Моделирование систем и процессов что это

Моделирование бизнеса. Основные подходы

В этой статье я хочу поговорить об основных принципах моделирования бизнеса, о тех подходах, которые применяются в этой сфере, и на основе которых создаются языки моделирования и нотации.

Я уже писал о моделировании при помощи IDEF0 (Знакомство с нотацией IDEF0 и пример использования), об организации работы склада и работе с клиентами от лида до сделки (Внедрение CRM. От регистрации лида до закрытия сделки. Кейс и пояснения), о системе Bizagi (Bizagi. Описание. Пример). И везде я использовал при пояснении примеров и практических решений нотации бизнес-процессов.

С одной стороны, применение схем для наглядности при описании моделей бизнеса в ни у кого не вызывает вопросов. Это действительно очень удобно. С другой стороны, многие бизнесмены и даже мои коллеги недоумевают, зачем нужны специальные нотации и правила для разработки бизнес-процессов, ведь можно в любом графическом редакторе (visio) или при помощи других удобных инструментов просто нарисовать интуитивно понятную схему.

О том, почему так важна стандартизация, а также о том, в каком случае применяется тот или иной подход, я и хочу поговорить.

Основные подходы

Сегодня существует множество различных инструментов для разработки бизнес-моделей, они используют различные языки моделирования, как стандартные, так и какие-то собственные разработки. Но все их можно объединить по принципу работы в три основных подхода:

Функциональное моделирование

Функциональное моделирование рассматривает бизнес как функцию (лат. functio — совершение, исполнение) или иными словами «черный ящик». В функциональной модели функция не имеет временной последовательности, а только точку входа и точку выхода. Функциональное моделирование помогает рассматривать бизнес-модель с с точки зрения результативности, т.е. при моделировании мы исходим из того, что имеем на входе, и того, что желаем получить на выходе.

Например, компания разрабатывает какую-то CRM-систему для своего бизнеса. В случае применения функционального подхода к моделированию уже сама выбранная среда для работы подсказывает, с чего начинать. Точка входа – «входящий интерес клиента или лид», точка выхода – желаемый результат: «покупка и получение лояльного клиента», «получение постоянного клиента», «получение максимум информации о потенциальном клиенте» и т.д.

Таким образом, в функциональной модели изначально известны точка входа и желаемый результат, а последовательность действий и является объектом разработки. При этом использование функциональных моделей как «черных ящиков» позволяет детализировать каждый этап по мере необходимости. А вся работа при моделировании направлена на поиск оптимального решения для достижения цели.

Функциональные модели вы можете также использовать для демонстрации своих идей и вариантов решений. Это также очень удобно, ведь в процессе демонстрации вы можете двигаться от общего к деталя, по мере необходимости разделять и декомпозировать функции. Но декомпозировать вы будете при этом именно функции, и, разделяя одну функцию на несколько, вы не получите описание процесса.

Некоторые путают описание процесса и функциональную модель. Например, в системе Business Studio функцию называют процессом, хоть это и не совсем верно. Все же описание функций и процессный подход – несколько разные вещи. И я лично считаю, что функциональное моделирование оптимально реализовано в нотации IDEFO. Сам я для такого варианта работы использую именно ее, и всем также рекомендую.

Правила работы с IDEFO вы можете подробнее изучить, прочитав мою статью накомство с нотацией IDEF0 и пример использования.

Процессное моделирование (моделирование бизнес процессов)

О процессном моделировании я буду рассказывать с точки зрения нотации BPMN, как одного из наиболее распространенных стандартов процессного моделирования. При этом я полностью согласен, что существует множество языков моделирования и различных систем. И каждый может пользоваться тем, что ему удобнее. Но все же BPMN — это уже сложившийся стандарт процессного моделирования, а потому его я и беру за основу в описании.

Процесс с точки зрения бизнес-модели — это последовательность каких-то событий и действий, которые имеют начало и конец.

В этом кроется основное отличие процессного моделирования от функционального. Функциональное моделирование рассматривает бизнес-модель с точки зрения входа и выхода (имеющихся ресурсов и желаемого результата). А процессное основано на последовательности действий в определенных границах, в случае BPMN это будут начало и конец события.

Все процессы могут разбиваться (детализироваться) на подпроцессы вплоть до детализации на уровне задач, т.е. действий, дальнейшая детализация которых невозможна. Процесс – это некая последовательность действий, которую необходимо выполнить, чтобы получить определенный результат. Необходимо отметить что в модели бизнеса как процесса результат может и не быть явным в отличии от функциональной модели.

