Модуль числа ноль чему равен
Модуль нуля
Чему равен модуль нуля?
Модуль числа a — это расстояние в единичных отрезках от начала координат до точки с координатой a.
Поскольку начало отсчёта на координатной прямой — точка с координатой 0, расстояние от начала координат до точки с координатой 0 равно нулю.
Таким образом, модуль нуля равен нулю.
Так как расстояние не может быть отрицательным числом, модуль любого другого числа, как положительного, так и отрицательного, больше нуля:
0,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Таким образом, модуль любого числа является неотрицательным числом:
где a — любое число.
Только модуль нуля равен нулю.
Следовательно, если модуль равен нулю, то выражение, стоящее под знаком модуля, равняется нулю. Используем этот факт для решения уравнений.
Так как модуль равен нулю, выражение, стоящее под знаком модуля, равно нулю:
Модуль числа
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA.
Разберем на примере:
Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.
Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.
Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).
Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.
Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.
Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.
Записывайся на занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы.
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
4. Модуль нуля равен нулю.
5. Противоположные числа имеют равные модули.
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5.
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
График функции
График функции равен y = |х|.
Для x > 0 имеем y = x.
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Корень из квадрата
Оно равно a при а > 0 и −а, при а
Модуль комплексного числа
Чему равен модуль числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:
Свойства модуля комплексных чисел
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
Модуль рационального числа, примеры:
Модуль вещественных чисел
Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел
Закрепим свойства модуля числа, которые мы рассмотрели выше:
Урок 29 Бесплатно Модуль числа
Обратите внимание на картинку.
Для того чтобы узнать тему нашего урока, попробуйте отгадать ребус.
На этом уроке разберемся, что называют модулем числа, раскроем его геометрический смысл, рассмотрим основные свойства модуля, научимся находить модуль числа и применять эти знания при решении задач.
Модуль числа (абсолютная величина)
В переводе с латинского «модуль» (modulus) означает мера, размер.
Считается, что данный термин впервые ввел в пользование английский философ и математик Роджер Котс, друг и ученик Исаака Ньютона.
Многие ученые использовали в своих научных трудах понятие модуль, однако символьное обозначение он приобрел только в конце XIX века.
В 1841 году выдающийся немецкий ученый Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс ввел символьное обозначение модуля числа, которое используют и применяют по сегодняшний день.
В некоторых случаях вместо «модуль числа» говорят: «абсолютная величина», но надо понимать, что это тождественно равные понятия.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Понятие «модуль» используется во многих областях деятельности человека.
Можно сказать, что квартира- это модуль дома, а бетонный блок- модуль здания.
Применение модуля придает строениям, сооружениям и их отдельным частям соизмеримость, единообразную форму, координацию размеров частей здания и комплекса в целом; облегчает установление норм и правил по строительству.
В космонавтике модуль- это автономная управляемая часть космического корабля (например, стыковочный модуль, орбитальный модуль и т.п.).
В радиоэлектронике модуль- это автоматизированный блок, функционально законченный узел радиоэлектронной аппаратуры.
В точных науках и технике модуль служит для названия некоторых коэффициентов и величин (например, модуль упругости, модуль сдвига, модуль сопротивления и другое).
В издательском деле модуль- это шаг сетки, основа расположения полос и разворотов в модульной системе верстки.
В судостроении все более широкое применение находит модульное строение судов и плавучих сооружений.
Блоки секций или блоки судна- типовые повторяющие блоки, так называемые модули, составляют корпус судна.
В программировании модули- это законченные самостоятельные фрагменты программы. Разделение программы на небольшие части- модули, позволяют облегчить программу, так как модуль можно применять повторно, его легче отладить и написать, повышает качество программного кода.
В общем говоря, под модулем часто понимают и представляют исходную единицу измерения, составную часть, служащую мерилом, или самостоятельную часть некоторой системы, часть конструкции
В математике модуль имеет несколько значений. Разберем, что в математике называют модулем числа (абсолютной величиной).
Рассмотрим понятие модуль с геометрической точки зрения.
Вам уже известно, что на координатной прямой мы отмечаем действительные числа, а каждому действительному числу на этой прямой соответствует определенная точка и наоборот, каждой точке на координатной прямой соответствует действительное число.
Точка задается некоторым расстоянием от начала координат.
Длина отрезка от начала координат до точки вмещает в себя определенное количество единичных отрезков координатной прямой.
Длина такого отрезка всегда неотрицательная величина.
Два мяча катнули по одной прямой. Первый мяч откатился вправо от исходной точки на 4 м, второй мяч влево от исходной точки на 6 м.
Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух мячей.
Точка О— это исходная точка мячей- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1 метр.
Вправо откладываем координату первого мяча А (+4)
Влево откладываем координату второго мяча В (-6)
Расстояние от точки А до начала отсчета 4 единичных отрезка.
Длина ОА = 4 единичных отрезка.
Расстояние от точки В до начала отсчета 6 единичных отрезков.
Длина ОВ = 6 единичных отрезков.
Расстояние ОА и ОВ называют абсолютной величиной, модулем числа, они всегда положительны.
Таким образом, модулем числа называют расстояние на координатной прямой от начала отсчета до заданной точки (выраженной в единичных отрезках).
Обозначается модуль двумя вертикальными чертами слева и справа от числа | |.
Запись |A| читается как «Модуль А» или «Модуль числа А».
Пример 1
|7|— модуль числа 7
Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой 7
Значит, модуль числа 7 равен самому числу 7
|7| = 7
Пример 2
Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой (-5).
Зная определение модуля числа, мы можем утверждать, что от точки с координатой (-5) до точки начала отсчета О помещается 5 единичных отрезков.
Значит, модуль числа (-5) равен 5
|-5| = 5
Пример 3
|-1|— модуль числа (-1)
В расстояние от точки с координатой (-1) до точки начала отсчета помещается только один единичный отрезок этой прямой, поэтому модуль (-1) равен 1.
|-1| = 1
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства модуля (абсолютной величины)
Рассмотрим некоторые свойства модуля числа.
1. Модуль нуля равен нулю
Так как от нуля до начала отсчета нет никакого расстояния (0 единичных отрезков), модуль нуля и есть нуль.
|0| = 0
2. Модуль числа всегда число неотрицательное (т.е. положительное или нуль)
Мяч катнули вдоль прямой на расстояние, равное 3 м вправо, мяч ударился о стену и покатился вдоль прямой в обратном направлении на 3 м и остановился.
Изобразим на координатной прямой координаты точек в момент каждой остановки мяча.
Точка О на координатной прямой- это точка откуда катнули мяч- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1метр.
Можно ли утверждать, что мяч не преодолевал никакого расстояния, оставаясь в исходной точке в состоянии покоя, ведь в конечном счете мяч оказался в точке 0 м (от точки ноль до начала отсчета О не помещается ни одного единичного отрезка)? Конечно же, нет!
Путь мяча был бы равен нулю, если бы его вообще никуда не пинали, и он оставался в состоянии покоя в точке О.
Но мы должны понимать, что путь (расстояние), которое преодолел мяч, состоит из 3 единичных отрезков в правую сторону и 3 единичных отрезков в левую сторону; сложив все единичные отрезки, получим:
3 единичных отрезка + 3 единичных отрезка = 6 единичных отрезков
6 единичных отрезков = 6 м
Для определения пути мы складывали только числовое значение без учета направления. Это числовое значение и есть модуль числа.
Таким образом, можно сказать, что любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля).
Поэтому, чтобы найти модуль числа, нужно записать это число без учета знака.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В математике для лучшего восприятия темы «Модуль числа» придумали шуточную ассоциацию.
Заходя в баню (оказываясь под знаком модуль), отрицательное число моется, освобождается от знака. Из бани (из под знака модуль) число выходит «чистым»- без знака «минус».
В такой бане могут «мыться» положительные, отрицательные числа и ноль.
3. Модули противоположных чисел равны
Рассмотрим на примере данное утверждение:
Пусть модуль х равен 4, получим равенство |x| = 4
Отметим на координатной прямой точки, которые удовлетворяют этому равенству:
Модул ь- это расстояние от начала отсчета до точки в единичных отрезках, равное в данном случае четырем.
Откладываем 4 единичных отрезка вправо, получаем точку с координатой 4
Но такое же количество единичных отрезков можно отложить влево, тогда получим точку с координатой (-4)
Получим на координатной прямой две точки, которые удовлетворяют условию |x| = 4
В данном примере значение х может быть равным:
х = 4
На координатной прямой противоположные числа, хоть и по разные стороны от точки начала отсчета, но находятся на равных расстояниях от этой точки, т.е. по модулю равны.
4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел
В буквенном выражении это можно записать так:
5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
6. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей
\(\mathbf<\Bigl| \frac
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Решение задач с применением модуля числа
Рассмотрим несколько примеров таких задач.
Задача 1
Запишите все числа, имеющие модуль 142.
Решение:
Представим координатную прямую с началом отсчета в точке О
142 единичных отрезка мы можем отложить на координатной прямой вправо и получим точку с координатой 142.
Также 142 единичных отрезка мы можем отложить влево от нуля, в этом случае получаем точку с координатой 142.
