Можно ли утверждать что прямая и плоскость имеют границы

math4school.ru

Прямые и плоскости

Способы определения плоскости

Плоскость в пространстве однозначно задаётся:

тремя точками, не лежащими прямой и точкой, не лежащей

на одной прямой на этой прямой

двумя пересекающимися прямыми двумя параллельными прямыми

Прямые в пространстве

Две прямые в пространстве пересекаются, если они имеют лишь одну общую точку:

Признак параллельности прямых:

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:

Прямая и плоскость в пространстве

Если каждая точка прямой принадлежит плоскости, то говорят, что и прямая принадлежит плоскости:

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости:

Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку:

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек:

Плоскость и не лежащая на ней прямая либо пересекаются (в одной точке), либо не пересекаются (параллельны).

Признак параллельности прямой и плоскости:

Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости тогда и только тогда, когда она параллельна некоторой прямой в этой плоскости:

Признак параллельности прямых:

Признак параллельности прямых:

Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии пересечения этих плоскостей:

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения этой прямой и плоскости.

Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости:

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой:

Прямые, перпендикулярные одной плоскости, – параллельны:

Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, которые соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости, считают расстоянием между этими точкой и плоскостью.

Наклонной, проведённой из данной точки к плоскости, называется любой отрезок, который соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и не является перпендикуляром, проведённым к этой плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки, называется проекцией (ортогональной проекцией) этой наклонной на плоскость.

АВ – перпендикуляр, проведённый из точки А к плоскости α ;

АС – наклонная, проведённая из точки А к плоскости α ;

В – основание перпендикуляра АВ ;

С – основание наклонной АС ;

ВС – проекция наклонной АС на плоскость α .

Свойства перпендикуляра и наклонной:

Углом между наклонной и плоскость называется величина угла между наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость:

Угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой, проходящей в этой плоскости через основание наклонной:

Теорема про три перпендикуляра:

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной:

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости:

Отрезок АВ – общий перпендикуляр прямой а и плоскости α.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых ( a и b ) называется отрезок ( АВ ) с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Две скрещивающиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, и притом только один.

Длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых считается расстоянием между ними:

Плоскости в пространстве

Говорят, что две плоскости пересекаются, если в одной из них существуют точки как принадлежащие другой плоскости, так и не принадлежащие ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку:

Говорят, что две плоскости совпадают, если каждая точка одной плоскости является точкой другой, и наоборот:

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек:

Через точку вне плоскости можно провести плоскость параллельную данной и притом только одну.

Признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны:

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Длина некоторого отрезка выражает расстояние между двумя параллельными плоскостями, если этот отрезок является общим перпендикуляром этих плоскостей:

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.

Полуплоскости, о которых шла речь, называются гранями двугранного угла, а прямая – ребром двугранного угла:

α и β – грани, KL – ребро двугранного угла.

Все линейные углы данного двугранного угла совмещаются параллельным переносом и равны.

Мера линейного угла служит мерой и двугранного угла, которому этот линейный угол соответствует.

Линейные углы, соответствующие равным двугранным углам, равны. И наоборот: равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшая из мер двухгранных углов, образованных этими плоскостями.

Две плоскости называются перпендикулярными ( α⊥β ), если угол между ними равен 90°.

Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°.

Если φ – величина угла между некоторыми двумя плоскостями, то

Признак перпендикулярности плоскостей:

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны:

Прямая, проведённая в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости:

Некоторые свойства прямых и плоскостей

Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны:

Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; более того, эта прямая образует с параллельными плоскостями равные углы:

Прямые, полученные при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны между собой:

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:

Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны:

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:

Источник

Прямые и плоскости в пространстве

Описание презентации по отдельным слайдам:

Составитель: Кулешова Анастасия Владимировна

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. С точки зрения геометрии плоскость следует представлять как простирающуюся неограниченно во все стороны. Плоскость изображается: В виде параллелограмма В виде овала(облачка) Понятие плоскости.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. А В А В С а А α Аксиомы стереометрии

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. О а в а А Следствия из аксиом стереометрии

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. a Параллельность прямой и плоскости.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. a a b Свойства параллельности прямой и плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Параллельность плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. a1 b1 а b M Признак параллельности плоскостей.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. a b Свойства параллельных плоскостей.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. А 7. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. a b c Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикуляр-ная к данной плоскости, и притом только одна. O A c Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.

Расстояние, т.е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α. Например, AH. А Н М Расстояние от точки до плоскости.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. А Н М а α Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции. А Н М а α Обратная теорема о трех перпендикулярах.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. М а А Угол между прямой и плоскостью.

Определение 1. Двугранным углом называется часть пространства, ограниченная двумя полуплоскостями, границей каждой из которых служит их общая прямая. Двугранный угол также называют углом между данными плоскостями. Определение 2. Плоскости (полуплоскости), которые ограничивают двугранный угол, называются гранями двугранного угла. Определение 3. Линия пересечения граней двугранного угла называется ребром двугранного угла. Определение 4. Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя полупрямыми, полученными при пересечении граней двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру этого двугранного угла. Значение линейного угла данного двугранного угла есть значение данного двугранного угла. Двугранный угол.

Определение 1. Фигура, образованная тремя лучами (ребрами), исходящими из одной точки (вершины) и не лежащими в одной плоскости, и тремя частями плоскостей (гранями), заключенных между этими частями, называется трехгранным углом. Определение 2. Грань трехгранного угла называется также плоским углом трехгранного угла. Определение 3. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла. Определение 4. Несколько плоскостей, пересекающихся в одной точке, разбивают пространство на части, каждая из которых может быть названа многогранным углом. Трехгранный угол.

Другое изображение перпендикулярных плоскостей:

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. А С Признак перпендикулярности плоскостей.

Другой рисунок. Если плоскость β проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости α, то β перпендикулярна α А

Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1576022

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В российских школах могут появиться «службы примирения»

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Дума проведет расследование отклонения закона о школьных онлайн-ресурсах

Время чтения: 2 минуты

В Думу внесли законопроект об обязательном образовании для находящихся в СИЗО подростков

Время чтения: 2 минуты

Большинство родителей в России удовлетворены качеством образования в детсадах

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости

Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости. Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.

Параллельные прямые и плоскость – основные сведения

Прямая и плоскость называются параллельными, если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности

Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости. Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.

Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.

Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.

Значит, перпендикулярность векторов a → и n → очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.

Ответ: прямая с плоскостью параллельны.

Отсюда следует, что прямая А В с координатной плоскостью О y z не являются параллельными.

Ответ: не параллельны.

Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат О х у z не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:

Система уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.

Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:

Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.

Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Ответ: прямая и плоскость параллельны.

Источник

Аксиомы стереометрии. Параллельность прямой и плоскости. 1. Прямая пересекает 2 стороны треугольника. Лежит ли она в плос

Параллельность прямой и плоскости.
1. Прямая пересекает 2 стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
2. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскостим?
4. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?
5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости. Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?
6. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки; две различные точки; через прямую и не лежащую на ней точку; через две параллельные прямые?
7. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости; через любые три точки проходит единственная плоскость?
8. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости Может ли данная прямая пересечь какуб-либо прямую, лежащую в плоскости?
9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости A. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?
10. Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей А и В. Каково взаимное расположение а и А; в и В?
11. Прямая в непараллельна линии пересечения плоскостей а и в. Какого взаимное расположение в и а; в и В?
12. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой?
13. Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.
14. Плоскость А параллельна одной из двух параллельных прямых. Каково взаимное расположение вторпой прямой и плоскости А?
15. Сторона АВ параллелограмма АВСD лежит в плоскости а. Докажите, что сторона CD параллельна этой плоскости.
16. Прямая пересекает плоскость. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?
17. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?
18. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?
19. Прямые а и в скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и в быть параллельными Пересекаться?
20. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?
21. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?
22. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в этой плоскости, скрещиваются?

Источник