Принципиальное отличие процессного моделирования от функционального заключается в том, что при процессном моделировании основное внимание уделяется не тому, что мы хотим получить, а тому, что нужно сделать для получения результата, т.е. не итогам той или иной деятельности, а самой последовательности действий.

Например, в BPWIN или Business Studio в процессе детализации каждой функции происходит переход от функционального подхода к процессному. Т.е. в общем, мы рассматриваем модель с точки зрения – возможностей и желаемого результата, а когда переходим к решениям для каждой функции, здесь уже практикуется явно процессный подход, т.е. пошаговый алгоритм действий для достижения результата.

Представьте себе что в функциональной модели есть «черный ящик» — функция «Принять заказ». А при декомпозировании мы уже рассматриваем ее не как функцию, а как процесс, и последовательность действий при приеме заказа – это уже процессный подход.

Есть и еще одно очень важное отличие. Функциональную модель невозможно использовать при реализации какой-то либо системы, только для проектирования. А процессный подход позволяет создавать исполняемые модели, т.е. описания последовательности действий, которые мы можем в дальнейшем перевести в какую-то среду для создания системы совместной работы предприятия, основанной на процессном подходе.

Ментальный подход (ментальные карты)

При создании ментальных моделей специалист подходит к моделированию не как к процессу или набору функций, а как к некому набору связанных между собой понятий. Для наглядности я приведу пример — ментальная карта понятия “Процедура снабжения” (см. рисунок).

Такой вариант подхода применяется, прежде всего, для себя. Рисование схемы в свободной форме помогает структурировать свои знания, так сказать, “разложить по полочкам” в свободной форме полученную информацию. Также подобные ментальные карты помогают найти решение, которое уже позже, по мере необходимости, будет воплощаться в рамках строгих правил процессного или функционального подхода.

Можно применять ментальные карты и для демонстрации клиентам: и существующей ситуации, и вариантов решения поставленной задачи. Ментальные карты помогут наглядно продемонстрировать, какие методы могут быть использованы, показать в наглядной форме различные идеи.

Плюсы применения таких ментальных карт очевидны:

В результате для понимания модели и заложенных в ней идей требуется присутствие и комментарии ее разработчика (аналитика).

Конечно, существуют очень простые карты, которые интуитивно читаются и без дополнительных комментариев. Но при отсутствии стандартов всегда есть вероятность, что даже в этом случае автор что-то другое имел в виду или где-то недостаточно детализировал свою схему. Т.е. существует вероятность разного прочтения. А бизнес — это не философия. При всей умозрительности и разнообразии подходов к описанию бизнес-процессов, здесь очень важны однозначные решения.

Методология и языки бизнес-моделирования

Очень часто даже в профессиональной литературе возникает путаница, когда люди смешивают понятия методологии анализа работы бизнеса и описания языков бизнес-моделирования.

Методология — это система принципов и стандартов описания бизнес моделей и их последующего анализа. В то время как язык бизнес-моделирования – это не более чем инструмент для разработки моделей бизнеса.

Здесь напрашивается сравнение с программированием вообще и применением конкретного языка программирования. Программирование включает в себя и построение алгоритма, и выбор подходящего языка программирования, и реализацию алгоритма программы в рамках того или иного языка. А, например, программирование на языке Си++ – это уже заведомо ограничение определенными рамками, так как средствами определенного языка можно решить только четко ограниченный круг задач, и, одновременно, даже если задачу можно решить средствами Си++ совсем не обязательно, что именно этот язык будет в конкретном случае оптимальным. В общем, разницу между понятием «программирование» и «программированием в рамках определенного языка», я думаю, большинство понимают даже без таких пояснений.

Отличие языков разработки бизнес-моделей в от языков проектирования систем

Существует целое семейство языков проектирования систем, которые внешне схожи с языками бизнес-моделирования, например, это Ares Studios, целое семейство языков UML и другие, которые используются для проектирования IT-систем.

Основное различие этих языков от языков разработки бизнес-процессов лежит в их предназначении. Если языки проектирования IT-систем рассматривают бизнес-процессы с точки зрения возможности их автоматизации, воплощении в IT-системах, то языки бизнес-моделирования рассматривают последовательность действий именно с точки зрения бизнеса, включая работу как IT-систем, так и сотрудников, движения товаров и т.д.

Соответственно, в языках проектирования систем нет элементов, которые помогут полноценно описать действия подразделений, сотрудников, взаимодействие между ними, работу с поставщиками, общение с клиентами и так далее. Инструменты этой группы языков помогут именно автоматизировать процессы бизнеса, которые поддаются автоматизации. А все остальное будет оставлено «за кадром», например, как некие «функции» без расшифровки.

