Методы оптимизации что это

Методы оптимизации

Математическое программирование — математическая дисциплина, изучающая теорию и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах конечномерного векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

Формально, задача математического программирования формулируется так:

Найти

В зависимости от природы множества X задачи математического программирования классифицируются как:

Кроме того, разделами математического программирования являются параметрическое программирование, динамическое программирование и стохастическое программирование. Математическое программирование используется при решении оптимизационных задач исследования операций.

Способ нахождения экстремума полностью определяется классом задачи. Но перед тем, как получить математическую модель, нужно выполнить 4 этапа моделирования:

История

Задачи линейного программирования были первыми, подробно изученными задачами поиска экстремума функций при наличии ограничений типа неравенств. В 1820 г. Ж. Фурье и затем в 1947 г. Дж. Данциг предложил метод направленного перебора смежных вершин в направлении возрастания целевой функции — симплекс-метод, ставший основным при решении задач линейного программирования.

Присутствие в названии дисциплины термина «программирование» объясняется тем, что первые исследования и первые приложения линейных оптимизационных задач были в сфере экономики, так как в английском языке слово «programming» означает планирование, составление планов или программ. Вполне естественно, что терминология отражает тесную связь, существующую между математической постановкой задачи и её экономической интерпретацией (изучение оптимальной экономической программы). Термин «линейное программирование» был предложен Дж. Данцигом в 1949 г. для изучения теоретических и алгоритмических задач, связанных с оптимизацией линейных функций при линейных ограничениях. Поэтому наименование «Математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор оптимальной программы действий.

Выделение класса экстремальных задач, определяемых линейным функционалом на множестве, задаваемом линейными ограничениями, следует отнести к 30-м годам ХХ столетия. Одними из первых, исследовавшими в общей форме задачи линейного программирования, были: Джон фон Нейман, знаменитый математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх и изучивший экономическую модель, носящую его имя; советский академик, лауреат Нобелевской премии (1975 г.) Л. В. Канторович, сформулировавший ряд задач линейного программирования и предложивший (1939 г.) метод их решения (метод разрешающих множителей), незначительно отличающийся от симплекс-метода.

В 1931 г. венгерский математик Б. Эгервари рассмотрел математическую постановку и решил задачу линейного программирования, имеющую название «проблема выбора», метод решения получил название «венгерского метода».

Л. В. Канторовичем совместно с М. К. Гавуриным в 1949 г разработан метод потенциалов, который применяется при решении транспортных задач. В последующих работах Л. В. Канторовича, В. С. Немчинова, В. В. Новожилова, А. Л. Лурье, А. Брудно, А. Г. Аганбегяна, Д. Б. Юдина, Е. Г. Гольштейна и других математиков и экономистов получили дальнейшее развитие как математическая теория линейного и нелинейного программирования, так и приложение её методов к исследованию различных экономических проблем. Методам линейного программирования посвящено много работ зарубежных ученых. В 1941 г. Ф. Л. Хитчкок поставил транспортную задачу. Основной метод решения задач линейного программирования — симплекс-метод — был опубликован в 1949 г Дж. Данцигом. Дальнейшее развитие методы линейного и нелинейного программирования получили в работах Г. Куна (англ.), А. Таккера (англ.), Гасса (Gass S. I.), Чарнеса (Charnes A.), Била (Beale E. M.) и др.

Одновременно с развитием линейного программирования большое внимание уделялось задачам нелинейного программирования, в которых либо целевая функция, либо ограничения, либо то и другое нелинейны. В 1951 г была опубликована работа Куна и Таккера, в которой приведены необходимые и достаточные условия оптимальности для решения задач нелинейного программирования. Эта работа послужила основой для последующих исследований в этой области.

Начиная с 1955 г опубликовано много работ, посвященных квадратическому программированию (работы Била, Э. Баранкина (Barankin E.) и Дорфмана (Dorfman R.), Франка (Frank M.) и Вольфа (Wolfe P.), Г. Марковица и др.). В работах Денниса (Dennis J. B.), Розена (Rosen J. B.) и Зонтендейка (Zontendijk G.) разработаны градиентные методы решения задач нелинейного программирования.

