На что делится 327

Признаки делимости чисел

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Источник

Как узнать, делится ли число без остатка на 7 и 8?

Когда я учился в школе и решал задачки по математике, очень часто хотелось узнать, делится одно число на другое (предполагается, что делитель меньше 10) или нет без остатка. Обычно при решении таких примеров учителя запрещали пользоваться калькулятором, а вычисления в «столбик» были относительно длительны. Я нередко ошибался и получал несуразные результаты. А знание того, что число заведомо разделится без остатка, было бы здесь совсем не лишним.

Потом, не помню в каком классе, нам рассказали о некоторых признаках делимости. Давайте вместе вспомним их. (Предупреждение: я не являюсь ни учителем математики, ни аспирантом математических наук, поэтому буду излагать не научно правильно, а как умею. Учителям математики просьба — не придираться по этому поводу).

Число без остатка делится на 2, если делится на 2 его последняя цифра. То есть если последняя цифра — четная. Объясняется это просто. Число 10 — четное. Сколько десятков к четной цифре ни добавляй, оно все равно останется четным.

По-другому с тройкой. Число без остатка делится на 3, если делится на 3 сумма всех его цифр. Например, 327. Сумма его цифр: 3+2+7=12. 12 делится на 3 без остатка, значит, и число 327 делится на 3 без остатка. (327: 3 = 109).

Далее. Число без остатка делится на 4, если делится на 4 число из двух последних его цифр. Число 100 делится без остатка на 4, и, следовательно, сколько сотен ни добавляй, оно все равно будет делиться на 4. Если двухзначное число выходит за таблицу умножения, то от него следует отнять 40 и узнать, делится ли полученное число на 4.

Например, 56. Вы, допустим, затрудняетесь сказать, делится ли оно на 4. Тогда от его нужно отнять 40. Получается 16, а оно делится на 4. Следовательно, и 56 делится на 4. А также 156, 356, 756, 1556, 3756 — все они будут делиться на 4. Значение имеют лишь две последние цифры числа.

Очень простой признак делимости на 5. Число без остатка делится на 5, если оно заканчивается цифрой 5, либо цифрой 0. Здесь, я думаю, комментарии не требуются.

Про признак делимости на 6 в школе не рассказывают. Однако любой ученик с более-менее живым умом легко до него додумается. Поскольку 6 = 2×3, то для того, чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться и на 2, и на 3. А признаки делимости на эти числа нам уже известны. Число без остатка делится на 6, если оно четное и если его сумма цифр делится на 3.

Важно! Я в школьные годы очень часто делал ошибки, думая, что если сумма цифр числа делится на 6, то и само число будет делиться на 6. Это не так. Например, 123. Сумма его чисел равна 6. Но оно не делится на 6, так как является нечетным (123: 6 = 20,5).

Ну и еще в школе рассказывают про признак делимости на 9. Он полностью аналогичен признаку делимости на 3. Число без остатка делится на 9, если делится на 9 сумма всех его цифр.

Как видим, в этом списке нет признаков делимости на 7 и 8. Недавно я, пораскинув мозгами на досуге, сумел найти эти признаки.

Начнем с числа 8 — это проще. Число 100 не делится без остатка на 8 (100: 8 = 12,5). И, следовательно, такой финт, как с четверкой, не пройдет. Например, 332. Число из двух последних цифр делится на 8, но 332: 8 = 41,5. Однако на 8 делится без остатка число 1000 (1000: 8 = 125). Таким образом, если трехзначное число, например 256, делится на 8, то к нему можно прибавить тысячу (которая тоже делится на 8), и оно по-прежнему будет делиться на 8.

256: 8 = 32.
1256: 8 = 157.

Далее: 2256, 5256, 15256, 27256 — все они будут делиться на 8. Таким образом, число без остатка делится на 8, если делится на 8 число из трех последних его цифр.

Здесь, наверно, у многих возникнет ехидная усмешка. Мол, спасибо, ты нам сильно помог. Как же мы узнаем, делится ли на 8 трехзначное число? Не волнуйтесь, есть способ.

