Множества а в и с таковы что а в с

Информатика online

Теория и практика решения олимпиадных задач и задач ЕГЭ по информатике. Теория информатики от 5 до 11 класса.

четверг, 24 ноября 2011 г.

Отношения между множествами и операции над ними

Отношения между множествами

Говорят, что множество А строго включено в множество B, если А включено в B и не равно ему:
A ⊂ B
В этом случае множество B строго включает в себя множество А; А является собственным множеством множества В.

Собственное множество — множество, которое является частью другого и не равно ему. В обоих случаях принято называть множество А подмножеством множества В; в свою очередь, множество В будет надмножеством множества А.

Говорят, что множества не пересекаются, если у них нет общих элементов.

Операции над множествами

Если имеется два множества или более, то с ними можно выполнить ряд операций. К таким операциям относятся:
— пересечение,
— объединение,
— дополнение,
— разность,
— симметрическая разность.
Все перечисленные операции, кроме дополнения, являются бинарными, т. е. выполняющимися с двумя множествами. Дополнение — унарная операция (выполняемая с одним множеством), которая, однако, может быть осуществлена лишь с учётом всех других множеств, предоставленных по условию задачи: дополнение всегда осуществляется до конкретного множества.
При этом пересечение, объединение и дополнение являются базовыми операциями, через которые могут быть выражены остальные.

Пересечение множеств (обозначается X ∩ Y ) — множество, включающее в себя элементы, которые одновременно входят в состав каждого из исходных множеств.

Можно сказать, что пересечение содержит элементы, общие для обоих множеств.

Операция пересечения коммутативна и ассоциативна:
1. X ∩ Y = Y ∩ X;
2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;

Очевидно, что мощность пересечения не превосходит наименьшую мощность пересекающихся множеств:
| X ∩ Y| ≤ min (|X|,|Y|)

Объединение множеств (обозначается X ∪ Y ) — множество, включающее в себя все элементы, входящие в состав хотя бы одного из исходных множеств.

Операция объединения также коммутативна и ассоциативна.

Объединением множеств является множество, включающее в себя каждое из объединяемых множеств

Дополнение множества (обозначается ∁ Y или Ẏ ) — другое множество, включающее в себя все элементы, не входящие в состав исходного.

Несмотря на то, что операция дополнения является унарной, наличие другого множества учитывается.
Понятно, что исходное множество Y должно являться частью другого ( X ), на котором можно выбирать не принадлежащие Y элементы. Если множества Y и X совпадают, то дополнением Y является пустое множество.

Из математической записи дополнения напрямую не следует, до какого именно множества дополняется указанное. Cчитается, что дополнение всегда выполняется до универсума.

Источник

Отношения между множествами.

Вместо кругов Эйлера определенные множества изображают любые другие замкнутые фигуры, и такую иллюстрацию называют диаграммами Венна.

Для рассуждений, связанных с множествами, будем использовать язык диаграмм Эйлера Венна.

Область, представляющую то подмножество, которое нас интересует, отметим штрихами.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то их называют непересекающимися. Диаграммы Эйлера-Венна для этого случая представлены на рисунке.

Пример 1.6. Приведем примеры множеств, находящихся диаграммах.

Решение. 1. Для случая, представленного на рисунке а, можно рассмотреть:

2.Примерами множеств, представленных на диаграмме б, могут служить:

3.Диаграммы Эйлера-Венна будут иметь вид, представленный на рисунке в, если, например:

Пример 1.7. О каких множествах говорится в утверждении «Все студенты нашей группы участвовали в праздничной демонстрации»? Выделите эти множества и установите, в каких отношениях они находятся.

4. Операции над множествами.

5. Свойства операций над множествами.

Источник

Лекция 2. Отношение между множествами.

Лекция 2. Отношения между множествами.

Между двумя множествами существует пять видов отношений.

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В ⊂ А)

Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.

Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами или диаграммами Эйлера-Венна.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса. Например, на множестве натуральных чисел заданы два свойства: «быть кратным 2» и «быть кратным 3». При помощи этих свойств в множестве N можно выделить два подмножества А и В. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 6). Тогда в первый класс войдут числа, кратные 2 и 3, во второй – кратные 2, но не кратные 3, в третий – кратные 3, но не кратные 2, в четвертый – не кратные 2 и не кратные 3.