В настоящее время для эффективного применения методов математического программирования и решения задач на компьютерах разработаны алгебраические языки моделирования, представителями которыми являются AMPL и LINGO.

Литература

Методы второго порядка:
(требуют значения первой и второй частных производных):
Метод Ньютона • Метод Ньютона-Рафсона

Источник

Методы оптимизации 20/21

Содержание

О курсе

Курс читается для третьекурсников в 3-4 модулях.

Лектор: Посыпкин Михаил Анатольевич

Полезные ссылки

Литература

An Introduction to Optimization 4th Edition by Edwin K. P. Chong, Stanislaw H. Zak

Методы оптимизации в примерах и задачах Пантелеев А.В., Летова Т.А.

С.П. Шарый Конечномерный интервальный анализ. – Новосибирск: XYZ.

План курса

Лекции

Примерный план лекций:

1. Общие сведения о задачах оптимизации

Постановка задачи оптимизации, классификация задач оптимизации. Локальный и глобальный оптимум. Условный экстремум. Теорема Куна-Таккера, необходимые и достаточные условия оптимальности. Двойственность и ее применение в оптимизации.

2. Методы безусловной непрерывной оптимизации

Методы поиска минимума функции одной переменной. Методы, не использующие производных (“нулевого порядка”). Методы градиентного спуска и сопряженных градиентов. Метод Ньютона. Квазиньютоновские методы (LBFGS).

3. Методы условной непрерывной оптимизации

Методы штрафных функций. Барьерные методы. Метод проекции градиента.

4. Методы поиска глобального экстремума

Точные методы, основанные на интервальном анализе. Липшицева оптимизациия. Генетические алгоритмы. Популяционные алгоритмы. Поиск с запретами.

5. Комбинаторная оптимизация

Задача о ранце. Жадные алгоритмы. Метод ветвей и границ для задачи о ранце. Методы динамического программирования для задачи о ранце. Задача об упаковке контейнеров: приближенные и точные методы решения. Приложение: управление ресурсами в распределенных системах.

6. Линейное программирование

Постановка задачи линейного программирования, различные формы задания. Прямая и двойственная задача ЛП. Прямой симлекс-метод. Двойственный симплекс-метод. Приложение: транспортная задача. Общая задача целочисленного линейного программирования. Метод ветвей и границ для ЦЛП. Метод отсечений Гомори.

7. Многокритериальная оптимизация

Понятие оптимальности по Парето и Слейтеру. Свертка критериев. Основные алгоритмы аппроксимации множества эффективных решений. Приложение: инженерная оптимизация на примере оптимизации робота.

Конспекты лекций

Семинары

Библиотека интервальной арифметики interval.py

Домашние задания

Домашние задания направлены на реализацию различных методов оптимизации и решению задач. Основной язык данного курса будет Python.

За каждое задание вы получите оценку, среднее по всем домашним заданиям и контрольным работам будет составлять 0.5 от итоговой оценки.

Контрольные работы

В ходе курса планируется две контрольные работы, выполняемые на семинарских занятиях: 5-7 апреля и в конце второго модуля. За каждую контрольную работу вы получите оценку, среднее по всем домашним заданиям и контрольным работам будет составлять 0.5 от итоговой оценки.

Экзамен

Итоговая оценка за курс

Итог = 0.5 * ПР + 0.5 * ЭКЗ

Источник

Методы оптимизации бизнеса: чем и как улучшать

Из этого материала вы узнаете:

Сейчас стало модно использовать методы оптимизации бизнеса, не вникая в суть явных или надуманных проблем. Оптимизация, зачастую, проходит под лозунгом «Надо!», и ни о каком понимании сути происходящего, описании бизнес-процессов речь не идет.