На координатной прямой находятся два числа, которые имеют модуль 142, а расстояние до этих точек содержат по 142 единичных отрезка.
|142| = 142
|-142| = 142
Задача 2
Решение:
Для этого найдем модули каждого из них:
|-15| = 15
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
Модули чисел получились: 15, 1, 4, 7
Расположим эти числа в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому):
1, 4, 7, 15.
Получаем такую последовательность равенств,
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
|-15| = 15
Следовательно, числа в порядке возрастания их модулей должны располагаться так: -1, 4, 7, -15
Задача 3
На координатной прямой отметили две точки -73 и 68. Модуль какого числа больше?
Решение:
Представим, что на координатной прямой на определенном расстоянии от точки О (налала отсчета) отмечены две точки.
Слева от точки начала отсчета расположена точка с координатой -73
Справа от точки начала отсчета расположена точка с координатой 68
Расстояние от точки О до точки с координатой -73 содержит больше единичных отрезков, чем расстояние от точки О до точки с координатой 68 (т.е. координата точки -73 находится дальше от начала координат, чем точка с координатой 68).
Значит, модуль числа -73 больше модуля числа 68
|-73| = 73
|68| = 68
73 > 68, а это значит:
|-73| > |68|
Ответ: |-73| > |68|
Задача 4
Чему равны координаты этих точек?
Чему равен модуль каждой координаты?
Решение:
Построим координатную прямую, за начала отсчета примем точку О
Единичный отрезок равен 1 деление- 1 единица.
На координатной прямой отметим точки А и В
Точка А имеет координату A (-2), так как она отодвинута влево от точки О на расстояние в два единичных отрезка.
Точка В имеет координату В (6), так как она отодвинута вправо от точки О на расстояние в шесть единичных отрезков.
Получили точки с координатами A (-2) и В (6)
Модуль-это расстояние в единичных отрезках от заданной точки до начала отсчета.
|-2| = 2
Модуль 6 равен 6
|6| = 6
Ответ: Модули координат точек A (-2) и В (6) равны 2 и 6 соответственно.
Наверное, вы уже заметили, что значение координат может быть положительным и отрицательным, а модули только положительными.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Числа. Модуль числа.
Модуль положительного действительного числа a – это само это число. Число в модуле:
Модуль отрицательного действительного числа а – это противоположное ему число:
В общем случае запись модуля числа выглядит так:
Модулем числа 5 будет 5, т.к. точка В(5) отстоит от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Записывают так: |5| = 5.
Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О соответствует 6 единичным отрезкам. Число 6 есть модуль числа -6. Записывают так: |-6| = 6.
Модуль числа бывает только положительным. Если рассматривать положительное число и нуль, то модуль их будет равен им же, а если рассматривать отрицательное число – то модуль равен противоположному числу. У противоположных чисел одинаковые модули:
Модуль нуля равен нулю, т.к. точка с координатой нуль совпадает с началом отсчета 0, то есть удалена от нее на 0 единичных отрезков:
Просмотрев определение модуля числа можно сделать вывод, что модуль числа соответствует числу под знаком модуля, не учитывая знак. Это утверждение поясняет из-за чего модуль числа иногда употребляется под значением абсолютной величины числа. Таким образом, модуль числа и абсолютная величина числа – это тоже самое.
К примеру, модуль целого числа −7 можно записать как 
; модуль рационального числа 4,125 записывается как 
, а модуль иррационального числа 
имеет запись вида 
.
Числа. Модуль числа.
Модуль положительного действительного числа a – это само это число. Число в модуле:
Модуль отрицательного действительного числа а – это противоположное ему число:
В общем случае запись модуля числа выглядит так:
Модулем числа 5 будет 5, т.к. точка В(5) отстоит от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Записывают так: |5| = 5.
Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О соответствует 6 единичным отрезкам. Число 6 есть модуль числа -6. Записывают так: |-6| = 6.
Модуль числа бывает только положительным. Если рассматривать положительное число и нуль, то модуль их будет равен им же, а если рассматривать отрицательное число – то модуль равен противоположному числу. У противоположных чисел одинаковые модули:
Модуль нуля равен нулю, т.к. точка с координатой нуль совпадает с началом отсчета 0, то есть удалена от нее на 0 единичных отрезков:
Просмотрев определение модуля числа можно сделать вывод, что модуль числа соответствует числу под знаком модуля, не учитывая знак. Это утверждение поясняет из-за чего модуль числа иногда употребляется под значением абсолютной величины числа. Таким образом, модуль числа и абсолютная величина числа – это тоже самое.
К примеру, модуль целого числа −7 можно записать как ; модуль рационального числа 4,125 записывается как , а модуль иррационального числа имеет запись вида .