Многократно измеряют некоторую физическую величину вероятность того что при считывании показаний
Случайные события
1). Вероятность события А – 0,77, В – 0,95. Найти наименьшую возможную вероятность события АВ
Решение. 
2). Вероятность события А – 0,74Ю В – 0,69, С – 0,72. Найти наименьшую возможную вероятность АВС.
Решение.
3). Независимо друг от друга m=10 человек садятся в поезд, содержащий n=16 вагонов. Найти вероятность Р того, что все они поедут в разных вагонах.
Решение. 
. Ответ: 
4). В партии из s=21 деталей имеется n=3 стандартных. На удачу отобраны m=8 деталей. Найдите вероятность P того, что среди отобранных деталей ровно к=2 стандартных.
Решение. 
5). Компания из n=13 человек рассаживается в ряд случайным образом. Найдите вероятность Р того, что между двумя определенными людьми окажутся ровно к=2 человек.
Решение. 
6). В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны P1 = 11/50, P2=3/4, P3=69/100. Найдите вероятность Р того, что тока в цепи не будет.
Решение. 
7). Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при к=4 выстрелах равна р=18/25. Найдите Р попаданий при одном выстреле.
Решение. 
8). Многократно измеряют некоторую физическую величину. Вероятность того, что при считывании показаний прибора допущена ошибка, равна р=3/10. Найдите наименьшее число n измерений, которые необходимо произвести, чтобы с вероятностью Р>a=43/50 можно было ожидать, что хотя бы один результат измерений будет неверным.
Решение. 
9). В группе учатся n=18 юношей и 10 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три студента. Найдите вероятность Р того, что все дежурные окажутся юношами.
Решение. 
10). Имеется 29 экзаменационных билетов, на каждом из которых напечатано условие некоторой задачи. В n=15 билетах задачи по статистике, а в остальных m=14 билетах задачи по теории вероятностей. Трое студентов выбирают наудачу по одному билету. Найдите вероятность Р того, что хотя бы одному из них не достанется задачи по теории вероятностей.
Решение
11). В урну, содержащую n=20 шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность Р того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном количестве белых шаров в урне.
Решение. 
12). В ящике содержатся n1=4 деталей, изготовленных на заводе №1, n2=1 деталей – на заводе №2 и n3=2 деталей – на заводе №3. Вероятности изготовления брака на заводах с номерами 1,2 и 3 соответственно равны p1=3/20, p2=41/50, p3=47/100. Найдите вероятность Р того, что извлеченная наудачу деталь окажется качественной.
Решение. 
13). Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике n=12 белых шаров, во втором – m=4 белых и n-m=8 черных шаров, в третьем – n=12 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность Р того, что шар вынут из второго ящика.
Решение. 
14). В среднем из 100 клиентов банка n=45 обслуживаются первым операционистом и 55 – вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом составляет р1=49/50 и р2=16/25 соответственно для первого и второго служащих банка. Найдите вероятность Р полного обслуживания клиента первым операционистом.
Решение. 
15). В ящике n=7 белых и m=3 черных шаров. Найдите вероятность Р того, что из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. (вынутый шар в урну не возвращается).
Решение. 
16). Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р=47/50. Сделано n=7 выстрелов. Найдите вероятность Р того, что в цель попали менее трех раз.
Решение. 
17). Отрезок длины 5 поделен на две части длины а=4 и b=1 соответственно, n=9 точек последовательно бросают случайным образом на этот отрезок. Найдите вероятность Р того, что не ровно m=3 из 9 точек попадут на отрезок длины 4.
Решение. 
18). Вероятность попадания стрелком в цель равна р=1/17. Сделано n=170 выстрелов. Определите наивероятнейшее число М попаданий в цель.
Решение. 
19). Вероятность выпуска бракованного изделия равна р=3/25. Найдите вероятность Р того, что среди n=106 выпущенных изделий ровно к=93 изделий без брака.
Решение. 
20). Вероятность выпуска бракованного изделия равна р=23/50. Найдите вероятность Р того, что среди n=104 выпущенных изделий будет хотя бы одно, но не более s=47 бракованных изделий.
Решение. 
Дискретные случайные величины
1). Независимые дискретные случайные величины X1, X2,….X21 принимают только значения 1 и 4. Найти наиболее вероятное значение суммы S=X1+X2+…+X21, если Р(X1=4)=3/5.
Решение. 
2) Независимые дискретные случайные величины X1, X2,….X18 принимают только значения 2 и 4. Найти P(X1+X2,….+X18=42), если P(X1=4)=0.1
Решение. 
3). Независимые дискретные случайные величины Х, Y принимают только целые значения: Х от 1 до 13 с вероятностью 1/13, У от 1 до 20 с вероятностью 1/20. Найти вероятность Р(Х+У=26)
Решение. 
4). Случайная величина Х принимает только целые значения 1,2,…29. При этом вероятности возможных значений Х пропорциональны значениям, Р(Х=к)=ск. Найти с и Р(X>3).
