Множество действительных чисел что это

Действительные числа: определение, примеры, представления

Данная статья посвящена теме «Действительные числа». В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Источник

Действительные числа

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение действительных чисел

Рациональные числа объединяют в себе целые числа и дробные числа. А действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда сформулируем определение действительных чисел:

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Множество рациональных чисел —

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Иррациональное число — это число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби m/n. Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел —

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел состоит из множества рациональных чисел вместе с множеством иррациональных чисел. Это множество R иначе обозначается как область действительных чисел (-∞; +∞). Можно записать так, что R есть объединение двух множеств: рациональных и иррациональных чисел:

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Так как любое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической дроби, а иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями, то определение действительных чисел можно сформулировать по-другому.

Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби. Их иногда называют вещественными.

Примеры действительных чисел:

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Число нуль также является действительным числом, так как 0 — рациональное число.

Из определения действительных чисел можно сделать вывод, что существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа, а нуль — ни положительное, ни отрицательное действительное число.

При помощи действительных чисел можно описать величины, значения которых могут изменяться непрерывно. Проще говоря, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное значение этой величины.

Действительные числа на координатной прямой

Координатная прямая — это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0, единичным отрезком и заданным направлением движения.

Интересный факт: действительные числа заполняют каждую точку координатной прямой.

Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число — координата этой точки. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Представления действительных чисел

По определению действительными числами являются:

Часто можно встретить действительные числа в виде корней, степеней, логарифмов и др. Кроме того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа.

Также из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций можно составлять числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

будут действительные числа.

Сравнение действительных чисел

Любые действительные числа можно сравнивать. Для сравнения действительных чисел есть два способа:

Источник

Множество действительных чисел

Урок 5. Подготовка к ОГЭ по математике 9 класс

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Конспект урока «Множество действительных чисел»

· повторить все изученные ранее множества чисел;

· вспомнить, что множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел;

· вспомнить, что множество рациональных чисел включает множество целых чисел и все дроби, кроме бесконечных непериодических.

Сначала вспомним, что понимают под словом множество в математике.

Множество — это совокупность некоторых объектов, объединённых по какому-либо признаку.

Приведём примеры множеств:

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество принято обозначать заглавной латинской буквой.

Вы же помните, что множество чисел, которые используются для счёта, называют множеством натуральных чисел и обозначают буквой N.

Самое время, говоря о множестве натуральных чисел, вспомнить понятие числового множества.

Числовое множество – множество, элементами которого являются числа.

Элементы множества записывают в фигурных скобках. Так элементами множества натуральных чисел, являются числа 1, 2, 3 и так далее.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество А называют подмножеством множества B, если каждый элемент множества А является элементом множества B. Записываю это так.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Мы с вами ранее говорили о множестве целых чисел. Оно состоит из натуральных чисел, чисел противоположных натуральным и нуля.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Хорошо видно, что каждый элемент множества натуральных чисел принадлежит множеству целых чисел. То есть множество N является подмножеством множества Z.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Сейчас вернёмся к одному из рассмотренных ранее способов представления обыкновенной дроби в виде десятичной.

Мы с свами при повторении этого вопроса рассматривали 3 примера, в которых получили конечную десятичную дробь и бесконечные периодические десятичные дроби.

Но вам известно ещё и о существовании бесконечных непериодических десятичных дробей.

Это бесконечная десятичная дробь, в которой нет периода. В качестве примера такой дроби можно привести хорошо известное вам число π.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Так множество бесконечных непериодических дробей составляет множество иррациональных чисел.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

В свою очередь множество рациональных чисел содержит в себе множество целых чисел, конечных десятичных дробей и бесконечных периодических дробей.

Понятно, что любое целое число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Также вы знаете, как любую конечную десятичную дробь и любую бесконечную периодическую десятичную дроби можно представить в виде обыкновенной.

Тогда можно дать такое определение рациональному числу.

Рациональное число – число, которое можно представить в виде дроби, где числитель является целым числом, а знаменатель — натуральным.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Рациональные и иррациональные числа в совокупности составляют множество действительных чисел.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Из этих иллюстраций видно, что множество Z целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел. А множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

И ранее мы говорили, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Мы говорили, что любую конечную десятичную дробь и любую бесконечную периодическую десятичную дроби всегда можно представить в виде обыкновенной.

С конечной десятичной дробью сложностей не должно возникать, мы на предыдущих уроках рассматривали такие случаи.

А вот правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную стоит напомним. Рассмотрим его подробнее.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Выполним несколько заданий, где и применим знания о множествах чисел.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Теперь вернёмся к понятию множества и подробнее поговорим о пересечении и объединении множеств.

Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит и множеству А, и множеству В одновременно.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Пользуясь этими определениями найдём объединение и пересечение множеств натуральных и целых чисел.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Итак, пересечением данных множеств является множество натуральных чисел, а объединением — множество целых чисел.

