Многообразие что это такое

Значение слова «многообразие»

1. Проявление чего-л. единого по своей сущности в различных видах и формах. Многообразие жизни. Многообразие растительного и животного мира. □ Нигде, может быть, многосторонний гений Шекспира не отразился с таким многообразием, как в Фальстафе, коего пороки, один с другим связанные, составляют забавную, уродливую цепь. Пушкин, Table-talk.

2. Разнообразие, обилие чего-л. различного. Дорога с ее многообразием запахов — людских, конских, машинных — сильно волновала их [коней]. А Кожевников, Живая вода.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

, иными словами, пространство, локально сходное с евклидовым. Число

называется размерностью топологического многообразия. Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли: возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например карту полушария, но невозможно составить единую (без разрывов) карту всей её поверхности.

Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Тем не менее, первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века.

Обычно рассматриваются так называемые гладкие многообразия, то есть те, на которых есть выделенный класс «гладких» функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того, чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — риманова метрика.

В классической механике основным многообразием является фазовое пространство. В общей теории относительности четырёхмерное псевдориманово многообразие используется как модель для пространства-времени.

МНОГООБРА’ЗИЕ, я, мн. нет, ср. (книжн.). Множественность проявлений чего-н., форм обнаружения чего-н. М. форм в природе. М. явлений.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

многообра́зие

1. проявление чего-либо единого по своей сущности в различных видах и формах ◆ Оттого ли, что жизнь стала сложнее и пестрее, оттого ли, что мозг пресыщен яркостью рекламных впечатлений, память читателя может запомнить в наши дни о каждом отдельном человеке только одну черту, одно пятно, один штрих; публика инстинктивно протестует против энциклопедистов, против всякого многообразия в индивидуальности. М. А. Волошин, «И. Ф. Анненский — лирик», 1910 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Кант на каждом шагу утверждает, что знание есть синтез многообразия. Н. О. Лосский, «Обоснование интуитивизма», 1906–1908 г (цитата из НКРЯ)

2. разнообразие, обилие чего-либо различного ◆ Хотя была уже середина августа, трава в степи не была выжжена солнцем; здесь, однако, не было того многообразия полевых цветов, которые придают такую прелесть степи в Восточной и Южной России, где с наслаждением вдыхаешь бодрящий, свежий степной воздух. И. Ф. Бларамберг, «Воспоминания», 1872 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Потом всё это многообразие звуков стянулось и растворилось в звонком и сладком пении. Ф. К. Сологуб, «Капли крови», „Навьи чары“, 1905 г. (цитата из НКРЯ)

Источник

МНОГООБРАЗИЕ

Смотреть что такое «МНОГООБРАЗИЕ» в других словарях:

многообразие — многообразие … Орфографический словарь-справочник

многообразие — разнообразие, разнообразность; полиморфия, многоликость, многообразность. Ant. однообразие Словарь русских синонимов. многообразие 1. многоликость 2. см. разнообразие Словарь синонимов русского язы … Словарь синонимов

МНОГООБРАЗИЕ — математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п., поверхности без самопересечения, краев и т. п.) … Большой Энциклопедический словарь

многообразие — МНОГООБРАЗНЫЙ, ая, ое; зен, зна. Существующий во многих видах и формах. Многообразные явления. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

многообразие — разнообразие ряд множество модификация разновидность — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы… … Справочник технического переводчика

многообразие — • большое многообразие • великое многообразие • исключительное многообразие • невиданное многообразие • огромное многообразие • поразительное многообразие • редкое многообразие • удивительное многообразие … Словарь русской идиоматики

МНОГООБРАЗИЕ — геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений… … Математическая энциклопедия

многообразие — я; ср. Проявление чего л. единого по своей сущности в различных видах и формах; разнообразие чего л. М. жизни. М. растительного и животного мира. М. минералов. М. запахов. М. рассматриваемых вопросов. * * * многообразие математическое понятие,… … Энциклопедический словарь

Источник

многообразие

Смотреть что такое «многообразие» в других словарях:

многообразие — многообразие … Орфографический словарь-справочник

многообразие — разнообразие, разнообразность; полиморфия, многоликость, многообразность. Ant. однообразие Словарь русских синонимов. многообразие 1. многоликость 2. см. разнообразие Словарь синонимов русского язы … Словарь синонимов

МНОГООБРАЗИЕ — МНОГООБРАЗИЕ, многообразия, мн. нет, ср. (книжн.). Множественность проявлений чего нибудь, форм обнаружения чего нибудь. Многообразие форм в природе. Многообразие явлений. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

МНОГООБРАЗИЕ — математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п., поверхности без самопересечения, краев и т. п.) … Большой Энциклопедический словарь

многообразие — МНОГООБРАЗНЫЙ, ая, ое; зен, зна. Существующий во многих видах и формах. Многообразные явления. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

многообразие — разнообразие ряд множество модификация разновидность — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы… … Справочник технического переводчика

многообразие — • большое многообразие • великое многообразие • исключительное многообразие • невиданное многообразие • огромное многообразие • поразительное многообразие • редкое многообразие • удивительное многообразие … Словарь русской идиоматики

МНОГООБРАЗИЕ — геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений… … Математическая энциклопедия

Источник

Многообразие

Многообра́зие — топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство . Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. Возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например карту полушария, но невозможно составить единую (без разрывов) карту всей её поверхности.

Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Тем не менее, первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века.

Обычно рассматриваются так называемые гладкие многообразия, то есть те, на которых есть выделенный класс «гладких» функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того, чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — риманова метрика.

Содержание

Топологические многообразия

-мерное топологическое многообразие без края — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству , то есть -мерного Евклидова пространства.

-мерное топологическое многообразие — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству замкнутого полупространства в (считаем открытыми также объединения открытых подмножеств с пересечением их границы и граничной гиперплоскости).

Комментарии

Гладкие многообразия

Гладкая структура, определённая ниже, обычно возникает в почти всех приложениях и при этом делает многообразие гораздо удобней в работе.

Начинаем с топологического многообразия без границы. Назовём картой гомеоморфизм из открытого множества на открытое подмножество .

Набор карт, покрывающих всё , называется атласом.

Если две карты и накрывают одну точку в , то их композиция задаёт отображение «склейки» из открытого множества в открытое множество . Если все отображения склейки из класса (то есть раз непрерывно дифференцируемых функций), то атлас называется атласом (можно также рассматривать или , что соответствует бесконечно дифференцируемым и аналитическим склейкам).

Пример: сфера может быть покрыта -атласом из двух карт на дополнениях северного и южного полюсов со стереографическими проекциями по отношению к этим полюсам.

Два атласа задают одну -гладкую структуру, если их объединение является -атласом.

Для таких многообразий можно ввести понятия касательного вектора, касательного и кокасательного пространств и расслоений.

Для заданной -гладкой структуры можно найти -гладкую структуру, задаваемую новым -атласом, который задаёт ту же -гладкую структуру. Более того, все такие полученные таким образом многообразия являются -диффеоморфными. Поэтому часто под гладкой структурой понимают -гладкую структуру.

Не каждое топологическое многообразие допускает гладкую структуру. Примеры таких «шершавых» многообразий появляются уже в размерности четыре. Также существуют примеры топологических многообразий, которые допускают несколько различных гладких структур. Первый такой пример нестандартной гладкой структуры, так называемая сфера Милнора, был построен Милнором на семимерной сфере.

Примеры

Классификация многообразий

Каждое связное одномерное многообразие без границы гомеоморфно вещественной прямой или окружности

Гомеоморфный класс замкнутой связной поверхности задаётся её Эйлеровой характеристикой и ориентируемостью. (Если ориентируемо, то это сфера с ручками (англ.), если нет, то связная сумма нескольких копий проективной плоскости)

Классификация замкнутых трёхмерных многообразий следует из гипотезы Тёрстона, которая была недавно доказана Перельманом.

Если размерность больше трёх, то классификация невозможна; более того, невозможно построить алгоритм, который определяет, является ли многообразие односвязным. Тем не менее существует классификация всех односвязанных многообразий во всех размерностях ≥ 5.

Можно также классифицировать гладкие многообразия.

Дополнительные структуры

Часто гладкие многообразия оснащают дополнительными структурами. Вот список наиболее часто встречаемых дополнительных структур:

Источник

Многообразие

Смотреть что такое «Многообразие» в других словарях:

многообразие — многообразие … Орфографический словарь-справочник

многообразие — разнообразие, разнообразность; полиморфия, многоликость, многообразность. Ant. однообразие Словарь русских синонимов. многообразие 1. многоликость 2. см. разнообразие Словарь синонимов русского язы … Словарь синонимов

МНОГООБРАЗИЕ — МНОГООБРАЗИЕ, многообразия, мн. нет, ср. (книжн.). Множественность проявлений чего нибудь, форм обнаружения чего нибудь. Многообразие форм в природе. Многообразие явлений. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

МНОГООБРАЗИЕ — математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п., поверхности без самопересечения, краев и т. п.) … Большой Энциклопедический словарь

многообразие — МНОГООБРАЗНЫЙ, ая, ое; зен, зна. Существующий во многих видах и формах. Многообразные явления. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

многообразие — разнообразие ряд множество модификация разновидность — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы… … Справочник технического переводчика

многообразие — • большое многообразие • великое многообразие • исключительное многообразие • невиданное многообразие • огромное многообразие • поразительное многообразие • редкое многообразие • удивительное многообразие … Словарь русской идиоматики

МНОГООБРАЗИЕ — геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений… … Математическая энциклопедия

многообразие — я; ср. Проявление чего л. единого по своей сущности в различных видах и формах; разнообразие чего л. М. жизни. М. растительного и животного мира. М. минералов. М. запахов. М. рассматриваемых вопросов. * * * многообразие математическое понятие,… … Энциклопедический словарь

Источник