В то же время языки разработки бизнес-процессов охватывают максимально именно работу бизнеса как такового, а вот те или иные нюансы автоматизации и алгоритмизации систем в них описать далеко не всегда возможно с достаточной степенью детализации.

Преимущества разработки моделей бизнеса

И все же, зачем применять языки бизнес-моделирования, которые налагают строгие ограничения, требуют придерживаться жестко заданных правил при моделировании? Ведь всегда можно «нарисовать схему» в графическом редакторе или даже на бумаге, используя ментальный подход, при этом изучение языков моделирования вообще не потребуется.

На самом деле, стандарты и правила – это огромный плюс:

Применение моделей бизнеса на практике

Лично я считаю, что бизнес-моделирование стоит применять при решении любых задач, связанных с выявлением проблем и «узких мест», с оптимизацией и модернизацией бизнеса и т.д. Как бизнес-консультант я практически всегда строю модели работы компании или ее подразделений при работе со своими клиентами. Это дает четкое понимание всех этапов работы и позволяет избежать «белых пятен» в этом вопросе.

Кроме того, наглядные схемы бизнес-моделей помогают мне в процессе взаимодействия с клиентами. Проекты у меня часто бывают сложными, и обычного текста или устной речи бывает недостаточно для понимания, в то время как использование наглядных бизнес-моделей снижает затраты времени клиента на чтение и понимание моих предложений, и практически исключает проблемы взаимопонимания в этом вопросе. И если несколько лет назад я еще сталкивался с недоумением со стороны клиентов, то сейчас вариант описания «на словах» без наглядных и удобных схем практикуется крайне редко.

А в случае автоматизации какого-либо этапа работы или создания автоматизированной системы управления бизнесом на основе проектно-ориентированного подхода качественная бизнес-модель, выполненная в том или ином языке моделирования, станет готовым руководством для технических специалистов.

Удобство, универсальность, простота восприятия – это те причины, по которым от словесных описаний в бизнес-сфере все больше переходят к бизнес-моделированию. А применение готовых языков позволяет работать с моделями быстро, избегать ошибок, и также без проблем вносить любые изменения.

Также в настоящее время я готовлю к публикации книгу и онлайн курс, в которой подробно опишу собственное видение процессного подхода к бизнесу, а также мой собственный практический опыт работы в сфере функционального и процессного моделирования. Все желающие могут подписаться на уведомление о выходе новой книги по и другие новости ссылке.

Источник

Хорошие BPM — инструменты, которых нет и нет. Моделирование процессов

Поговорим о том, какие инструменты хотелось бы иметь при описании бизнес-процессов. Инструментов BPMS (BPM systems) много, но выбрать то особо нечего …

Ниже перечислим некоторые важные инструментальные возможности некоторых сред моделирования процессов (в основном АРИС-ARIS и MS visio).

Задача

1. Подходы к визуализации диаграммы

1.1 Слои модели

Нарисовал нам наш архитектор (специалист по моделированию процессов) схему:

Рис. 1 Процесс оформления заявления

Смотрят пользователи (Работник, Начальник, бизнес и системные аналитики) на схему и понять не могут, что нарисовано то и как этот процесс работает. Соглашение о моделировании прочитали, обучающие ролики посмотрели, но все равно не понятно.

Далее отключаем слой «Документооборот» (docflow) и остается только последовательность действий (workflow, Process Flow), который говорит, что нужно провести всего две операции.

По мере появления ясности подключаем слои (кто исполнитель и какие документы на входе и выходе каждой функции \ операции). Когда схема большая (перегруженная) отключение слоев может творить «чудеса» в плане облегчения восприятия процесса. Иногда достаточно увидеть несколько представлений «одного и того же» (т.е. «те же самые, только в профиль») чтобы понять и нотацию и саму логику схемы, а если для этого достаточно нажать несколько кнопок (фильтров категорий), то путь к пониманию резко сокращается.

Пользоваться послойным построением схемы также удобно: вначале нарисовали основной слой workflow, потом наращиваем информативность процесса другими слоями.

Пример такой реализации возможен в MS Visio:

Рис. 2 Управление слоями в MS Visio

1.2 Плавательные дорожки

Применительно к Рис. 1 «Процесс оформления заявления»: отключили слой «документы», а оставшуюся часть (функции и ресурсы) представили в виде одной или двух Swimlane (опять же «по кнопке»).