Мы с вами повторили все изученные ранее множества чисел. Множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел.

Множество рациональных чисел в свою очередь включает множество целых чисел и все дроби, кроме бесконечных непериодических, которые и составляют множество иррациональных чисел.

Ну, а в множество целых чисел входят натуральные, противоположные натуральным и 0.

И справедлива такая запись, которая демонстрирует связь всех известных нам числовых множеств.

Источник

Числа. Действительные числа.

Вещественное, или действительное число возникло из необходимости измерений геометрической и физической величин мира. Кроме того, для проведения операций извлечения корня, вычисления логарифма, решения алгебраических уравнений и т.д.

Натуральные числа образовались с развитием счета, а рациональные с потребностью управлять частями целого, то вещественные числа (действительные) используются для измерений непрерывных величин. Т.о., расширение запаса чисел, которые рассматриваются, привело к множеству вещественных чисел, которое кроме рациональных чисел состоит из других элементов, называемых иррациональные числа.

Множество вещественных чисел обозначают и зачастую называют вещественной или числовой прямой. Вещественные числа состоят из простых объектов: целых и рациональных чисел.

Всякое рациональное число легко представить как конечную дробь либо бесконечную периодическую десятичную дробь.

Бесконечная десятичная дробь, это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечное число цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это, являются иррациональными числами.

Пример: Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Всякое иррациональное число легко представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Рациональные и иррациональные числа создают множество действительных чисел. Всем действительным числам соответствует одна точка координатной прямой, которая называется числовая прямая.

Для числовых множеств используются обозначения:

Теория бесконечных десятичных дробей.

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, т.е.:

где ± есть один из символов + или −, знак числа,

a0 — целое положительное число,

a1,a2,…an,… — последовательность десятичных знаков, т.е. элементов числового множества <0,1,…9>.

Бесконечную десятичную дробь можно объяснить как число, которое на числовой прямой находится между рациональными точками типа:

Сравнение вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей происходит поразрядно. Например, предположим даны 2 положительны числа:

Если a00, то α b0 то α>β. Когда a0=b0 переходим к сравнению следующего разряда. И т.д. Когда α≠β, значит после конечного количества шагов встретится первый разряд n, такой что an≠bn. Если ann, то α bn то α>β.

Арифметические операции с бесконечными десятичными дробями это непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел α и β является вещественное число α+β, которое удовлетворяет таким условиям:

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №15. Действительные числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) множество иррациональных чисел;

2) множество рациональных чисел;

3) правила выполнения действий с бесконечными десятичными дробями;

4)определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Все числа, которые мы изучаем в школе, называются действительными числами. Они образуют множество действительных чисел, которые принято обозначать латинской буквой R.

В свою очередь все действительные числа можно разделить на 2 группы: рациональные числа и иррациональные числа.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.

Рациональные числа, в свою очередь, можно разделить на 2 вида – это целые числа и дробные числа.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Целые же числа можно разделить еще на несколько групп: отрицательные целые числа, нуль и положительные (натуральные) целые числа.

На числовой оси (Ох) между целыми числами будут находиться дробные иррациональные числа. Все вместе они будут представлять собой множество действительных чисел, R.

Обратите внимание, что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Числа 4; 4,2; 4,28 и т.д. являются последовательными приближениями значений суммы

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это.

Пусть Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этоэто последовательные приближения действительного числа у с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т.д. Тогда погрешность приближения Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этокак угодно близко приближается к нулю.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этопри Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этоили Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Читается «модуль разности у и Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этостремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности» или «предел модуля разности у и Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этопри n, стремящемся к бесконечности, равен нулю»

Т.е. если Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этопри Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этоили Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Модуль действительного числа у обозначается как |у| и определяется так же, как и модуль рационально числа:

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это.

А теперь давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего (Рисунок 1).

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этообразующих геометрическую прогрессию со знаменателем Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это.

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

n=15, Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это;

n=20, Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это;

n=21, Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это.

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников. (рисунок 2)

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Используя данное определение можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это(Рисунок 3)

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1. Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых. Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Если n неограниченно возрастает, то Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

или Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это. Поэтому Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это, т.е. Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Например, для прогрессии Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это, где Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это,

имеем Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Так как Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этото Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1: Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Найдем значение данного выражения с точностью до единиц.

Округлим полученные результаты до десятых:

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Найдем значение данного выражения с точностью до десятых.

Округлим полученные результаты до сотых:

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это3

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Найдем значение данного выражения с точностью до сотых.

Округлим полученные результаты до тысячных:

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это32

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что этои т.д.

Давайте выясним, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой:

а) Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это; б) Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это. Найдем q.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это;Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это;Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Множество действительных чисел что это. Смотреть фото Множество действительных чисел что это. Смотреть картинку Множество действительных чисел что это. Картинка про Множество действительных чисел что это. Фото Множество действительных чисел что это

Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *