанием практических правил умножения матриц.

Правила эти гораздо сложнее правил умножения в арифметике. Первое отличие между умножением в арифметике и в матричной алгебре состоит в том, что при умножении матриц не действует закон коммутативности, в соответствии с которым произведение не зависит от порядка, в котором стоят сомножители. Если умножаются матрицы, их произведение в общем случае зависит от этого порядка. Другими словами, .

Для умножения матрицы А на матрицу В необходимо выполнение следующего условия: матрица А должна иметь столько столбцов, сколько строк в матрице В. Сам процесс умножения исходит из правила «строка на столбец». Это правило означает, что каждый элемент матрицы-произведения представляет собой сумму произведений от умножения элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы. Процесс умножения иллюстрирует схема. 2.5.

Схема 2.5. Умножение матриц

Таким образом, элемент, стоящий на пересечении второй строки и третьего столбца матрицы С, образуется путем последовательного умножения элементов второй строки матрицы А (в нашем случае элементов ) на соответствующие элементы третьего столбца матрицы и суммирования произведений. В приведенном примере каждый элемент матрицы-произведения представляет собой сумму двух произведений.

Если бы матрица А имела 3 столбца, а матрица В — три строки, то каждый элемент матрицы-произведения являлся бы суммой трех произведений.

Матрица, представляющая собой произведение двух матриц, будет иметь всегда столько строк, сколько их было в первой матрице, и столько столбцов, сколько их было во второй матрице. Если матрица порядка () умножается на матрицу порядка , то их произведение будет иметь порядок ().

д. ВИДЫ МАТРИЦ, ЧАЩЕ ВСЕГО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ

Диагональная матрица. Это квадратная матрица, в которой отличны от нуля только элементы, лежащие на главной диагонали. Главной диагональю называется линия, связывающая левый верхний угол с правым нижним углом матрицы.

Диагональная матрица имеет такой вид:

Скалярная матрица. Если все элементы диагональной матрицы равны между собой, то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица имеет следующий вид:

Единичная матрица. Это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Единичная матрица четвертого порядка выглядит так:

Единичная матрица обозначается символом . Интересно отметить следующую особенность единичной матрицы: если квадратную матрицу А умножить на единичную матрицу того же порядка, что и матрица А, то получим матрицу А, независимо от того, в каком порядке стоят сомножители. Таким образом,

Единичная матрица выполняет в матричной алгебре ту же роль, что и единица в арифметике.

Обратная матрица. Выше уже была рассмотрена операция умножения матриц. В матричном исчислении существует операция, соответствующая делению в арифметике. Всем известна простая зависимость, которую можно представить в виде:

Эта зависимость означает, что произведение любого числа на обратное ему число равно единице. В матричной алгебре существует такая же связь. Если матрица А квадратная и невырожденная, то существует такая матрица, обозначаемая символом и называемая обратной к матрице А, что

Матрица в определенном смысле аналогична обратному числу в арифметике, однако способ вычисления обратной матрицы довольно сложен.

Можно найти и другие аналоги с арифметикой. Известно, что при переносе какого-либо сомножителя с одной стороны уравнения на другую он становится обратной величиной:

Имея дело с матрицей, являющейся сомножителем, нужно поступать аналогично. Такая матрица, перенесенная на другую сторону уравнения, будет иметь вид обратной матрицы:

Необходимо подчеркнуть, что если матрица А стояла слева от В, то обратная матрица должна также стоять слева от матрицы С. Поэтому было бы неправильно писать

е. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Излагая некоторые наиболее общие положения теории определителей, мы ограничимся теми элементами, которые чаще всего встречаются в практике факторного анализа. Какова разница между определителем и матрицей?

Определитель — это некоторое числовое значение, характеризующее рассматриваемую квадратную матрицу. Таким образом, каждой квадратной матрице сопоставляется некоторое числовое значение, вычисляемое по определенным правилам.