Рис. 3 Swimlane по ролям в горизонтальной плоскости

Применительно к рассматриваемому случаю возможны следующие комбинации Swimlane:

две одинарные (горизонт, вертикаль) по ролям;

две одинарные (горизонт, вертикаль) по инструментам (часто в разрезе баз данных показывают);

«Дорожки» помимо того, что позволяют создать другое (альтернативное) представление процесса (смена представления иногда играет решающую роль в понимании процесса), обеспечивают сортировку по указанным категориям, что позволяет быстро и просто найти: где применяется такой-то инструмент и где «нужно поработать» такому то исполнителю (роли).

1.3 Объекты модели и их атрибуты, свойства

Как минимум необходимы атрибуты: название объекта, тип (функция, документ, роль и т.п.), связь с другими объектами. В принципе любой векторный графический редактор оперирует с объектами, но редкий имеет удобные инструменты работы с их атрибутами.

При просмотре схемы процесса должна быть возможность выделения объекта и просмотр атрибутов схемы и ее объектов (с наложением фильтров, т.к. иначе будет избыток).

1.4 Задание своей нотации (на примере новой ЕРС ver. 2)

Посмотрим на примере нотации ЕРС. Что же в ней улучшить? Все улучшения запишем в гипотетическую ЕРС2 нотацию.

Возможность задания своей нотации в инструменте моделирования означает подсказку (блокировку) при некорректном построении модели, как в момент отрисовки, так и через проверочный отчет построенной диаграммы. Например, в ЕРС2 предусматриваются следующие типы коннекторов: для входящих сущностей (входящие документы, материалы-заготовки), для выходящих (исходящие документы, продукты операции), соединитель потока (функции, события), соединитель ресурса. В объекте «функция» предусматриваются три «Connection Point» (visio):

слева в овале «функция» два коннектора: один вход, второй выход (общие для docflow и потока материалов и т.п.);

справа два коннектора: для исполнителя функции и инструмента, который используется для реализации функции.

Вопрос: кроме как в visio, где можно задавать новые нотации и делать проверки на соответствие (валидность), аналогичные показанным выше?

Можно предусмотреть в таблице отдельное поле «полное описание функции» с подробным (большим, т.е. не влезающим в надпись) описанием операции, отображаемое на диаграмме в виде, например, всплывающей подсказки (или в отдельном окне) при активации конкретной функции (при наведении мышью).

Концептуально изложенный подход близок к выделенной в АРИС нотации «табличная ЕРС» (см. «Нотация ЕРС в виде таблицы»), но здесь реализация в виде обычной текстовой таблицы, т.е. ближе к ARIS Smart Designer. Причем логику процесса также можно указать в составе таблицы, например, как ссылка на предшествующий объект (этого нет Smart Designer, но не сложно добавить «что-то» для ЕРС2). Таблицу можно вставлять в текстовые регламенты word и макросом (VBA) генерить схему процесса («не отходя от кассы») с дублированием конечно в общем каталоге моделей.

Собирать схему из таблицы намного сложнее, чем наоборот, т.к. требуется сложный механизм пространственного разнесения объектов схемы (минимизация пересечений, задание направления потока и т.п.).

Применительно к graphviz: в случае, когда репозитарий объектов хранится в Excel, можно автоматически генерировать схемы, используя инструменты типа: Excel to Graphviz (sourceforge.net).

Пример простого VAD из dot:

Посмотреть схему можно, вставив код в окно «Online Graphviz Generator»:

Кстати, редкий Online Graphviz понимает несокращенный набор параметров спецификации.

В теме автоматического создания диаграмм из «текстового описания языком» нельзя не упомянуть про Object Process Diagram (OPD) \ Object Process Language (OPL). Тезисы у Object Process Methodology (OPM) вроде как BPM-ориентированные, но поверхностное знакомство с ним породило уверенность, что эта методология намного дальше от «workflow \ business process» (народа), чем те же plant uml \ dot (graphviz). OPCloud доступен тут: https://sandbox.opm.technion.ac.il/

2. Другое

2.1 Навигация по связанным моделям (каталог моделей)

При построении вложенных диаграмм (причем, возможно выполненных в разных нотациях, например, верхнеуровневые в VAD, IDEF0) необходимо иметь возможность перехода от одной к другой.

Обычно связанный набор моделей (и их объектов) называют репозитарий (репозитОрий). Часто в интерфейсе программы предусмотрено два окна: иерархическое дерево моделей (слева вверху) и окно диаграммы (основное). В идеале навигация по моделям должна быть трех видов:

по дереву моделей (treeview );

комбинированная, когда при переходе через кликабельные объекты схемы меняется фокус на общем дереве процессов.