П р и м е р 1. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:

а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;

б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?

Р е ш е н и е. а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.

б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.

Задания для самостоятельной работы по теме:

Приведите примеры множеств А, В, С, если отношения между ними таковы:

2. Образуйте все подмножества множества букв в слове «крот». Сколько подмножеств получилось?

5. Имеется множество блоков, различающихся по цвету (красные, желтые, зеленые), форме (круглые, треугольные, прямоугольные), размеру (большие, маленькие). На сколько классов разбивается множество, если в нем выделены подмножества: А – круглые блоки, В – зеленые блоки, С – маленькие блоки? Сделайте диаграмму Эйлера и охарактеризуйте каждый класс.

6. Известно, что А – множество спортсменов класса, В – множество отличников класса. Сформулируйте условия, при которых: а) А ∩В=Ø

7. Пусть Х= < x N/ 1 x 15>. Задайте с помощью перечисления следующие его подмножества:

А – подмножество всех четных чисел;

В – подмножество всех нечетных чисел;

С – подмножество всех чисел, кратных 3;

D – подмножество всех чисел, являющихся квадратами;

Источник

Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между двумя множествами и изображение их при помощи кругов Эйлера

Множество – это основное неопределяемое понятие в математике.

– это группа объектов как единое целое.

Обозначение: A, B, C, D, E, …

Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается Ø.

N – мн. натуральных ч.

Q – мн. рациональных ч.

J – мн. иррациональных ч.

R – мн. действительных ч.

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами множества.

Обозначение: a, b, c, d, e, …

Множества бывают конечные и бесконечные.

Способы задания множеств.

Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

1.Перечисление всех его элементов

2.Использую характеристическое свойство.

Характеристическое свойство – такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

В – множество двузначных чисел.

Если множества заданы перечислением элементов, то достаточно перечислить их общие элементы.

Характеристическое свойство множества А ᴖ В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Свойства (ко 2 и 3 вопросу):

Для любых двух множеств А и В справедливо равенство

А ᴖ В = < >А ᴗ В =

В ᴖ А = < >=> А ᴖ В = В ᴖ А В ᴗ А = < >=>А ᴗ В = В ᴗ А

Для любых трех множеств А, В и С справедливо равенство

(А ᴗ В) ᴖ С = (А ᴖ С) ᴗ (В ᴖ С) (А ᴖ В) ᴗ С = (А ᴗ С) ᴖ (В ᴗ С)

Объединение множеств А и В называется множество, содержащие те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или В.

Если множество, заданное перечислением его элементов, то чтобы получить объединение множеств надо перечислить элементы множества А и добавит из В недостающие элементы.

Если множества заданы указанием характеристического свойства, то используется союз «или».

3. Операции над множествами: разность множеств, дополнение к подмножеству, декартово произведение. Законы этих операций

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В, при условии, что В является подмножеством множества А.

Порядок выполнения действий с множествами:

3-объединение или разность

Доказательства законов с помощью кругов Эйлера.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар 1-ая компонента которых принадлежит множеству А, а 2-ая – множеству В.

Способы задания декартово выражения

2.Указанием характеристического свойства

5) Множество А – интервал, множество В = R 6)A = R, B = R

1 0 А×В = В×А

2 0 (А×В)×С = А×(В×С) => ассоциативный закон не выполняется

3 0 Дистрибутивный закон декартово произведение относительно объединения

(АᴗВ)×С =

Дистрибутивный закон декартово произведение относительно вычитания

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 47 ; Нарушение авторских прав

Источник

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

Об отношениях между множествами судят по количеству общих элементов этих множеств.

Отметим две возможности.

I. Множества А и В не имеют общих элементов. На диаграммах Эйлера-Венна нет точек (элементов), которые принадлежали бы одновременно А и В (рисунок 1).

II. Множества А и В имеют общие элементы, т.е. существуют элементы, которые одновременно принадлежат и множеству А, и множеству В. При этом возможны три случая.