Итог такой оптимизации – еще более запутанные бизнес-процессы, убытки, текучка кадров и, как вишенка на торте, банкротство компании. Прежде чем что-то начинать, необходимо разобраться, как работает механизм, почему он сломался. И только потом для его починки выбирать подходящий инструмент – условную отвертку, чтобы закрутить открутившийся винтик, но никак не молоток для склеивания хрупких деталей.

Цели и задачи оптимизации бизнес-процессов

До того как давать определение оптимизации бизнес-процессов, кратко перечислим функции данной управленческой стратегии, которая становится всё более востребованной. Бизнес-процессы оптимизируют, чтобы:

Помимо этого, оптимизация бизнеса преследует и более общие цели: улучшить качество труда и ускорить выполнение планов. Оптимизация бизнеса– не разовое действие, а долгий и комплексный процесс, успех которого заключается в правильном порядке действий (а не только в квалификации исполнителя). Без ясного, продуманного плана нечего и мечтать об успешной оптимизации. Все мероприятия должны проводиться вовремя и систематически.

Суть оптимизации бизнеса: что и как улучшается

Сначала следует уточнить, какие аспекты работы компании являются бизнес-процессами. Редко кто из авторов даёт чёткое определение термину бизнес-процесса, его считают интуитивно понятным (и совершенно зря: у многих он вызывает вопросы, и часто бизнес-процесс даже считают синонимом бизнес-сущности или придумывают другие аналоги этому термину).

Бизнес-процесс – это регламентированный порядок действий ряда работников компании, нацеленный на определённый результат, представляющий ценность для заказчика данного процесса. Заказчиком может быть не только конечный клиент, но и один из сотрудников, работающий с продуктами бизнес-процесса.

Почему речь идёт о нескольких работниках? Потому что плоды труда каждого всегда так или иначе связаны с плодами труда остальных участников команды: поставщику приходится взаимодействовать с продавцом, маляру – с каменщиком и т. д. Бизнес-процессов без участия персонала не существует. Те цепочки действий, которые уже на 100 % автоматизированы, называются технологическими процессами, а это совсем другая категория процессов.

Таким образом, методы оптимизации бизнес-процессов предприятия (BusinessProcessOptimization) можно охарактеризовать как комплекс мер, необходимых для того, чтобы усовершенствовать работу компании в целом или отдельное её направление.

Суть оптимизации бизнеса

Удобнее всего показать оптимизацию бизнес-процесса на практическом примере.

В компании, выпускающей мебель, имеется конструкторский отдел, который отвечает за расчёт параметров изделий с помощью таблиц Excel (они играют роль калькулятора с продвинутым функционалом).

У этого процесса есть слабые места:

Полезные материалы для
увеличения продаж с
вашего сайта!

Много компаний ушло в онлайн и конкуренция значительно выросла. Так как бюджеты у всех ограничены, сейчас особенно важно, чтобы больше посетителей сайта покупали и оставляли заявки, а не уходили к конкурентам.

Поэтому мы подготовили конкретные инструкции, внедрив которые, вы увеличите количество заявок с сайта более чем 2 раза без увеличения бюджетов на рекламу!

Основатель агентства
интернет-маркетинга TFA,
автор курса “Взлом конверсии”

5 случаев, когда цену на сайте указывать необходимо Когда и как указывать цену, чтобы не отпугнуть потенциального клиента

10 источников клиентов для новичков Как быстро получить первых клиентов без крупных вложений

11 блоков, формирующих доверие Конкретные примеры: как привлечь клиента не за счет низкой цены

План создания лид-магнита с конверсией 69% Чек-лист с примерами по выбору и оформлению продающего лид-магнита

После того как аналитики исследовали этот бизнес-процесс, его длительность удалось сократить вдвое, а количество бумаг – на треть:

Аналогичным образом можно усовершенствовать и более сложный многоаспектный рабочий процесс.

4 правила эффективной оптимизации бизнеса

Проанализируйте сложившуюся ситуацию

Для начала надо выявить сильные стороны и уязвимости компании – без этого никакие методы оптимизации бизнеса не сработают. Локализуйте проблему – сформулируйте, какие аспекты деятельности фирмы вызывают у вас беспокойство. Как правило, проблемы лежат в четырёх областях: финансовые расходы, затраты времени, качество продукта, эффективность труда. Скорее всего, ваш бизнес развивается медленнее, чем хотелось бы, именно из-за них.

Опишите работу компании в текущий момент в виде модели «как есть»: сколько персонала работает, каковы затраты и прибыль и т. п.

Вам предстоит улучшать не ситуацию в целом и не всю компанию, а решать одну конкретную задачу. Определите, какую именно. Например, если небольшая фирма планирует продавать десять комбайнов в месяц, а ей удаётся реализовать только пять, оптимизация бизнеса будет направлена на продажи: их показатели необходимо дотянуть до плановых. Следует проанализировать деятельность фирмы, составить модель «как есть», наметить перспективы и проблемы, а затем сосредоточиться на главной среди них и подобрать методы решения.

Внедряйте изменения постепенно

Имейте в виду, что оптимизация бизнеса может растянуться надолго, а в некоторых случаях нужно кардинально перестраивать работу компании, чтобы устранить текущие проблемы, иногдадаже менять направление деятельности. Период перехода на новый стиль и методы работы – тяжёлое испытание для персонала, поэтому желательно разбить оптимизацию бизнеса на этапы и осуществлять их последовательно, а не пытаться изменить всё и сразу.

Важность человеческого фактора

Новый порядок работы устроит не всех нынешних сотрудников. Будьте готовы к саботажу и увольнениям, в том числе массовым. Руководитель в подобной ситуации должен объяснять подчинённым, что оптимизация бизнеса выгодна для компании (даже если рабочих мест при этом станет меньше).

ТОП-5 ПОПУЛЯРНЫХ СТАТЕЙ

4 метода оптимизации бизнеса

Не существует панацеи для всех отраслей и любых ситуаций, но уже выработано и опробовано достаточное количество методов оптимизации бизнеса, среди которых можно выбрать подходящий именно вашему предприятию. Главное – сначала всё тщательно проанализировать и выявить актуальные проблемы.

В больших организациях с филиальной структурой часто бывает так, что каждое представительство ведёт документацию по-своему, без единой системы. Это неизбежно приводит к логистическим проблемам и путанице в отчётности, и сотрудники теряют время, выполняя нудные рутинные операции.

В этом случае целесообразно создать единые стандарты работы для всех филиалов и подразделений. В компании должны действовать одинаковые требования ко всем, причём это касается не только оформления документов, но и методов выполнения технологических операций. Выработка свода общих правил – первый шаг к стандартизации бизнес-процессов. Важно, чтобы новые стандарты учитывали опыт самой компании и других аналогичных предприятий, специфику деятельности конкретных отделов и всей отрасли.

В некоторых процессах можно укрупнить фазы выполнения – объединить отдельные этапы между собой. Это упростит и ускорит весь бизнес-процесс.

К примеру, если в компании при найме нового сотрудника принято сначала рассматривать резюме, а затем проводить собеседование в три этапа (с кадровиком, руководителем отдела, директором фирмы), то можно оптимизировать этот процесс, исключив этап интервью с менеджером по кадрам. Вместо этого лучше дать кандидату подробную анкету для заполнения, содержащую все вопросы, интересующие кадровика, и направить кандидата прямо на собеседование с начальником отдела: именно он должен оценивать профессионализм будущего работника и его соответствие должности. Собеседование с директором или собственником бизнеса и вовсе не нужно (кроме случаев, когда организация небольшая или топ-менеджер привык сам решать вопросы найма).

Проанализируйте структуру бизнес-процесса и найдите те этапы, которые можно убрать без ущерба для результата. Главное – не перестараться с оптимизацией и не выплеснуть с водой ребёнка.

17 источников клиентов на маркетинг, 6 из которых бесплатные

Одной из самых популярной проблем, с которой сталкиваются начинающие специалисты в маркетинге, это как найти себе адекватных клиентов в достаточном количестве:

Этап 1. Как найти первых клиентов на свои услуги
На курсе Взлом Конверсии мы разбираем этот ключевой вопрос в первом модуле, так как каждый участник проходит обучение на собственном проекте, и более половины окупают курс до его окончания.

Для этого мы подготовили список площадок, из которых можно привлечь клиентов, кроме того, большая часть их них бесплатные.

Этап 2. Клиенты есть, но они выносят мозг, и лучше было вообще не браться за проект, чем потратить море сил и энергии

Также у нас есть гайд по проведению консультации с потенциальным клиентом: конкретные вопросы, чтобы выявить клиентов, которые действительно заинтересованы в твоих услугах.

Источник

1. Введение в методы оптимизации

Оптимизация – это процесс выбора наилучшего варианта или процесс приведения системы в наилучшее (оптимальное) состояние, который состоит в нахождении всех максимизирующих или минимизирующих элементов или седловых точек. Оптимизация лежит в основе экономического анализа. В пассивных экономических моделях (таких, как изучающие общее равновесие) нас интересует оптимальное поведение лица, принимающего решение. В активных моделях (таких, как модели эффективного роста) мы сами заинтересованы в получении оптимума. В последние годы появилась тенденция к переходу от моделей типа «затраты – выпуск» к моделям анализа производственных процессов, от простейших моделей роста к моделям, изучающим траектории оптимального и эффективного роста.

Методы оптимизации – методы поиска экстремума функции (в практических задачах – критериев оптимальности) при наличии ограничений или без ограничений очень широко используются на практике. Это, прежде всего оптимальное проектирование (выбор наилучших номинальных технологических режимов, элементов конструкций, структуры технологических цепочек, условий экономической деятельности, повышение доходности и т. д.), оптимальное управление построением нематематических моделей объектов управления (минимизации невязок различной структуры модели и реального объекта) и многие другие аспекты решения экономических и социальных проблем (например, управление запасами, трудовыми ресурсами, транспортными потоками и т. д.).

Методы оптимизации являются разделом математического моделирования.

Эти темы охватывают широкий спектр различных задач математического моделирования, возникающих при исследовании реальных объектов промышленного производства, экономических, финансовых и других проблем.

Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте–оригинале.

Для того чтобы использовать математические результаты и численные методы теории оптимизации для решения конкретных задач, необходимо:

 установить границы подлежащей оптимизации системы;

 определить количественный критерий, на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления «наилучшего»;

 осуществить выбор внутрисистемных переменных, которые используются для определения характеристик и идентификации вариантов;

 построить модель, отражающую взаимосвязи между переменными.

Эта последовательность действий составляет содержание Процесса постановки задачи оптимизации.

Рассмотрим некоторые встречающиеся в практической деятельности задачи математического моделирования в содержательной, а не в формальной математической трактовке.

Задачи оптимального распределения ресурсов. В общем ви­де эти задачи могут быть описаны следующим образом. Имеется некоторое количество ресурсов, под которыми можно понимать денежные средства, материальные ресурсы (например, сырье, по­луфабрикаты, трудовые ресурсы, различные виды оборудования и т. д.). Эти ресурсы необходимо распределить между различны­ми объектами их использования по отдельным промежуткам вре­мени или по различным объектам так, чтобы получить макси­мальную суммарную эффективность от выбранного способа распределения. Показателем эффективности может служить, на­пример, прибыль, товарная продукция, фондоотдача (задачи мак­симизации критерия оптимальности) или суммарные затраты, се­бестоимость, время выполнения данного объема работ и т. п. (задачи минимизации критерия оптимальности).

Имеется начальное количество средств Р0, которое необходи­мо распределить в течение П Лет между S предприятиями. Сред­ства ИKi (K = 1. N; I = 1. S), выделенные в K-м году I-му пред­приятию, приносят доход в размере Fki(Uki) и к концу года возвращаются в количестве Ki(Uki). В последующем распределе­нии доход может либо участвовать (частично или полностью), ли­бо не участвовать.