2.2 Разные фишки и отчеты по атрибутике

Поиск по названиям моделей, атрибутам. Задание правил отбора, например, по диапазону значений последнего редактирования модели. Выгрузка данных фильтрации \ сортировки во внешний файл (отчет), причем разного формата (например, excel для анализа, pdf для презентабельности) и т.п.

2.3 Специфические отчеты

Отчеты могут быть разнообразны (зависит от воображения), но в первую очередь, нас будут интересовать выгрузки в распространенные формы. Универсальный генератор отчетов «на все случаи жизни» видимо проблема, но инструменты создания отчетов должны быть изначально в среде моделирования.

Для примера рассмотрим матрицу ответственности\ участия RACI. Требуется автоматическая генерация усеченной RACI-матрицы (здесь показано только для участников процесса, но часто плюс владельцы процесса) по имеющейся, например, VAD-диаграмме (value added chain diagram). Набор ключевых «мега процессов» компании показан в виде VAD и нужно по ним построить (синхронизировать) матрицу участников (RACI по одной только роли «участник процесса»).

Рис. 4 Построение RACI матрицы

Алгоритм построения таблицы на VBA Visio\Excel может быть следующий:

Создаем в таблице Excel новую строку и в поле «Ключевые процессы» подставляем значение с активного листа visio из объекта типа «название мега процесса».

Далее циклом пробегаем по всем VAD-элементам схемы (листа) и через связь (объект «соединитель» для связки с объектами «исполнитель») находим связанные объекты типа «исполнитель» (участник подпроцесса).

Находим соответствующее название подразделения в шапке таблицы и на пересечении с процессом ставим символ участия (признак).

Переход к следующему листу visio.

Когда в организации десятки подразделений и около сотни «мега процессов» (их выделение достаточно субъективно), то задача синхронизации схем мега-процессов и матрицы участия подразделений в таких ключевых процессах становится достаточно трудоемкой.

2.4 Упаковка необъятной схемы процесса в печатный лист

Когда рисуют гигантскую «портянку» из «тучи элементов» на одной схеме, а потом нужно ее распечатать (А4, А3) или представить в ином интерфейсе (без скролинга такой «портянки»), то возникает ступор. Должна быть поддержка многостраничной схемы и элементов перехода между страницами (в том числе, кликабельными).

2.5 Разное

Публикация процессов, совместная работа, интеграция с корпоративной базой нормативных документов и т.п.

Авто-размещение объектов на схеме: набросал невпопад объекты на лист (главное правильно связи указать и никого не забыть) и нажал кнопку: «расположить как надо» и система сама оптимально и красиво разместила объекты на схеме (в visio функции выравнивания и распределения фигур).

Открытые стандарты хранения и экспорта \ импорта (внешний графический импорт \ экспорт как минимум в visio), как самих графических объектов модели, так и их атрибутов. К сожалению, тот же MS visio так и не научился нормально экспортировать схемы в pdf и svg (например, всплывающие подсказки).

Изменение дизайна графического примитива для любого объекта нотации, расширение нотации, передача новых шаблонов в другую аналогичную систему, добавление новых атрибутов объектов (новых полей) и многое другое.

Заключение

В 2000-ном году мной использовались ровно такие же подходы и ровно те же инструменты моделирования (основные: ARIS toolset, MS visio), что и сейчас, но тогда была настолько интенсивная «движуха в мире ВРМ», что казалось «вот-вот и прогресс всё поменяет», но это оказалось иллюзией. «Старику ARIS» (в части классического моделирования процессов) на пенсию бы (не смотря на добавленные круглую цифру 10 и магическое слово «cloud»), но похоже перемены придут еще совсем не скоро и светлое будущее «обычного» BPM откладывается …

Источник

Основы математического моделирования систем и процессов (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

Омский государственный университет путей сообщения

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

Допущено УМО по образованию в области Прикладной математики и

управления качеством в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

УДК 681.32.06:518.5

Основы математического моделирования систем и процессов: Учебное пособие/ ; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 20с.

Учебное пособие, получившее гриф УМО по образованию в области Прикладной математики и управления качеством, предназначено для студентов высших учебных заведений, в том числе, обучающихся по направлению 657700 − «Системы обеспечения движения поездов» по специальностям 210700 − «Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте» − и 101800 − «Электроснабжение железных дорог».

Учебное пособие отражает содержание дисциплины федерального компонента государственного образовательного стандарта ЕН. Ф.06 − «Математическое моделирование систем и процессов»

В учебном пособии рассматриваются основы математического моделирования как научного приема изучения окружающего мира, излагаются принципы формирования математических моделей различных классов и методы их решения, дается сравнительный анализ моделей и описываются способы преобразования модели одного класса в модель другого класса.