Поскольку 8 = 2×4, то чтобы число делилось на 8, требуется, чтобы оно делилось и на 4. Это условие необходимое, но не достаточное. Далее можно поступить по аналогии с тысячей. Мы уже выяснили, что 100 не делится на 8 без остатка. Однако число 200 делится — 200: 8 = 25. Таким образом, если в трехзначном числе число из двух последних цифр делится на 8, а первая цифра четная, то и само трехзначное число разделится на 8. Если же первая цифра нечетная, то число из двух последних цифр должно делиться на 4, но не делиться на 8.

Подытожим все сказанное. Число без остатка делится на 8, если делится на 8 трехзначное число из трех последних цифр числа. Трехзначное число без остатка делится на 8, если:

1) его первая цифра четная, а число из двух последних цифр делится на 8;
2) его первая цифра нечетная, а число из двух последних цифр делится на 4, но не делится на 8.

Звучит это, возможно, грозно, однако ничего сложного здесь нет. Потренируйтесь, и вы быстро научитесь.

Значит, чтобы узнать, что число делится на 7, нужно от трехзначного числа, образованного тремя последними цифрами исходного, отнять число тысяч. Если полученное число делится на 7, то и исходное будет делиться на 7. Например, 3752. Здесь трехзначное число, образованное последними цифрами — 752, число тысяч — 3. Вычитаем: 752 — 3 = 749. Таким образом, задача свелась к отысканию делимости трехзначного числа 749.

Здесь у многих опять возникнет ехидная усмешка. Мол, как же узнать, делится ли это число на 7? Сразу скажу, способ есть. Подробно расписывать не буду, предлагаю читателям самим додуматься. Скажу лишь основную предпосылку: на 7 без остатка делится число 105 (105: 7 = 15).

Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 7, нужно число сотен умножить на 5 и полученное число отнять от двухзначного числа, образованного двумя последними цифрами. Так в числе 749 число сотен — 7; 7×5 = 35; 49 — 35 = 14, а 14 делится на семь. Следовательно, и 749, и 3752 делятся на 7 без остатка.

749: 7 = 107.
3752: 7 = 536.

Сформулируем признак делимости на 7. Число больше трехзначного без остатка делится на 7, если делится на 7 трехзначное число, равное разности между числом, образованным тремя последними цифрами исходного и количеством тысяч в числе. Трехзначное число без остатка делится на 7, если делится на 7 число, равное разности между числом, образованным двумя последними цифрами исходного и количеством сотен в числе, умноженным на 5.

Формулировка довольно сложная, поэтому разберем пример. Возьмем число 17 969. На первом этапе надо от трехзначного числа, образованного тремя последними цифрами (969), отнять количество тысяч в числе (17). Получим 969 — 17 = 952. Таким образом, наша задача свелась к отысканию делимости на 7 этого числа. В этом состоит второй этап. Для этого нужно от числа, образованного двумя последними цифрами (52), отнять число сотен (9), умноженное на 5 (9×5 = 45); 52 — 45 =7. Семь без остатка делится на 7, значит, делятся на 7 и 952 (952: 7 = 136), и 17 969 (17 969: 7 = 2 567).

На этом у меня все. Если есть вопросы, задавайте.

Источник

Диагностическая работа 10 класс «Делимость чисел»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

(Алгебра 10 класс, УМК Колягин и др.)

Не выполняя деления, найти остаток от деления числа 485638 на 5

Найти действительные корни уравнения:

Доказать, что число 9 15 – 3 27 делится на 26.

Найти все целочисленные решения уравнения: а) 26 х + 39 у = 15;

Не выполняя деления, найти остаток от деления числа 728362 на 5

Найти действительные корни уравнения:

Доказать, что число 2 36 + 4 16 делится на 17

Найти все целочисленные решения уравнения: a ) 5 х + 3 у = 17;

(Алгебра 10 класс, УМК Колягин и др.)