Решение. 
5). Независимые случайные величины Х1,…Х4 принимают только целые значения от 0 до 6 с вероятностью 1/7. Найти Р(Х1+…+Х4=2)
Решение. 
6). Независимые случайные величины Х, Y, Z принимают только целые значения: Х – от 0 до 7 с вероятностью 1/8, У – от 0 до 9 с вероятностью 1/10 и Z – от 0 до 11 с вероятностью 1/12. Найти P(X+Y+Z=5).
Решение. 
7). Независимые случайные величины Х, У принимают только целые значения: Х от 1 до 15 с вероятностью 1\15, У – от 1 до 5 с вероятностью 1/5. Найти Р(X 0)
Решение. 
Решение. 
17). Распределение дискретной с. в. Х задано таблицей.
Решение. 
5). С. в. Х равномерно распределена на отрезке [-9,10]. Найти Р(Х2>9)
Решение. 
6). С. в. Х, У независимы и равномерно распределены на отрезках: Х – на [0,3], Y – [0,2]. Найти Р(X _10.
Решение. 
19). Для нормальной с. в. Х с М[X]=11 и D[X]=9 найти Р(X>8.3).
Решение. 
20). Для нормальной с. в. Х с М[X]=28 и D[X]=64 найти Р(X 1.2)
Решение. 
24). Для нормальной случайной величины Х известно, что M[X]=24.3 и P(X
Брошены две игральные кости Найти вероятность того
Главная > Документ
| Информация о документе | |
| Дата добавления: | |
| Размер: | |
| Доступные форматы для скачивания: |
Найти вероятность 
по данным вероятностям: 
, 
, 
.
Используя тождество 
найдём
(*)
Из равенства 
выразим 
:
(**)
Подставив (**) в (*), получим
Задание: Найти вероятность 
по данным вероятностям:
Решение: Используя тождество 
, найдем 
:
Подставив в последнее равенство 
(см. задачу 73), получим:
.
Наступление события 
необходимо влечёт наступление события 
. Доказать, что 
По условию, наступление события АВ влечёт наступление события, поэтому. 
(*)
Используя тождества 
, 
, 
и учитывая неравенство (*), получим
Воспользуемся тождествами: P(AB) = P(A)*PA(B), P(B) = 1 – P(B).
получим P(A) + 1 – P(B) – P(A)*PA(B) ≤1, или
Разделив обе части неравенства на положительное число P(A), окончательно имеем:
По условию, наступление события 
необходимо влечет наступление события 
, следовательно (см. задачу 48), 
. Таким образом, если будет доказано неравенство 
(*), то будет справедливо и неравенство, указанное в условии задачи.
Докажем неравенство (*). Воспользуемся тождествами:
(**)
Из трех событий 
,
, 
можно составить следующую полную группу «сложных событий», состоящих из появлений и непоявлений рассматриваемых трех событий:
-появились все три события,
,
,
, 
, 
– появилось одно событие, а два других не появились,
– не появились все три события.
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице, поэтому
. (***)
Подставив (**) в (*) и используя (***), после упрощений получим
Учитывая, что каждое слагаемое в квадратной скобке неотрицательно, окончательно получим
.
Вывести теорему сложения вероятностей для трех совместных событий:
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).
Предполагается, что для двух совместных событий теорема сложения уже доказана:
P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2).
Сведем сумму трех событий к сумме двух событий: А + В + С = (А + В) + С.
Воспользуемся теоремой сложения вероятностей двух событий:
Применим теорему сложения вероятностей двух совместных событий дважды (для событий А и В, а также для событий АС и ВС):
Учитывая, что Р[(АС)(ВС)] = Р(АВС), окончательно получим P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) – P ( AB ) – P ( AC ) – P ( BC ) + P ( ABC ).
Даны три попарно независимых события A, B, C, которые, однако, все три вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность p, найти наибольшее возможное значение p.
Так как события попарно независимы и 
, также верно 
.
Обозначим 
. Выразим 
через 
, пользуясь теоремой сложения для трёх несовместных событий:
.
Решив это уравнение относительно , получим 
.
В таком случае достигает максимального значения 
(при 
).
Если , то, на первый взгляд, 
. Покажем, что допущение 
приводит к противоречию. Действительно, при условии, что 
; или, так как 
, при условии, что 
. Отсюда 
.
Итак, наибольшее возможное значение .
То есть 
=0,1, 
=0,15, 
=0,2
=0,9, 
=0,85, 
=0,8
Тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один элемент
То есть нужно использовать формулу появления хотя бы одного события (P(A)=1-*…*
)
Значит, искомая вероятность равна 0,388
(P(A)=1-**=1-(0,9*0,85*0,8)=0,388)
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Решение: Вероятность того, что откажет 1й элемент, 2й элемент или оба, обратна вероятности того, что ни один не откажет, т.е.:
Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.
Вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку равна:
Вероятность успешного выполнения упражнения
для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены
выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает
по две попытки. Выполнивший упражнение первым полу-
получает приз. Найти вероятность получения приза спорт-
Решение. Для вручения приза достаточно, чтобы хотя бы
одна из четырех попыток была успешной. Вероятность успешной
Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.
Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие А) равна
Р(А)=1-q3, где q — вероятность промаха. По условию, P (A) = 0,875. Следовательно,
0,875=1—q3, или q3 = 1—0,875 = 0,125.
Отсюда q= 
=0,5.
Искомая вероятность р = 1— q = 1—0,5 = 0,5.
Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие А) равна
Р(А)=1-q4, где q — вероятность промаха. По условию, P (A) = 0,9984. Следовательно,
0,9984=1—q4, или q4 = 1—0,9984= 0,0016.
Отсюда q= 
=0,2.
Искомая вероятность р = 1— q = 1—0,2 = 0,8.
Многократно измеряют некоторую физическую величину. Вероятность того, что при считывании показаний прибора допущена ошибка, равна 
. Найти наименьшее число измерений, которое необходимо произвести, чтобы с вероятностью 
можно было ожидать, что хотя бы один результат измерений окажется неверным.
Вероятность хотя бы одной ошибки из 
считываний равна 
, где 
, и 
— вероятность ошибки при одном считывании. Из условия 
получим:
; 
; 
; 
Следовательно, искомое число измерений равно 
, где 
– целая часть числа 
В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется
белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е. P(B1) = P(B2) = P(B3) =
Вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, 
. Если в урне был один белый шар, то 
. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что в урне было два белых шара 
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:
Ответ: P(A)=
В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров по цвету.
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:
В вычислительной лаборатории имеется шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 
; для полуавтомата эта вероятность равна 
. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
Обозначим через 
событие – произведен расчет на наудачу выбранной машине. Возможны следующие гипотезы в данном эксперименте: 
— расчет производится на клавишном автомате, 
— расчет производится на полуавтомате.
Так как имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата, то вероятность того, что произойдет гипотеза , равна 
. А вероятность того, что произойдет гипотеза , равна 
.
Условная вероятность того, что клавишный автомат не выйдет из строя, равна , т.е 
. А условная вероятность того, что полуавтомат не выйдет из строя, равна , т.е 
.
Искомая вероятность того, что до окончания эксперимента машина не выйдет из строя, находим по формуле полной вероятности:
В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
A – стрелок поразит мишень
В1 – взятая наудачу винтовка снабжена оптическим прицелом
В2 – взятая наудачу винтовка без оптического прицела
Следовательно, по условию, вероятность события А при условии события В1: 
, а вероятность события А при условии события В2: 
.
В свою очередь вероятность события В1: 
, т.к. всего винтовок 5, а благоприятствуют событию 3 винтовки. Аналогично 
.
Пользуясь формулой полной вероятности 
, получим:
Задание: В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей —на заводе № 2 и 18 деталей— на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах N° 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0.6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
Решение: Обозначим через A событие – извлечена деталь отличного качества. Возможно три варианта гипотезы: 
– извлечена деталь отличного качества, изготовленная заводе №1; 
– извлечена деталь отличного качества, изготовленная заводе №2; 
– извлечена деталь отличного качества, изготовленная заводе №3. По условию 
. Найдём вероятности того, что извлечённая деталь изготовлена на заводе №1, №2, №3.
где 
— общее число изготовленных на 3-х заводах деталей, 
– количество деталей изготовленных, соответственно, на заводах №1, 2, 3.
Искомая вероятность вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества находится по формуле полной вероятности:
В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Обозначим через 
событие – извлечён белый шар. Возможны следующие гипотезы:
— белый шар взят из первой урны,
— белый шар взят из второй урны.
Поскольку всего имеется две гипотезы, причём по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице(т.к. они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 
, т.е. 
.
Условная вероятность того, что белый шар будет извлечён из первой урны равна: 
=
Условная вероятность того, что белый шар будет извлечён из второй урны равна: 
=
По формуле полной вероятности находим:
В каждой из трех урн содержится 6 черных 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
A1 – вероятность того, что из первой урны извлечен белый шар.
A2 – вероятность того, что из первой урны извлечен черный шар.
B1 – вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, после того как из первой урны переложили во вторую урну белый шар.
B2 – вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, после того как из первой урны переложили во вторую урну черный шар.
C1 – вероятность того, что из второй корзины будет извлечен белый шар.
C2 – вероятность того, что из второй корзины будет извлечен черный шар.
D1 – вероятность того, что из третьей урны извлечен белый шар, после того как из второй урны переложили в втретью урну белый шар.
D2 – вероятность того, что из третьей урны извлечен белый шар, после того как из второй урны переложили в втретью урну черный шар.
E – вероятность того, что из третьей урны будет извлечен белый шар.