Предназначено для студентов очной и заочной форм обучения, а также для обучения с использованием дистанционных образовательных технологий.

Библиогр.: 21 назв. Табл. 1. Рис. 67.

Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор ;

доктор техн. наук, профессор ;

Омский гос. университет

путей сообщения, 2006

1. Моделирование как научный прием …………………………………

1.2. Классификация моделей ……………………………………….

1.3. Математическое моделирование ………………………………..

1.3.1. Цели математического моделирования ….………………….

1.3.2. Требования к математической модели.….………………….

1.3.4. Классификация математических моделей ………………….

2. Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений…………………………………………………………………

2.2.2.1. Метод простых итераций (последовательных прибли-

3. Математические модели в форме нелинейных алгебраических

и трансцендентных уравнений……….…………………………..….

3.1. Пример формирования модели …………………….………….

3.3.1. Особенности численных методов решения ………………….

3.3.1.1. Этапы численного решения нелинейного уравнения ……..

3.3.1.3.1. Метод половинного деления (дихотомии, бисекции).

4. Математические модели в форме дифференциальных уравнений.

4.2. Решение математических моделей в классе обыкновенных

4.3. Методы решения математических моделей в классе ОДУ ….

5. Математические модели для систем с распределенными пара-метрами …………..………………………………………………………

6. Детерминированные и стохастические математические модели ….

7. Математические модели в форме передаточных функций ……….

7.2. Передаточная функция в форме изображений Лапласа ………

7.3. Передаточная функция в операторной форме …. …………….

7.4. Элементарные типовые звенья физических систем ………….

8. Математические модели в пространстве состояний ……………….

8.2. Линейные непрерывные детерминированные системы ……….

8.4. Формирование математической модели в пространстве состо-яний по передаточной функции системы……………………………

8.5. Пример формирования математической модели в простран-стве состояний для исследования процессов в электрической цепи……………………………………………………………………

8.6. Линейные дискретные детерминированные системы ………..

9. Другие виды математических моделей физических систем во временной области ………………………………………………………….

9.2. Импульсная переходная функция ………………………………

10. Математические модели в частотной области …………………….

11. Математические модели в форме интегральных уравнений …….

Математическое моделирование – это способ, инструмент, научный прием изучения окружающего мира.

Математическое моделирование предполагает описание исследуемых явлений, процессов, систем различной физической природы языком математических соотношений. Класс математической модели определяется постановкой задачи и целью исследования, а также уровнем знаний экспериментатора о моделируемом объекте.

Возможности ученых, инженеров, разработчиков новой техники, исследования и эксперименты которых базируются на математических моделях, значительно возросли с появлением мощных программных средств – математических систем и пакетов, таких как Derive, MathCAD, Maple, Mathematica, MatLAB и др.

Цель данного учебного пособия – познакомить студента с основами математического моделирования систем и процессов: с кругом задач, решаемых посредством моделирования, с этапами математического моделирования, с классификациями моделей по характеру и форме представления, с достоинствами и недостатками того или иного класса модели, с приемами преобразования модели одного класса в модель другого класса, с методами решения моделей различных классов и т. д.

Освоение материала курса «Математическое моделирование систем и процессов» позволит студенту приступить к изучению технологии компьютерного моделирования на базе пакетов Simulink, Model Vision Studium, Dymola.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК НАУЧНЫЙ ПРИЕМ

1.1. Основные понятия

М о д е л и р о в а н и е – это научный прием, инструмент изучения реального окружающего мира.

Моделирование подразумевает следующее: реальный объект (система), называемый о р и г и н а л о м, замещается моделью. Над моделью проводятся эксперименты и исследования, на основе которых делаются выводы о свойствах объекта – оригинала.

Р о л ь моделирования:

в некоторых случаях моделирование может быть единственным способом изучения сложного объекта, над которым невозможно проведение эксперимента (например, экономические процессы, экологические системы, взаимодействие элементов Солнечной системы, процессы в недрах звезд, полет космического корабля, сложнейшие технологические процессы и т. д.);

моделирование позволяет сократить время изучения реального объекта, снизить материальные затраты и повысить эффективность исследований.

Форма и содержание модели определяются

– уровнем знаний исследователя об оригинале;

– постановкой задачи и целью исследования.

1.2. Классификация моделей

Единую классификацию моделей составить практически невозможно из-за многозначности понятия «модель» в современной жизни.

Рассмотрим классификацию моделей по степени их абстрагирования от оригинала (рис. 1.1).

