На диагонали ac параллелограмма abcd взята точка p так что 11 16
На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 24, а один из его углов равен 45°.
а) Возьмём на диагонали AC параллелограмма ABCD точку O (не посередине) и проведём через неё перпендикуляры NL и KM к сторонам параллелограмма (см. рис.). Прямоугольные треугольники CKO и AMO подобны.
Точно так же подобны треугольники CNO и ALO:
Отсюда следует подобие треугольников ONK и OLM. Тогда накрестлежащие углы OML и OKN равны, а поэтому прямые NK и ML параллельны. Следовательно, четырёхугольник KLMN — параллелограмм или трапеция.
Докажем, что это трапеция. Если KLMN — параллелограмм, то ON = OL.
В этом случае OC = OA, то есть O — середина AC. Противоречие. Значит, KLMN — трапеция.
б) Обозначим площадь параллелограмма S, а его острый угол — α. Угол между диагоналями NL и KM трапеции KLMN равен углу между перпендикулярными диагоналям прямыми BC и CD, то есть этот угол равен α.
Поэтому площадь трапеции равна:
Подставляя α = 45° и S = 24, получаем, что площадь трапеции равна
На диагонали ac параллелограмма abcd взята точка p так что 11 16
На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.
а) Возьмём на диагонали AC параллелограмма ABCD точку O (не посередине) и проведём через неё перпендикуляры NL и KM к сторонам параллелограмма (см. рис.). Прямоугольные треугольники CKO и AMO подобны.
Точно так же подобны треугольники CNO и ALO:
Отсюда следует подобие треугольников ONK и OLM. Тогда накрестлежащие углы OML и OKN равны, а поэтому прямые NK и ML параллельны. Следовательно, четырёхугольник KLMN — параллелограмм или трапеция.
Докажем, что это трапеция. Если KLMN — параллелограмм, то ON = OL.
В этом случае OC = OA, то есть O – середина AC. Противоречие. Значит, KLMN — трапеция.
б) Обозначим площадь параллелограмма S, а его острый угол – α. Угол между диагоналями NL и KM трапеции KLMN равен углу между перпендикулярными диагоналям прямыми BC и CD, то есть этот угол равен α.
Поэтому площадь трапеции равна:
Подставляя α = 60° и S = 16, получаем, что площадь трапеции равна
На диагонали ac параллелограмма abcd взята точка p так что 11 16
На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N, причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.
б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC, если площадь параллелограмма ABCD равна 48.
а) Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.
Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM — медианы треугольника ABD, значит,
Из подобия треугольников BPN и MPA находим, что
Значит, Из доказанного следует, что BP=PR=RM.
б) Пусть площадь параллелограмма равна S. Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна
Аналогично найдём площадь треугольника BNP. Его высота, проведённая к BN, составляет высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому
Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Решаем задачи по геометрии: пропорциональные отрезки
Теорема 1 (теорема Фалеса). Параллельные прямые высекают на пересекающих их прямых пропорциональные отрезки (рис. 1).
Определение 1. Два треугольника (рис. 2) называются подобными, если соответствующие стороны у них пропорциональны.
Теорема 2 (первый признак подобия). Если угол первого треугольника равен углу второго треугольника, а прилежащие к этим углам стороны треугольников пропорциональны, то такие треугольники подобны (см. рис. 2).
Теорема 3 (второй признак подобия). Если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 3).
Теорема 4 (теорема Менелая). Если некоторая прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны AC — в точке Z (рис. 4), то
Теорема 5. Пусть в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и CC 1 (рис. 5). Тогда треугольники A 1 BC 1 и ABC подобны, причем коэффициент подобия равен cos ∠B.
Лемма 1. Если стороны AC и DF треугольников ABC и DEF лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 6), то
Лемма 2. Если два треугольника имеют общую сторону AC (рис. 7), то
Лемма 3. Если треугольники ABC и AB 1 C 1 имеют общий угол A, то
Лемма 4. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Доказательства некоторых теорем
Доказательство теоремы 4. Проведем через точку C прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой XZ в точке K (рис. 9). Надо доказать, что
Рассмотрим две пары подобных треугольников:
Перемножив почленно эти равенства, получим:
что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 5. Докажем подобие треугольников A 1 BC 1 и ABC при помощи первого признака подобия. Так как эти два треугольника имеют общий угол B, достаточно доказать, что
Решения задач
Задача 1. Дана трапеция ABCD, причем известно, что BC = a и AD = b. Параллельно ее основаниям BC и AD проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке P, диагональ AC в точке L, диагональ BD в точке R и сторону CD в точке Q (рис. 10). Известно, что PL = LR. Найти PQ.
Решение. Докажем сначала, что PL = RQ. Рассмотрим две пары подобных треугольников: Согласно теореме Фалеса имеем: Обозначим теперь PL = LR = RQ = x и рассмотрим снова две пары подобных треугольников: Имеем далее: Значит, Ответ:
Задача 2. В треугольнике ABC угол A равен 45°, а угол C — острый. Из середины N стороны BC опущен перпендикуляр NM на сторону AC (рис. 11). Площади треугольников NMC и ABC относятся соответственно как 1 : 8. Найти углы треугольника ABC.