Не выполняя деления, найти остаток от деления числа 874569 на 5

Найти действительные корни уравнения:

Доказать, что число 25 6 + 5 13 делится на 30.

Найти все целочисленные решения уравнения: a ) 7 х – 9 у = 23;

Не выполняя деления, найти остаток от деления числа 567893 на 5

Найти действительные корни уравнения:

Доказать, что число 16 10 – 2 35 делится на 31.

Найти все целочисленные решения уравнения: : а) 36 х + 45 у = 11;

а) нет решения; b ) (7, 6); (-7,-6); (-7,6);(7,-6).

(2 36 +4 16 ):17=(2 36 +2 32 ):17=2 32 (2 4 +1):17=2 32

(25 6 +5 13 ) : 6= (5 12 +5 13 ):6=5 12 (1+ 5):6=5 12

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-760530

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

В МГПУ сформулировали новые принципы повышения квалификации

Время чтения: 4 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Учителям истории предлагают предоставить право бесплатно посещать музеи

Время чтения: 2 минуты

Утверждено стратегическое направление цифровой трансформации образования

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Решение №2563 Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

а) Да, может. Дано трёхзначное число аbc, которое можно записать как а·100 + b·10 + c·1 и сумма его чисел а + b + c (а,b и с – целые). Их отношение должно быть равно 34:

Заметим, удобные коэффициенты 22 и 11. Что бы обе части уравнения были равны, возьмём b = 0, a = 1, c = 2:

22·1 = 8·0 + 11·2
22 = 22

Значит отношение равно 34, если взять число abc = 102, проверим:

б) Нет, не может. Аналогично пункту а) распишем отношение равное 84:

Переменная а может быть равна от 1 до 9, переменные b и с равны от 0 до 9.
В левой части уравнения можем получить следующие значения:

16·1 = 16
16·2 = 32
16·3 = 48
16·4 = 64
16·5 = 80
16·6 = 96
16·7 = 112
16·8 = 128
16·9 = 144

В правой части уравнения можем получить, запишем по возрастанию:

74·0 + 83·0 = 0
74·1 + 83·0 = 74
74·0 + 83·1 = 83
74·2 + 83·0 = 148
74·1 + 83·1 = 157

Дальше перебирать нет смысла, значения будут больше значений левой части (144).
Ни одно значение левой и правой части не совпадает, значит отношение не может быть равно 84.

в) Аналогично пункту а) запишем отношение с первой цифрой (а) равной 4 и упростим:

Заметим, что бы дробь была наименьшей знаменатель 4 + b + c должен быть наибольшим. Т.к. числитель делится на 9 (3·3 = 9), то знаменатель должен делится хотя бы на 3.
Наибольший знаменатель может быть равен:

4 + 9 + 9 = 22

Но он не делится на 3. Запишем знаменатели которые мы можем получить и которые делятся на 3:

21; 18; 15; 12; 9; 6

1. Если знаменатель равен 21:

То возможны следующие случаи:

2. Если знаменатель равен 18:

То возможны следующие случаи:

Выбираем наименьшее целое значение, отношения трёхзначного числа:

Получается оно при цифрах: а = 4, b = 6, c = 8, и соответственно трёхзначном числе 468.

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.

Источник

Доказать,что число 10^327+56 делится на 11

Ответ оставил Гуру

Способ 110. +56=10*100. +56?10*1. +1(mod 11)=10*1+1=10+1=11?0(mod 11)А это значит, что исходное число кратно 11.В решении использовались свойства сравнения чисел по модулю————-Способ 2Каждый одночлен из суммы в скобках содержит в своем разложении на множители хотя бы одно число 11, а значит все выражение в скобках кратно 11. 5*11 кратно 11. Значит исходное число кратно 11Был использован бином Ньютона

Ответ оставил Ser012005

всего 328 знаков в числе

число делится на 11, если сумма чисел, стоящих на чётных местах равно сумме чисел, стоящих на нечётных местах.

нули считать не будем;)
Итак, нечётные места:
1 стоит на 1 месте, 5 стоит на 327 м
их сумма =6

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Алгебра.

Источник