Геометрическая модель отображает пространственные и геометрические свойства оригинала (например, макеты архитектурных сооружений, выставочные модели самолетов, судов, автомобилей).

Физическая модель воспроизводит физические свойства оригинала. Такая модель представляет собой увеличенную или уменьшенную копию оригинала. Физическая модель создается по строгим законам теории подобия.

П р и м е р 1. Установка «Токамак», в которой реализуется термоядерная реакция в микромасштабе, является физической моделью термоядерных реакторов атомных электростанций.

П р и м е р 2 (из области авиастроения). Одной из серьезных задач, решаемых в процессе создания новой модели самолета, является выбор оптимальной обтекаемой формы и оптимизация аэродинамических характеристик. Решение этой задачи можно получить только экспериментальным путем. Конструкторы создают уменьшенную физическую модель самолета и помещают в специальную установку − аэродинамическую трубу, внутри которой создается поток воздуха с той же скоростью, с которой должна лететь модель. Специальные аэродинамические весы фиксируют нагрузки, действующие на отдельные элементы конструкции.

Аналоговая модель имеет физическую природу, отличную от оригинала, но динамика ее внутренних процессов может быть описана теми же математическими соотношениями, которые описывают процессы в моделируемой системе − оригинале. В качестве аналоговых моделей используются электрические, электронные, механические, гидравлические, пневматические и другие системы.

П р и м е р 3. Оригинал – механическая система – маятник, совершающий колебания относительно положения равновесия (рис. 1.2). Модель– электрическая система, представляющая собой колебательный контур (рис. 1.3).

Процесс колебания маятника и процесс изменения напряжения конденсатора во времени (в установившемся режиме) описываются одним и тем же дифференциальным уравнением для незатухающих гармонических колебаний

, (1.1)

где ω – частота колебаний.

Возможность взаимного замещения механической и электрической систем при моделировании основана на следующих положениях:

аналогом кинетической энергии механической системы является энергия магнитного поля электрической системы (накапливается на индуктивности);

аналогом потенциальной энергии механической системы является энергия электрического поля электрической системы (накапливается в конденсаторе).

П р и м е р 4. Оригинал– механическая система (рис. 1.4).

Модель – электрическая система (рис. 1.5)

Для механической системы выполняется условие:

, (1.2)

т. е. сумма всех сил, действующих в системе, равна нулю.

. (1.3)

Для электрической системы выполняется аналогичное условие:

(1.4)

т. е. сумма электродвижущих сил в замкнутой цепи равна сумме падений напряжения на отдельных ее элементах. Следовательно,

. (1.5)

Таким образом, наличию упругой силы в механической системе соответствует наличие напряжения на обкладках конденсатора. Инерционные свойства механической системы (за счет наличия массы m) в электрической системе отражаются с помощью индуктивности . Наличию сил трения в механической системе соответствует наличие активного сопротивления

Мнемоническая модель отображает свойства объекта (оригинала) посредством схемы, графа, графика, чертежа, диаграммы, химической формулы и т. д. (рис. 1.6).

Математическая модель отображает свойства объекта (оригинала) на языке математических формул и уравнений.

Вычислительная модель – программа, реализующая алгоритм решения математической модели.

Компьютерная модель представляет собой электронный эквивалент исследуемого объекта. Это комплекс специальных программных и аппаратных средств (абстрактная и физическая составляющие). Схема, представленная на рис. 1.7, отражает основные элементы компьютерного моделирования.

1.3. Математическое моделирование

Математическое моделирование занимает ведущее место среди всех видов моделирования.

Первые математические модели появились на заре развития математики, когда возникла необходимость количественного описания объектов и явлений окружающего мира: теорема Пифагора (VI в. до н. э.), законы Ньютона (XVIII в.), волновые уравнения Максвелла (XIX в.), теория относительности Эйнштейна (XX в.).

В настоящее время математическое моделирование – мощное средство развития науки и познания окружающего мира, а иногда это единственное средство решения проблемы.

П р и м е р 6. Энергетика. Прогнозирование будущего поведения атомных и термоядерных реакторов.

П р и м е р 7. Геофизика, астрофизика. Моделирование процессов развития звезд и солнечной активности, долгосрочных прогнозов землетрясений, цунами и т. д.

П р и м е р 8. Генетика. Моделирование законов наследственности и изменчивости организмов.

П р и м е р 9. Биотехнология. Создание новых видов горючего, новых лекарств.

П р и м е р 10. Космическая техника. Расчет траекторий летательных аппаратов, задачи обтекаемости конструкции и т. д.