1. Не все элементы множества А принадлежат множеству В, и не все элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае говорят, что множества А и В находятся в отношении пересечения. Кругами Эйлера это отношение изображается так, как показано на рисунке 2.

2. Все элементы множества В принадлежат множеству А, но множество А может содержать элементы, не принадлежащие множеству В. Множество В является подмножеством множества А. В этом случае говорят, что множества В и А находятся вотношении включения. Кругами Эйлера такое отношение изображено на рисунке 3.

3.Все элементы множества А принадлежат множеству В, и все элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае множества равны или совпадают (рисунок 4).

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Объединение множеств

Пусть даны два множества: A = <15, 30, 45 60, 75>– множество двузначных чисел, кратных 15; B = <18, 36, 54, 72, 90>–множество двузначных чисел, кратных 18.

Образуем новое множество, состоящее из элементов этих множеств. Полученное множество <15, 18, 30, 36, 45, 60, 72, 75, 90>называется объединением множеств А и В. Число 90 записали один раз, поскольку в записи множеств элементы не должны повторяться.

Определение.Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному их этих множеств.

Объединение множеств А и В обозначается символом .

Аналогично определяется объединение трех и более множеств.

Определение объединения множеств А и В можно записать в виде:

= < или >.

На рисунке изображено объединение множеств А и В с помощью кругов Эйлера. Вся заштрихованная область – это множество А В.

Пересечение множеств

Пусть даны два множества:

A = <1, 2, 3, 4, 6, 12>– множество натуральных делителей числа 12;

B = <1,3, 6, 9, 18>– множество натуральных делителей числа 18.

Образуем множество, состоящее из общих элементов этих множеств. Полученное множество <1, 3, 6>называют пересечением множеств А и В.

Определение.Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее только из тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В одновременно.

Пересечение множеств А и В обозначают символом .

Аналогично определяется пересечение трех и более множеств.

Определение пересечения множеств можно записать в виде:

= < и >.

Если множества А и В изобразить кругами Эйлера, то пересечению будет соответствовать заштрихованная часть.

Разность двух множеств

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают символом А В.

Определение разности можно записать в таком виде:

Если множества А и В изобразить кругами Эйлера, то разности множеств соответствует заштрихованная часть.

Если множество В является подмножеством множества А, то разность множеств А и В называется дополнением множества В до множества А.

ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА

Если А – конечное множества, то в ряде случаев можем подсчитать число элементов, которые составляют множество А.

Это число обозначают так: n(A).

A = <12, 25, 47, 84>, n(A) = 4, т.е. множество А содержит 4 элемента.

Если заданы конечные множества А и В, не имеющие общих элементов, то число элементов в их объединении определяют по формуле:

Если заданы конечные множества А и В, имеющие общие элементы, то число элементов в их объединении подсчитывают по формуле:

Формула для числа элементов объединения трех множеств выглядит несколько сложнее:

Используя эту формулу, можно проще решить некоторые задачи.

Пример. В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким из трех видов спорта: легкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют спортивные разряды по легкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Сколько школьников из этой команды имеют разряды по всем видам спорта, если по легкой атлетике и гимнастике разряды имеют 4 человека, по легкой атлетике и плаванию – 2 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека?

Пусть А – множество учащихся, имеющих разряды по легкой атлетике, В – множество учащихся, имеющих разряды по гимнастике, и С – множество школьников, имеющих разряды по плаванию.

По условию задачи имеем:

Надо найти .

По формуле для числа элементов в объединении трех множеств имеем:

Таким образом, из 20 школьников, участвующих в спортивных соревнованиях, имеет разряды по всем видам спорта только один человек.

Рассмотрим следующий пример.

В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47знают английский язык, 35— немецкий язык и 23 — оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языков?

Для решения этой задачи надо разбить весь коллектив сотрудников института на части, не имеющие общих элементов. Первую из них составят те, кто знает только английский язык, вторую — те, кто знает только немецкий язык, третью — те, кто знает оба языка, и четвертую — те, кто не знает ни одного, ни другого языка. Нам дано, что третья часть состоит из 23 человек. Но так как английский язык знают 47 человек, то только английским языком владеют 47-23=24 человека. Точно так же только немецким языком владеют 35-23=12 человек. Отсюда следует, что общее число людей, владеющих одним из этих языков, равно 23+24+12=59 человек. А так как всего в институте работают 67 человек, то на долю последней части приходится 67-59=8 человек. Итак, 8 человек не знают ни английского, ни

Полученный ответ можно записать в виде

Но 24 мы получили, вычитая 23 из 47, а 12 — вычитая 23 из 35. Поэтому

8 = 67-23-(47-23)-(35-23) = 67-47-35+23.

