Многоэтажные дроби что это
Сложные выражения с дробями. Порядок действий
Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?
В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:
Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.
Задача. Найдите значения выражений:
Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:
Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.
Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:
Многоэтажные дроби
До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.
Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:
Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:
Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:
Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:
В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Получаем:
В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.
Специфика работы с многоэтажными дробями
В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:
Это выражение можно прочитать по-разному:
Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:
Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.
Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:
Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:
Задача. Найдите значения выражений:
Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:
Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:
Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили в форме дроби, чтобы выполнить деление.
Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.
Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.
Конспект урока по теме Многоэтажные дроби (6 класс)
Конспект урока по теме «Многоэтажные дроби»
Автор: С.В. Сидорук, учитель математики МБОУ «Школа № 44», г. Рязань.
Конспект урока по математике для 6 класса, УМК под редакцией Г.В. Дорофеева.
Методическая разработка представляет собой первый урок по данной теме, в течение которого предусмотрено повторение действий с обыкновенными дробями, изученных на предыдущих уроках.
Изложение ведется на наглядно-интуитивном уровне, с применением презентации.
Тип урока – урок открытия нового знания.
Цель : формирование умений использования дробной черты как знак деления и наоборот; осмысление применения алгоритма преобразования «многоэтажных дробей» на практике.
— научиться записывать «многоэтажную» дробь более простым способом, заменяя дробную черточку знаком деления;
— сформировать умения находить значение «многоэтажной» дроби.
познавательные: уметь находить информацию в учебнике, сравнивать объекты;
коммуникативные: уметь работать в паре, слушать и слышать собеседника.
регулятивные: умение ставить цель, осуществлять контроль своей деятельности, делать выводы.
— по степени взаимодействия учитель-ученик: эвристическая беседа;
— относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;
— относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная, парная.
Оборудование : компьютер, проектор, учебник, раздаточный материал (листы самооценки), карточки с заданиями.
Учитель приветствует обучающихся, проверяет их готовность к уроку.
«Математику нельзя изучить, наблюдая, как это делает сосед», – сказал А. Нивен
«В гостях» кот Матроскин.
Обучающиеся приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку, настраиваются на работу.
Читают высказывание с экрана, объясняют, как они это понимают (Слайд).
1. Мотивация (работа в парах).
Учитель просит сформулировать правила, которые изображены формулами на экране.
2. Разминка. Выполнить действие, в ответ записать дробь, обратную полученной.
Хоровой проговор, затем формулируют друг другу (работа в парах)
Выполняют решения в своих тетрадях самостоятельно (Слайд).
По окончании работы – взаимопроверка, ответы на экране (Слайд).
Фиксируют результаты в лист самооценки.
III . Постановка целей, задач урока.
«Задание» от кота Матроскина:
что может быть общего у дробей и зданий, изображенных на слайде?
Сформулируйте тему урока. 
Возможный вариант ответа: и у дробей и у домов есть этажи.
Тема урока: «Многоэтажные» дроби. Делают вывод, что с такими дробями не знакомы, для них это трудность. Обучающиеся определяют для себя цели, пути выхода из затруднения.
IV . Первичное усвоение новых знаний.
Записываем тему урока в тетрадь.
Откуда можно получить информацию о записи «многоэтажной дроби»? Что необходимо определить в «многоэтажной» дроби, чтобы заменить черту дроби знаком деления?
Учащиеся работают с учебником, исследуют способы решения на стр. 14, п.1.3.; делают выводы.
Фронтальная работа, определяют числитель и знаменатель «многоэтажной дроби» (задание с экрана).
Решение задач. Взаимопроверка по образцу.
Выполняем самопроверку, разбираем ошибки (по необходимости).
Упростить запись, заменив дробную черту знаком деления. №41(а,б), 42(а,б) (р абота у доски по одному).
Оформляют результаты ответов в лист самооценки.
Задание 2. Записать выражение в виде дроби (задание с экрана).
Самопроверка, результаты в лист самооценки.
Работа в парах, в тетрадях выписывают номера правильных выражений.
Дает команду на поднятие рук влево, вправо, вверх, вниз.
Задание на координацию движения (поднимают руки вверх, влево, вправо, вперед под команду учителя, ускоряя темп).
Какие цели и задачи мы ставили?
Проанализируйте, как удобно найти значение «многоэтажной» дроби.
Вычислите (задание из учебника): №44(а), 45(а,б), 46(а,б).
Вместе с детьми разбирает задания, где допустили ошибки.
Напоминают цели и задачи, делают выводы, что не все задачи решены. Не сформированы умения находить значение «многоэтажной» дроби.
Работают с учебником стр. 14-15 пример в тексте учебника, где самостоятельно разбирают 2 способа нахождения значения «многоэтажной» дроби. Делают выводы, о способах вычисления, выбирают для себя наиболее удобный.
Работа в тетради и «цепочкой» у доски с объяснением.
Фиксируют результаты работы в листах самооценки.
Найти значение «многоэтажной» дроби можно …
Выполнить самостоятельно по вариантам:
Поднимите руки, кто правильно справился с заданием.
Оцените свою работу в лист самооценки.
Фиксирует количество «5», «4», «3», объявляет оценки.
Продолжают начатые предложения (фронтальная работа).
Задание на карточках на столах (на обратной стороне ответы и решения).
Обучающиеся выполняют работу в тетради (а – первый вариант, б – второй). После выполнения проверяют ответы (самопроверка).
Поднимают руки, если есть ошибки, то комментируют решение.
Фиксируют результаты в лист самооценки, подсчитывают количество набранных за урок баллов, ставят оценки.
Комментирует домашнее задание.
Читать п. 1.3 учебника;
1 уровень: №41(в), 42(в,), 43(в), 44(в)
2 уровень: №41(в), 42(в), 43(в), 44(в), 45(в), 46(в,г).
Записывают в дневник, слушают учителя, задают вопросы.
Используются разноцветные сигнальные карточки.
Поднимите карточку, обозначающую:
красный – мне надо быть внимательней;
зеленый – у меня все получилось, мне все понятно;
жёлтый – я старался, но остались вопросы.
Обучающиеся поднимают карточки и комментируют свою работу на уроке.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1421784
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
АСИ организует конкурс лучших управленческих практик в сфере детского образования
Время чтения: 2 минуты
В российских школах могут появиться «службы примирения»
Время чтения: 1 минута
Путин призвал повышать уровень общей подготовки в колледжах
Время чтения: 1 минута
В Думу внесли законопроект об обязательном образовании для находящихся в СИЗО подростков
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Многоэтажные дроби 
В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:
Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:
Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления.
Будьте внимательны, здесь легко запутаться. Обратите внимание, например:
При делении единицы на любую дробь, результатом будет та же самая дробь, только перевернутая:
Если пример содержит только действия II ступени, то их удобно выполнить под одной дробной чертой.
При вычислениях многоэтажных дробей часто удобно числитель и знаменатель записать в виде натуральных чисел. Для этого надо:
1) Найти НОК знаменателей в выражении многоэтажной дроби;
2) числитель и знаменатель многоэтажной дроби умножить на НОК их знаменателей, в результате записать числитель и знаменатель дроби целыми числами;
3) выполнить действия над целыми числами.
Образец: переход к натуральным числам
= 
1) 
3) 
= 
= 
2) 
4) 
Пример (1) проще решить по действиям.
В примере (2) НОК находят устно, расставляют доп. множители, выполняют действия с натуральными числами по условию.
1. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
2. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
3. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
4. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
6. 1) 1 + 
2) 1 + 
3) 
4) 
5) 