П р и м е р 11. Задачи оптимального управления системой, процессом.

П р и м е р 12. Разработка новейших современных технологических процессов.

1.3.1. Цели математического моделирования

1) Интерпретация прошлого поведения объекта и обобщение имеющихся знаний о нем на основе выявления основных причинно-следственных связей.

2) Предсказание будущего поведения объекта – прогноз:

а) при варьировании условий испытания объекта (влияние внешних электрических и магнитных полей, колебания температуры, давления, наличие источника радиактивного излучения и т. д.);

б) при имитации экстремальных режимов работы объекта.

3) Обновление и совершенствование старой, ранее построенной модели на основе получения новой информации об оригинале.

4) Оптимизация параметров системы или ее структуры.

5) Создание алгоритма оптимального управления системой с точки зрения заданного критерия.

1.3.2. Требования к математической модели

1) Соответствие цели моделирования.

2) Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с требуемой точностью. Математическая модель не может быть адекватной на всем множестве значений ее параметров. Всегда существует область адекватности модели (ОА) (рис.1.8), которая задается диапазоном значений параметров модели (ΔВ1 и ΔВ2), в пределах которого она должна быть адекватной реальному объекту.

1.3.3. Этапы математического моделирования

1-й этап. Постановка цели моделирования. Модель должна замещать реальный объект с такой степенью абстракции, которая более всего выгодна для достижения заданной цели.

2-й этап. Создание концептуальной модели, т. е. содержательного описания моделируемого объекта. Концептуальная модель включает в себя следующие сведения:

− состав и структура объекта;

− причинно-следственные связи между параметрами объекта;

− количество параметров, достаточное для адекватного описания объекта;

− класс исследуемого объекта и создаваемой модели;

− условия функционирования объекта.

На этом этапе разработчику математической модели приходится решать три проблемы.

Проблема 1. Поиск компромисса между простотой модели и ее адекватностью реальному объекту.

Любой реальный объект в процессе функционирования подвергается влиянию множества факторов (внешних и внутренних). Чем большее количество факторов учитывается в модели, тем более адекватной становится модель. Однако при этом она может стать настолько сложной и громоздкой, что возникнут следующие проблемы:

− отсутствие эффективных методов исследования такой модели;

− рост затрат на моделирование превысит рост эффекта от внедрения модели.

Нельзя входить и в другую крайность – чрезмерно упрощать модель за счет пренебрежения влиянием существенных факторов. Это приведет к неадекватности модели и, соответственно, к искажению результатов моделирования. Поэтому необходим жесткий отбор влияющих факторов, их четкое разграничение на основные (О) и второстепенные (В). Основные факторы должны быть учтены в модели, а второстепенные отброшены (рис. 1.9). При этом не наносится существенного ущерба качеству модели.

Проблема 2. Определение границ применимости создаваемой модели.

Результаты, полученные с помощью конкретной модели, считаются справедливыми только в рамках оговоренных условий (в пределах области адекватности).

П р и м е р 13. Сформировать математическую модель, описывающую процесс падения тела на Землю.

В основе этого явления лежит закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном: любые два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Если в качестве этих двух тел рассматривать металлический шарик и Землю, то на языке математики падение шарика можно описать соотношением:

, (1.6)

где – постоянная;

m и М З – масса шарика и Земли,

R – расстояние между центрами притягивающихся тел.

Согласно второму закону Ньютона, если на тело действует сила F, то его движение описывается соотношением:

(1.7)

Так как рассматривается процесс падения тела, то следует a заменить на ускорение свободного падения . Тогда модель падения шара примет вид:

или – (1.8)

это модель в общем виде. Теперь необходимо ее конкретизировать для данных условий проведения эксперимента. Опыт с шаром проводится в лаборатории (т. е. вблизи поверхности Земли). Следовательно, можно принять, что расстояние между центрами Земли и шарика равно радиусу Земли: R= RЗ. Тогда математическая модель примет вид:

(1.9)

Эта модель позволяет дать исчерпывающее описание процесса падения шара в любой момент времени t: определить высоту h, на которой находится шар, а также его скорость v:

(1.10)

(1.11)

Границы применимости этой модели:

– тело падает с небольшой высоты, пренебрежимо малой по сравнению с радиусом Земли;

– тело имеет компактную форму и обладает достаточной массой;

– можно пренебречь фактором сопротивления воздуха.

При нарушении хотя бы одного из этих условий данная модель не будет адекватной. Например, эту модель нельзя применить для описания следующих процессов: приземления парашютиста, падения листьев с дерева, падения осколка метеорита на Землю и т. д.

Источник