Если квадратная матрица обозначается символом А, то ее определитель — символом Определитель матрицы имеет порядок . Если определитель записывается в форме таблицы, то в отличие от матрицы по его обеим сторонам будет находиться по одной вертикальной линии. Определитель второго порядка будет иметь следующий вид:

Вычислять определители высоких порядков сложно. Поэтому мы ограничимся простым примером вычисления приведенного определителя второго порядка. Значение определителя рассчитывается по формуле

Легко видеть, что если имеет место равенство

то определитель равен нулю. В этом случае говорят, что определитель обращается в нуль.

Напомним еще одно понятие, связанное с определителями и используемое в факторном анализе. Если у данного определителя вычеркнуть одно и то же число столбцов и строк, то мы получим минор.

Возьмем, к примеру, определитель третьего порядка

Из этого определителя можно получить некоторое число миноров второго порядка, если вычеркивать по одной строке и одному столбцу. Легко видеть, что таких миноров будет 9, так как определитель содержит 9 элементов, из которых каждый может стоять на пересечении вычеркиваемой строки и столбца.

Так, если мы вычеркнем третий столбец и третью строку, пересекающиеся в том месте, где стоит элемент то получим минор

Если вычеркивается первая строка и второй столбец, пересекающиеся там, где стоит элемент то получается минор

Если из определителя третьего порядка вычеркнуть какие-либо два столбца и две строки, то минор будет состоять только из одного элемента. В этом смысле каждый элемент определителя можно рассматривать как минор.

ж. РАНГ МАТРИЦЫ

В заключение рассмотрим еще проблему ранга матрицы. Для уяснения этого важного для факторного анализа понятия нужно прежде рассмотреть вопрос линейной зависимости между строками или столбцами матрицы

Схема 2.6. Матрица, в которой строки и столбцы линейно зависимы

Пусть дана матрица изображенная на схеме 2.6. При ее внимательном рассмотрении видно, что вторую строку можно получить, умножив каждый элемент первой строки на 2. Третья строка получается путем умножения каждого элемента первой строки на 3, а четвертая — путем умножения каждого элемента первой строки на 4. Необходимо подчеркнуть, что используемые в примере множители могут быть любыми. Наиболее существенно то, что для каждой строки i данной матрицы существует такое число что выполняется равенство

Другими словами, каждая строка нашей матрицы может быть выражена при помощи элементов первой строки и некоторого числа.

О каждой такой паре строк, в которых одну строку можно выразить при помощи элементов первой строки и некоторой постоянной, говорят, что эти строки линейно зависимы. Легко видеть, что все элементы таких двух строк пропорциональны друг другу. Нетрудно также убедиться, что пропорциональными будут и столбцы матрицы.

Возможны случаи, когда строки матрицы могут быть линейно связаны с двумя или более строками. В этом случае также имеет место линейная зависимость.

В нашем случае все строки линейно зависят от первой строки матрицы; то же относится и к столбцу. Например, второй столбец образован умножением всех элементов первого столбца на 2/3. Для других столбцов такими числами будут 1/3, 5/3, 4/3, 7/3.

Если какие-либо две строки матрицы непропорциональны, т. е. одна из них не может быть выражена через другую с помощью какого-либо числа, то такие строки линейно независимы.

Вернемся к понятию ранга матрицы. С учетом вышесказанного ранг матрицы можно определить как максимально возможное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

В нашем примере (схема 2.6) каждая строка может быть выражена при помощи элементов одной строки и некоторых чисел. Поэтому ранг этой матрицы 1. При этом легко видеть, что исчезают, точнее обращаются в нуль, все миноры второго порядка.

Если представить себе матрицу, в которой каждая строка может быть линейно выражена через две первые строки, то ранг этой матрицы будет равен 2, так как у нее две линейно независимые строки. Тогда из определителя матрицы исчезают все миноры третьего порядка.

Можно также указать, что если ранг матрицы d, то в ней существует такой набор из d строк или столбцов, что каждая другая строка или столбец матрицы могут линейно выражаться через строки или столбцы набора.

Таков подход к рангу матрицы с математической точки зрения. О значении этого понятия в теории факторного анализа мы будем говорить ниже.

Источник