На что может делиться 29

Признаки делимости чисел

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Источник

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

Источник

Как делится имущество при разводе

Кому чайник, а кому — машина

Если совместно нажитое имущество не разделить за 3 года, оно навсегда останется в общей собственности бывших супругов.

Но это не единственная проблема, с которой можно столкнуться при разделе имущества. Например, сложно доказать, что квартира или дом не общие и их не нужно делить пополам, если кто-то в браке потратил на покупку личные деньги.

Я юрист, и у меня спрашивают, как поделить построенный в браке дом или как при разводе не отдавать жене машину, если работал только муж. В статье я расскажу, что бывшие супруги могут поделить, а что останется их личной собственностью, как поделить все мирно или через суд и как обжаловать судебное решение о разделе, если оно нарушает ваши права.

Что вы узнаете

Законодательство

Правила раздела имущества при разводе закреплены в третьем разделе семейного кодекса. Там сказано, что по умолчанию все имущество, что приобретено супругами в браке, общее и делится поровну — независимо от того, на чье имя оно записано.

Исключение: если один супруг получил что-то в подарок, по наследству или в результате приватизации, то это его личная собственность, которая при разводе не делится. И если супруг заплатил за что-то добрачными деньгами или деньгами от продажи полученного безвозмездно имущества, то это тоже неделимое имущество.

Также супруги могут заключить брачный договор и прописать в нем другие правила.

Еще на случай раздела имущества при разводе пригодится глава 16 гражданского кодекса — об общей собственности и о том, как ею пользоваться и разделить. А о нюансах бракоразводного процесса можно прочесть в постановлении Пленума Верховного суда РФ от 05.11.1998 № 15.

Нужно ли делить имущество

Делить имущество — это право, а не обязанность бывших супругов. Например, если за время брака вы покупали только недорогие бытовые приборы и можете договориться, кто заберет чайник, а кто микроволновку, то составлять какие-либо документы о разделе имущества или идти в суд не нужно. Но если вы много лет прожили вместе и хотите официально определить, кому достанется дом, а кому — машина, придется делить имущество официально.

Что будет, если не делить имущество при разводе. Много лет действовала практика, что если в течение трех лет после развода бывшие супруги не поделили имущество, значит, они договорились о сохранении фактического порядка дел. То есть если жена после развода увезла диван, а муж не попросил половину денег за него, то через три года этот диван полностью принадлежит жене. Или если муж в период брака стал титульным собственником квартиры — то есть владельцем по документам, а жена в течение трех лет не пошла в суд признавать свое право на половину жилья, то позже она уже ничего не сможет требовать и все достанется мужу.

В последние годы судебная практика поменялась: теперь неподеленное в трехлетний срок приобретенное в браке имущество навсегда остается общей совместной собственностью. На самом деле по закону всегда было так, и пленум Верховного суда РФ еще в 1998 году так постановил, но почему-то раньше правовые нормы толковались наоборот.

Например, женщине из Санкт-Петербурга пришлось два года доказывать, что купленная в браке машина осталась в совместной собственности, а не перешла единолично к мужу, раз ее вовремя не поделили в суде. Дело попало в Верховный суд, и только там судьи вспомнили про старые разъяснения относительно имущества, которое не разделили.

Спустя несколько лет тот же вопрос подняли бывшие супруги из Московской области. В браке две квартиры записали на жену, а через четыре года муж потребовал отдать ему одну из квартир. И снова только Верховный суд подтвердил, что все не поделенное при разводе остается общим.

При этом чем больше времени пройдет с момента развода, тем больше сил придется потратить на судебный спор, если возникнут разногласия об использовании общего имущества. А в случае с машиной, например, может оказаться нечего делить.

Источник

Признаки делимости

Как правило, признаки делимости применяются при ручном счёте и для чисел, представленных в конкретной позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Содержание

Понятия делимости, равноделимости и равноостаточности

Если для двух целых чисел и существует такое целое число что

то говорят, что число делится на

Два целых числа и равноостаточны при делении на натуральное число (или сравнимы по модулю ), если при делении на они дают одинаковые остатки, то есть существует такие целые числа что

Общие принципы построения

Пусть требуется определить, делится ли некоторое натуральное число на другое натуральное число Для этого будем строить последовательность натуральных чисел:

Тогда если последний член этой последовательности равен нулю, то делится на в противном случае на не делится.

