На чем основан принцип неизменности первоначальных геометрических размеров
Принцип неизменности начальных размеров
Для большинства расчетных схем, используемых в сопротивлении материалов, уравнения равновесия составляются для размеров недеформированного тела, то есть без учета его деформаций в процессе нагружения (рис.1.4, размер L).
Принцип суперпозиции
Нагружение и деформации (d) не зависят от порядка приложения сил, и действие суммы сил равняется сумме их действий (рис1.6). Пусть к телу приложены сосредоточенная нагрузка Р и распределенная нагрузка q, тогда принцип можно записать в виде:
Для стержня, жестко заделанного по концам и равномерно нагретого, общая деформация есть сумма силовой и температурной деформации.
Таким образом, для сложных задач можно получить общее решение как результат наложения частных решений.
Принципу подчиняются системы, в которых соблюдается условие пропорциональности между перемещениями и внешними силами. Предполагается также обратимость нагрузки и разгрузки. Правомерно наряду с силовыми факторами рассматривать температурные и иные физические воздействия, учитывать зазоры.
Принцип Сен-Венана.
На расстояниях, превышающих характерные области приложения нагрузки (b на рис 1.7), напряжения и деформации для всех статически эквивалентных сил практически одинаковы. Иначе говоря, по мере удаления от точки приложения нагрузки особенности способа ее приложения сглаживаются и происходит выравнивание силовых потоков. Как и многие другие принципы, принцип Сен-Венана в общем виде не доказывается, но в частных случаях полностью подтверждается методами теории упругости и экспериментами.
Принцип Д’ Аламбера.
Данный принцип гласит, что к движущейся с ускорением системе могут быть применены соотношения статики при условии, что в число внешних сил включена фиктивная сила инерции, равная произведению массы на ускорение, и направленная против ускорения. Принцип позволяет свести решение многих задач динамики к известным методам решений задач статики, что будет продемонстрировано в главе 11. Принцип доказывается аналитически.
Классификация сил
Внешние силы
Внешние силы могут быть объемными, поверхностными, сосредоточенными. К объемным силам относят: гравитационные, инерционные, температурные, пьезоэлектрические, магнитострикционные, «памяти формы» и другие. В число внешних включаются и реакции связей, опор, дополняющих систему до равновесной. При расширении границ рассматриваемого объекта некоторые внешние силы становятся внутренними.
Внутренние силы
Силовые факторы
Сила, направленная вдоль оси протяженного элемента, вызывает либо его растяжение, либо сжатие. Поперечные силы вызывают срез поперечного сечения элемента. Сила, имеющая плечо относительно некоторой точки, создает момент силы, который в зависимости от направления может иметь характер крутящего, или изгибающего момента. Силы и моменты могут быть сосредоточенными и распределенными либо по линии, либо по поверхности. Сосредоточенные моменты, подобно сосредоточенным силам, могут быть изображены в виде вектора, и над ними могут выполняться аналогичные операции разложения.
Базовые понятия
Уравнения равновесия
Для любой выделенной части конструкции или ее узла можно записать условия статического равновесия. Равенство нулю суммы проекций сил или моментов на координатные оси дает набор уравнений, необходимый для определения величины и знака этих сил и моментов. Если этих уравнений достаточно для решения задачи, то расчетная схема называется статически определимой.
Гипотезы и допущения в сопромате
Гипотеза сплошности и однородности
Материал представляет собой однородную сплошную среду; свойства материала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела. Атомистическая теория дискретного строения вещества во внимание не принимается. Гипотеза позволяет не учитывать особенности кристаллической структуры металла, разный химический состав и прочностные свойства связующего и наполнителей в пластмассах, бетонах (щебень, песок, цемент), наличие сучков в древесине.
Гипотеза об изотропности материала
Физико-механические свойства материала одинаковы по всем направлениям. В некоторых случаях предположение об изотропии неприемлемо, материал является анизотропным. Так, анизотропными являются древесина, свойства которой вдоль и поперек волокон различны, а также армированные (композиционные) материалы.
Гипотеза об идеальной упругости материала
Тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию.
Гипотеза о пропорциональности между нагрузками и деформациями
Перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения (справедлив закон Гука). В действительности реальные тела можно считать упругими только до определенных величин нагрузок, и это необходимо учитывать, применяя формулы сопротивления материалов.
Гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений)
Поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси в деформированном состоянии; при изгибе сечения поворачиваются не искривляясь.
Принцип Сен-Венана
В сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагружения и определяется только статическим эквивалентом нагрузки. Резко выраженная неравномерность распределения напряжений по сечению 2-2, показанная на рисунке, постепенно выравнивается (сечение
3-3) и на удалении, равном ширине сечения (сечения 4-4 и 5-5), исчезает.
Рис. 1.1. Распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня при растяжении сосредоточенной силой
Принцип Д’Аламбера
Если к активным силам, действующим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей присоединить силы инерции, то получится уравновешенная система сил. Принцип используется в расчетах на прочность при динамическом действии сил.
Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции)
Результат воздействия нескольких внешних факторов равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения. Это же справедливо и в отношении деформаций.
Принцип начальных размеров (гипотеза о малости деформаций)
Деформации в точках тела настолько малы по сравнению с размерами деформируемого тела, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу. Допущение применяют при составлении условий статики, считая тело абсолютно твердым.
Допущение об отсутствии начальных внутренних усилий в теле до приложения нагрузки
Почти во всех реальных деталях и элементах конструкций указанное допущение полностью не выполняется. Внутренние напряжения возникают в деревянных конструкциях вследствие неравномерного высыхания; в стальных и чугунных отливках – вследствие неравномерного охлаждения; в стальных деталях – вследствие термической (закалка…) и механической (шлифование…) обработок. Формирование колесных пар для железнодорожных вагонов осуществляют путем запрессовки колес на ось. За счет натяга создаются напряжения в ступице колеса и подступичной части оси.
Замечание о точности расчетов в сопромате и округлениях результатов.
Напряжение, перемещение, деформации.
ВСФ, определяется с помощью метода сечения.
Классификация сил и нагрузок. Метод сечений.
Допущения и гипотезы в сопротивлении материалов.
Реальный объект и расчетная схема изучаемого объекта.
Структура дисциплин механического цикла
 |
Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, называется расчетной схемой.
· Брус
Брусом называется геометрическое тело, два размера которого намного меньше его третьего размера.
· с постоянным сечением;
·
 |
с переменным сечением;
·
 |  |
с комбинированным сечением.
Примеры: балки, оси, валы, стержни, крюки, брусья, звенья цепей и т. д.
· Оболочка
Оболочкой называется геометрическое тело, длина и ширина которого значительно больше её толщины.
 |
По форме различают:
Примеры:резервуары для хранения нефтепродуктов и газа, трубопроводы, купола зданий, корпуса машин, самолетов, судов
· Пластина
Пластиной называется оболочка с плоской поверхностью.
 |
Примеры: плоские днища и крышки резервуаров, перекрытия инженерных сооружений, диски турбомашин.
· Массив
Массивом называется геометрическое тело, все три размера которого величины одного порядка.
 |
Примеры: парапеты, фундамент зданий и т.д.
Допущения о свойствах материалов и допущения о деформации.
1. Допущение о сплошности (понятие, предполагающее, что материал полностью заполняет занимаемый им объем);
2. Допущение об однородности (одинаковость свойств материала во всех его точках);
4. Допущение об идеальной упругости (полностью восстанавливать форму и размеры после устранения причин, вызывающих эти изменения: силовые воздействия, температурные воздействия).
· упругие (обратимые, т.е. исчезают после удаления причин их вызывающих);
1. Гипотеза об отсутствии первоначальных внутренних усилий;
2. Принцип отвердевания (неизменность начальных размеров);
3. Гипотеза о линейных деформациях тел (закон Гука);
4. Принцип суперпозиции (независимость действия сил);
5. Гипотеза плоских сечений (плоские поперечные сечения бруса до деформации остаются плоскими и нормальными к оси бруса после деформации);
6. Принцип Сен-Венана.
· Внешними силами называют силы, которые выражают действия на тело других тел или внешней среды.
· Внутренними силами называется усилия или моменты, выражающие действия одной части на другую внутри какой-либо изолированной системы.
Внешние нагрузки (ВН) по характеру действия:
· динамические (внезапно приложенные, ударные, циклические).
ВН по видам приложения:
·распределенные: (1) объемные;
 |  |  |
ВН по возникновению:
· активные (силы, моменты);
· реактивные (реакции опор).
Опоры и опорные реакции
 |  |  |  |
1)шарнирно-неподвижная опора 2)шарнирно-подвижная опора
3)жесткая заделка
Внутренние силовые факторы (ВСФ), общий случай нагружений
где N – нормальная сила;
Mz – крутящий момент;
Метод сечения – алгоритм из четырех действий. (Правило РОЗУ)
Р – разрезаем брус сечением, перпендикулярным его оси.
О – отбрасываем ту часть бруса, в которой больше всего неизвестных.
З – заменяем действия отброшенной части соответствующей равнодействующей.
У – уравновешиваем полученную систему (∑Fi=0; ∑Mi=0).
В теоретической механике доказана теорема Пуассона.
Теорема Пуассона:
Всякую систему сил относительно любой точки можно привести к эквивалентной системе, состоящей из главного вектора и главного момента, выходящих из этой точки.
 | |
 |  |
Для того чтобы система находилась в состоянии равнодействия, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент были равны 0.
Напряжением называется интенсивность внутренней силы в данной точке поперечного сечения (т.е. внутренняя сила, деленная на единицу площади). Аналог напряжения – давление.