Требуется определить такой способ распределения ресурсов (количество средств, выделяемых каждому предприятию в каж­дом плановом году), чтобы суммарный доход от S предприятий за П Лет был максимальным. Следовательно, в качестве показателя эффективности процесса распределения ресурсов за П Лет прини­мается суммарный доход, полученный от S предприятий:

(1)

Количество ресурсов в начале K-го года будем характеризовать величиной Pn1 (параметр состояния). Управление на K-том Шаге состоит в выборе переменных Uk1, Uk2, …, Uks, обозначающих ресурсы, выделяемые в K-том Году I-му предприятию.

Если предположить, что доход в дальнейшем распределении не участвует, то уравнение состояния процесса имеет вид

(2)

Если же некоторая часть дохода участвует в дальнейшем рас­пределении в каком-нибудь году, то к правой части последнего равенства прибавляется соответствующая величина.

Требуется определить ПS Неотрицательных переменных ИKi, Удовлетворяющих условиям (2) и максимизирующих функ­цию (1).

Оптимальное управление запасами. Класс задач, в которых рассматривается оптимальное управление запасами, является од­ним из наиболее сложных. Это обусловлено тем, что в задачах управления запасами процесс, естественно, разворачивается во времени, причем управление заключается в том, что решение на данном промежутке времени принимается с учетом того состоя­ния, к которому пришла система за предшествующие периоды. Кроме того, эти задачи связаны, как правило, с дискретным харак­тером переменных и, следовательно, решаются довольно сложно.

Проблема управления запасами является одной из важнейших областей практического приложения экономико-математических методов, в том числе методов математического программирова­ния.

При формулировке задач управления запасами используют следующие понятия.

Запасы — Это любые денежные или материальные ценности, которые периодически пополняются (производятся, доставляют­ся и т. д.) и некоторое время сохраняются с целью расходования их в последующие промежутки времени. Уровень запасов в лю­бой момент времени определяется начальным уровнем запасов плюс пополнение и минус расход за промежуток времени от на­чального момента до текущего.

Управление запасами в общем случае состоит в воздействии на соотношение между двумя основными факторами — пополне­нием и расходом. Цель управления — оптимизация некоторого критерия, зависящего от расходов на хранение запасов, стоимо­сти поставок, затрат, связанных с пополнением, штрафов и т. д.

В такой общей постановке подобные задачи могут иметь са­мое разнообразное практическое применение. Например, под за­пасами можно понимать продукцию предприятия, которая произ­водится непрерывно (пополнение) и отгружается потребителям определенными дискретными партиями (расход). При этом спрос на продукцию предполагается наперед заданным (детерминиро­ванный спрос) или подверженным случайным колебаниям (сто­хастическая задача). Управление запасами состоит в определении размеров необходимого выпуска продукции для удовлетворения заданного спроса. Цель — минимизация суммарных затрат на хранение и пополнение запасов.

Под запасами можно понимать запасы сырья или других мате­риалов, поставляемых дискретными партиями (пополнение), ко­торые должны обеспечить непрерывное потребление в процессе производства (расход). Критерием оптимальности могут служить суммарные затраты на хранение запасов, замораживание оборот­ных средств и поставки запасов.

Запасами могут быть товары, поставляемые в магазин опреде­ленными партиями и предназначенные для удовлетворения непрерывного, но подверженного случайным колебаниям поку­пательского спроса. Критерий оптимальности — суммарные за­траты на поставки, хранение запасов и изменение производствен­ного ритма; связи с вариациями спроса.

Запасами могут быть и сезонные товары, сохраняющиеся на складе ограниченной емкости. Товары можно покупать и прода­вать в различных количествах по ценам, меняющимся во време­ни. Задача состоит в определении политики покупок и продаж, обеспечивающих максимум суммарной прибыли, и является при­мером задачи складирования.

Задачи о замене. Одной из важных экономических проблем, с которыми приходится встречаться на практике, является опреде­ление оптимальной стратегии в замене старых станков, произ­водственных зданий, агрегатов, машин и т. д., другими словами, старого оборудования на новое.