Способ (алгоритм) построения такой последовательности и будет искомым признаком делимости на Математически он может быть описан с помощью функции определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

удовлетворяющей следующим условиям:

Если требование равноделимости для всех членов последовательности заменить на более строгое требование равноостаточности, то последний член этой последовательности будет являться остатком от деления на а способ (алгоритм) построения такой последовательности будет признаком равноостаточности на В силу того, что из равенства остатка при делении на нулю следует делимость на , любой признак равноостаточности может применяться как признак делимости. Математически признак равноостаточности тоже может быть описан с помощью функции определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

удовлетворяющей следующим условиям:

Примером такой функции, определяющей признак равноостаточности (и, соответственно, признак делимости), может быть функция

а последовательность, построенная с её помощью будет иметь вид:

По сути применение признака равноостаточности на базе этой функции эквивалентно делению при помощи вычитания.

Другим примером может служить общеизвестный признак делимости (а также равноостаточности) на 10.

Если последняя цифра в десятичной записи числа равна нулю, то это число делится на 10; кроме того, последняя цифра будет являться отстатком от деления исходного числа на 10.

Математически этот признак равноостаточности может быть сформулирован следующим образом. Пусть надо выяснить остаток от деления на 10 натурального числа представленного в виде

Тогда остатком от деления на 10 будет . Функция, описывающая это признак равноостаточности будет выглядеть как

Легко доказать, что эта функция удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Причём последовательность, построенная с её помощью, будет содержать всего один или два члена.

Также легко видеть, что такой признак ориентирован именно на десятичное представление числа — так, например, если применять его на компьютере, использующем двоичную запись числа, то чтобы выяснить , программе пришлось бы сначала поделить на 10.

Для построения признаков равноостаточности и делимости чаще всего используется следующие теоремы:

Продемонстрируем применение этих теорем на примере признаков делимости и равноостаточности на

Пусть дано целое число

Тогда из первой теоремы полагая будет следовать, что будет равноостаточно при делении на 7 с числом

Запишем функцию признака равноостаточности в виде:

И, наконец, остаётся найти такое , при котором для любого выполняется условие В данном случае и функция приобретает окончательный вид:

А из второй теоремы полагая и взаимно простое с 7, будет следовать, что будет равноделимы на 7 с числом

Учитывая, что числа и равноделимы на 7, запишем функцию признака делимости в виде:

И, наконец, остаётся найти такое , при котором для любого выполняется условие В данном случае и функция приобретает окончательный вид:

Признаки делимости в десятичной системе счисления

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Соответствующая признаку функция (см. раздел «Общие принципы построения»):

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 154, и равноостаточны при делении на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4. Например, число 12342 не делится на 4, так как не делится на 4.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, и равноостаточны при делении на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 73, и равноостаточны при делении на 6.

Признак делимости на 7

Признак 1: число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится Другой пример — число 1001 делится на 7, так как на 7 делятся

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, и равноостаточны при делении на 7.

Признак 2: число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа десятков и удвоенного числа единиц, взятая по модулю, делится на 7. Например, 364 делится на 7, так как на 7 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 3. число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138689257 делится на 7, так как на 7 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 567, и равноостаточны при делении на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например, 12345678 делится на 9, то есть на 9 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 345, и равноостаточны при делении на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 11

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11. Например, 9163627 делится на 11, так как делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как делится на 11.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся и

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, и равноостаточны при делении на 11.

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда модуль разности числа единиц и удвоеного числа десятков делится на 12. Например: 1236 делится на 12, так как делится на 12.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13. Например 845 делится 13, так как на 13 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованое двумя последними цифрами, делится на 20.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 23

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованое двумя последними цифрами, делится на 25.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 27

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимость на 29

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как делится на 29.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Признак делимости на 31

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как делится на 31.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 37

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроеного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Соответствующая признаку функция:

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Соответствующая признаку функция:

Признак делимости на 41

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41. Например, 369 делится на 41, так как делится на 41.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 59

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 79

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся .

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 99

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, и равноостаточны при делении на 99.

Признак делимости на 101

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Общие признаки делимости

Признак делимости на делитель степени основания системы счисления

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноостаточно с числом, образованным младшими его цифрами. Это свойство позволяет построить признак делимости и равноостаточности на делитель степени основания системы счисления.

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 и т. д.

Признак делимости на делитель

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноделимо с суммой чисел, образованных разбиением на группы по цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 и т. д.

Признак делимости на делитель

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноделимо с модулем знакопеременной суммы чисел, образованных разбиением на группы по цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 и т. д.

Признаки делимости в других системах счисления

Признаки делимости в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления (числа записаны в той системе, в которой мы работаем в данный момент):

Если основание системы счисления равно k, то любое число делится на k-1 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на k-1 без остатка. В частности:

Если основание системы счисления равно k, то любое число делится на k+1 тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих нечётные места, отличается от суммы цифр на чётных местах на число, делящееся на k+1. В частности:

Если основание системы счисления делится на некоторое число k, то любое число делится на k тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на k. В частности:

Источник