Полным напряжением в точке называется отношение равнодействия сил к элементу имеющегося поперечного сечения.
где ρ – полярный радиус (кратчайшее расстояние от точки приложения до центра тяжести)
τx— касательное напряжение
τy— касательное напряжение
σ- нормальное напряжение
Несложно установить зависимость между внутренними силовыми факторами и напряжением.
Замечание: Направление действия напряжения совпадает с направлением действия, вызывающих их сил.
 |
 |
· Абсолютная линейная деформация
— это разность между конечной и начальной длиной стержня.
· Относительная линейная деформация
— 
это безразмерная величина, равная отношению абсолютной величины линейной деформации к первоначальной длине стержня.
· Абсолютная угловая деформация (абсолютный сдвиг)
— возникает при смещении двух параллельных плоскостей друг относительно друга под действием поперечных сил.
· Относительная угловая деформация (относительный сдвиг)
отношение абсолютной угловой деформации к расстоянию между сдвигающимися плоскостями:
 |
 |
Деформированное состояние точки тела полностью определяется
6-ю компонентами деформации:
 |
Перемещенияявляются абсолютными величинами, выражаемыми в единицах длины или в радианах.
Центральное рстяжение-сжатие – такой вид деформации бруса, при котором в его поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор отличный от 0 – нормальная (продольная) сила N, приложенная в центре тяжести поперечного сечения груза.
Если N действует от сечения, то она вызывает растяжение (увеличение длины) и считается положительной.
Если N действует к сечению, то она вызывает сжатие (укорочение бруса) и считается отрицательной.
Принципы сопротивления материалов.
Таких принципов (основных правил) три.
1. Принцип неизменности начальных размеров.
Будем считать, что перемещения, возникающие в системах, малы по сравнению с их размерами.
Так, например, определяя изгибающий момент в балке, мы не учитываем того обстоятельства, что в результате изгиба балки плечо у силы изменится.
2. Принцип независимости действия сил.
Если на систему действуют несколько сил, то напряжения (перемещения, деформации, внутренние силовые факторы), возникающие от совместного действия этих сил, можно определить следующим образом: определить от действия каждой из сил порознь и результаты сложить.
Справедливость этого принципа вытекает из принятия изложенного выше принципа неизменности начальных размеров и допущения, что между напряжениями и деформациями существует связь, определяемая простейшим законом – законом линейной упругости (закон Гука). В этом случае поведение наших конструкций будет описываться математически линейными системами, с этой точки зрения принцип независимости действия сил есть не что иное, как хорошо знакомый принцип суперпозиции.
3. Принцип Сен-Венана.
Способ приложения нагрузки не сказывается в точках, достаточно удаленных от места приложения нагрузки. Например, две совершенно одинаковых консольных балки нагружены одной и той же по величине силой 
, но в первом случае эта сила есть давление опирающейся на данную балку другой балки, а во втором случае к балке через проушину подвешен груз . Ясно, что характер распределения напряжений в месте нагружения здесь будет совершенно различным, но в сечениях достаточно удаленных от приложения нагрузки индивидуальные особенности передачи нагрузки сказываться не будут.
Принцип Сен-Бенана дает возможность заменять действующие силы системами статически эквивалентными. Это позволяет схематизировать силы, действующие на конструкцию.
В частности, системы статически эквивалентные нулю вызывают напряжения лишь в локальной области. Например, полоса сжата клещами. В этом случае возникают только местные напряжения.
Принцип Сен-Венана имеет ограниченное применение для тонкостенных стержней.
ЛЕКЦИЯ II
Растяжение и сжатие.
Растяжением будем называть такое нагружение стержня, когда в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор – нормальная сила.
Для того чтобы возникло растяжение необходимо, чтобы внешние силы, приложенные по торцам стержня, были статически эквивалентны сосредоточенной силе, приложенной по оси стержня.
Схематизируя силы, приложенные к стержню, мы используем принцип Сен-Венана, который в данном конкретном случае примет следующий вид: “Способ приложения нагрузки не сказывается в сечениях достаточно удаленных от места приложения нагрузки”.
Например, стержень одной и той же длины и сечения загружается разным образом. В первом случае имеется закладная головка, которая помещена в захваты испытательной машины, во втором случае она представляет собой равнодействующую давления со стороны болта или заклепки. Безусловно, что характер распределения напряжений в месте передачи нагрузки, совершенно различный и весьма сложный. Однако, на расстояниях равных примерно характерному размеру поперечного сечения, индивидуальности в передачи нагрузки не сказываются, и для обоих случаев может быть принята одна и та же расчетная схема: Стержень загружен по торцам сосредоточенными силами, направленными по оси.
Параллельно с растяжением мы будем рассматривать и случай сжатия, отличая его от растяжения лишь знаком нормальной силы и напряжения. Но в данной лекции мы будем рассматривать сжатие коротких стержней, длина которых не превышает нескольких размеров поперечного сечения.