Старение оборудования включает его физический и мораль­ный износ, в результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются за­траты на его ремонт и обслуживание, а вместе с тем снижаются производительность и так называемая ликвидная стоимость.

Наступает момент, когда старое оборудование более выгодно продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат. При этом оборудование можно заменить либо новым обо­рудованием того же вида, либо новым, более совершенным в тех­ническом отношении с учетом технического прогресса.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в опре­делении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматри­ваемого промежутка времени, подлежащие минимизации.

Задачи оптимального управления. Обычно к этому типу задач относят задачи, связанные с нахождением распределен­ного во времени непрерывного управляющего воздействия. В экономике это прежде всего задачи прогнозирования тенденций развития, долгосрочных инвестиций и др. Например задача опти­мизации суммарного фонда потребления, где в качестве управ­ляющего воздействия рассматривается величина инвестиций как функция времени (задача может быть сформулирована с учетом и без учета инвестиционного лага), задача максимизации дисконти­рованного потребления и т. д.

Все упомянутые классы задач (при этом их состав далеко не полон) требуют для своего решения применения специальных ма­тематических методов линейного и нелинейного программирова­ния, динамического программирования, принципа максимума и некоторых других. Составной частью вычислительных работ при решении рассмотренных проблем могут являться задачи решения нелинейных уравнений и их систем, вычисления интегралов, ре­шение дифференциальных уравнений и т. д.

Существует достаточно большое количество численных методов оптимизации. Основные из них можно Классифицировать следующим образом:

 по размерности решаемой задачи: одномерные и многомерные;

 по способу формирования шага многомерные методы делятся на следующие виды:

O по способу вычислений градиента: с парной пробой и с центральной пробой;

O по алгоритму коррекции шага;

O по алгоритму вычисления новой точки: одношаговые и многошаговые;

 безградиентные: с поочередным изменением переменных и с одновременным изменением переменных;

 случайного поиска: с чисто случайной стратегией и со смешанной стратегией;

 по наличию активных ограничений;

 без ограничений (безусловные);

 с ограничениями (условные);

 с ограничениями типа равенств;

 с ограничениями типа неравенств;

Методы одномерной оптимизации являются базой для некоторых «многомерных» методов. В многомерной градиентной оптимизации строится улучшающая последовательность в зависимости от скорости изменения критерия по различным направлениям. При этом под улучшающей последовательностью понимается такая последовательность Х0, х1, …, хI, …, в каждой точке которой значение критерия оптимальности лучше, чем в предыдущей. В безградиентных методах величина и направление шага к оптимуму при построении улучшающей последовательности формируется однозначно по определенным детерминированным функциям в зависимости от свойств критерия оптимальности в окрестности текущей точки без использования производных (т. е. градиента). Случайные методы используются в задачах высокой размерности. Многомерная условная оптимизация учитывает активные ограничения, выраженные в виде равенств и неравенств. В каждом из рассмотренных направлений имеется большое число методов, обладающих своими достоинствами и недостатками, которые зависят, прежде всего, от свойств функций, экстремум которых ищется. Одним из сравнительных показателей качества метода является количество значений функции, которое нужно вычислить для решения задачи с заданной погрешностью. Чем это число меньше, тем при прочих равных условиях эффективнее метод.

В теоретических и математических задачах принято рассматривать задачи оптимизации как задачи поиска минимума функции. Даже методы имеют общее название – методы спуска. Однако при решении реальных практических задач очень часто встречаются задачи и на максимум (например, максимизация дохода, объема выпуска и т. д.). Конечно, легко перейти от одного вида экстремума к другому путем смены знака у критерия оптимальности, но это делают в прикладных нематематических задачах не всегда, чтобы не терять содержательную нить задачи.

1. Почему необходимо использование математики в экономике?

2. Что такое математическая модель?

3. Как строится математическая модель экономического явления и объекта? Приведите пример построения модели.

4. Что такое оптимизация?

5. Какие существуют методы оптимизации?

6. Какие экономические задачи решаются методами оптимизации?

Источник