Теперь видна закономерность — из общего числа сотрудников вычитается число знающих английских язык 24 и число знающих немецкий язык. При этом некоторые сотрудники попадают в оба списка и оказываются «вычтенными» дважды. Это как раз те полиглоты, которые знают оба языка. Прибавляя их число, мы получаем число лиц, не знающих ни одного из этих языков.

Теперь видна закономерность: из общего числа сотрудников вычитается число знающих английских язык 24 и число знающих немецкий язык. При этом некоторые сотрудники попадают в оба списка и оказываются «вычтенными» дважды. Это как раз те полиглоты, которые знают оба языка. Прибавляя их число, мы получаем число лиц, не знающих ни одного из этих языков.

1.7. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренных примерах мы имели дело с упорядоченными парами.

Пары (a; b) и (c; d) равны в том случае, если a = c и b = d.

В упорядоченной паре (a; b) может быть, что a = b. Так запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и из элементов двух множеств. Пусть A = <1, 2, 3>; B = <3; 5>. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая – множеству В. Если мы перечислим все такие пары, то получим множество: <(1; 3), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3; 5)>.

Видим, что имея два множества А и В, получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называют множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А×В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так:

Найти декартово произведение множеств А и В, если

Решение. по определению декартова произведения, образуем все пары, первая компонента которых выбирается из множества А, вторая – из В:

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов.

Упорядоченные наборы называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит.

Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3; (8; 9; 2; 6; 3; 5; 7) – кортеж длины 7.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще n множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств А₁, А₂,…, А_n называют множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А₁, вторая – множеству А₂,…, n-я – множеству А_n.

Пример. Даны множества A = <2; 3>, B = <3; 4; 5>, C = <6; 7>.

Решение. Элементами множества А×В×С будут кортежи длины 3 такие, что первая компонента принадлежит множеству А, вторая – множеству В, третья – множеству С.

Если в множестве А содержится a элементов, а в множестве В – b элементов, то в декартовом произведении множеств А и В содержится ab элементов, т.е.

Правило распространяется на случай k множеств, т.е.

Например, если в множестве А содержится 3 элемента, в множестве И – 4 элемента, в множестве С – 5 элементов, то в их декартовом произведении будет содержаться 3 4 5 = 60 упорядоченных наборов из трех элементов.

Полученные формулы можно применять при решении задач.

Задача 1. У Маши 3 различных юбки и 4 различных кофты. Сколько различных комплектов, состоящих из юбки и кофты, она может составить?

Решение. Пусть А – множество юбок у Маши, В – множество кофт у нее. По условию задачи n(A) = 3, n(B) = 4. Требуется найти число возможных пар, образованных из элементов множеств А и В, т.е. n(A×B). Но согласно правилу n(A×B) = n(A) ∙ n(B) = 3 ∙ 4 = 12. Таким образом, из 3 юбок и 4 кофт Маша может составить 12 различных комплектов.

Задача 2. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 5; 4 и 7?

Решение. Запись любого двузначного числа состоит из двух цифр и представляет собой упорядоченную пару. В данном случае эти пары образуются из элементов множества A = <5; 4; 7>. В задаче требуется узнать число таких пар, т.е. число элементов в декартовом произведении A×A. Согласно правилу n(A×A) = n(A) ∙ n(A) = 3 ∙ 3 = 9. Значит, двузначных чисел, записанных с помощью цифр 5, 4 и 7 будет 9.

Часто при решении задач требуется не только ответить на вопрос о том, сколько существует возможных вариантов ее решения, но и осуществить перебор этих вариантов. Например, в задаче 2 можно предложить записать все двузначные числа, используя цифры 5, 4 и 7:

Источник