Задача 3. Дан треугольник ABC, в котором угол B равен 30°, AB = 4 и BC = 6. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке D (рис. 12). Определить площадь треугольника ABD.
Решение. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла: Значит,
Ответ:
Задача 4. Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O (рис. 13). Найти площадь четырехугольника OMCD. Решение. Площадь четырехугольника OMCD будем искать как разность площадей треугольников BCD и BOM. Площадь треугольника BCD равна половине площади параллелограмма ABCD и равна Найдем площадь треугольника BOM. Имеем:
∆ BOM ∼ ∆ AOD ⇒ Далее: Значит,
Ответ:
Задача 5. В прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине B вписан прямоугольный треугольник MNC так, что угол MNC прямой, точка N лежит на AC, а точка M на стороне AB (рис. 14). В каком отношении точка N должна делить гипотенузу AC, чтобы площадь треугольника MNC составляла от площади треугольника ABC?
Аналогично,
так как ∠AMB = ∠AMC + ∠CMD + ∠DMB = = 90° – α + α + 90° – α = 180° – α, и sin ∠AMB = = sin α. Значит:
Таким образом, числа x и y являются корнями квадратного уравнения t 2 – (S 1 + S 2 )t + S 1 S 2 sin 2 α = 0. Больший корень этого уравнения:
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения
С-1. В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведена биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырехугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b. С-2. В равнобедренный треугольник ABC вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании BC, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник, как 8 : 5. Найдите углы треугольника. С-3. В параллелограмме ABCD со сторонами AD = 5 и AB = 4 проведен отрезок EF, соединяющий точку E стороны BC с точкой F стороны CD. Точки E и F выбраны так, что BE : EC = 1 : 2, CF : FE = 1 : 5. Известно, что точка M пересечения диагонали AC с отрезком FE удовлетворяет условию MF : ME = 1 : 4. Найдите диагонали параллелограмма. С-4. Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть E — точка пересечения продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку E и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание BC в точке P, большее основание AD — в точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причем EF : FC = EP : EQ = 1 : 3. Найдите площадь треугольника EPF. С-5. В остроугольном треугольнике ABC (где AB > BC) проведены высоты AM и CN, точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности. Известно, что величина угла ABC равна β, а площадь четырехугольника NOMB равна S. Найдите длину стороны AC. С-6. В треугольнике ABC точка K на стороне AB и точка M на стороне AC расположены так, что выполняются соотношения AK : KB = 3 : 2 и AM : MC = 4 : 5. В каком отношении точка пересечения прямых KC и BM делит отрезок BM? С-7. Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол B прямой) взята точка D так, что площади треугольников ABD и BDC соответственно в три и четыре раза меньше площади треугольника ABC. Длины отрезков AD и DC равны соответственно a и c. Найдите длину отрезка BD. С-8. В выпуклом четырехугольнике ABCD на стороне CD взята точка E так, что отрезок AE делит четырехугольник ABCD на ромб и равнобедренный треугольник, отношение площадей которых равно Найдите величину угла BAD. С-9. Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении AO : OC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника OEC. С-10. Точки K, L, M делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AK : BK = CL : BL = CM : DM = 1 : 2. Известно, что радиус описанной около треугольника KLM окружности равен KL = 4, LM = 3 и KM ∆BCE = 11. Найдите площадь пятиугольника ABCDE. С-23. На основаниях AD и BC трапеции ABCD построены квадраты ADEF и BCGH, расположенные вне трапеции. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Найдите длину отрезка AD, если BC = 2, GO = 7, а GF = 18. С-24. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, а угол BAC равен 45°. Прямая MN пересекает сторону AC в точке M, а сторону BC — в точке N, причем AM = 2MC, а ∠NMC = 60°. Найдите отношение площади треугольника MNC к площади четырехугольника ABNM. С-25. В треугольнике ABC взяты точка N на стороне AB, а точка M — на стороне AC. Отрезки CN и BM пересекаются в точке O, AN : NB = 2 : 3, BO : OM = 5 : 2. Найдите CO : ON.
На диагонали ac параллелограмма abcd взята точка p так что 11 16
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.
а) Докажите, что MK = NL.
б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D — середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL = 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площади четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9.
а) Докажите, что площади четырехугольников MCOB и NDOC равны.
б) Найдите длину отрезка MN.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В трапеции ABCDAD и BC — основания, O — точка пересечения диагоналей.
а) Докажите, что выполняется равенство
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.
а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а её центр находится на вершине A квадрата ABCD.
б) Найдите угол MAN.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно.
а) Докажите, что точка E есть центр вневписанной окружности для треугольников OCB, где O — точка пересечения прямых CD и AB.
б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если угол A равен 35°, угол D равен 145°, а площадь треугольника BCE равна 11.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В параллелограмме ABCDдиагонали пересекаются в точке О, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5. Найти площадь параллелограмма ABCD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке K, а серединный перпендикуляр к стороне AB — в точке M. Найдите если
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, а продолжения сторон AB и CD — в точке O. Отрезок MO перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найдите отношение площадей треугольника AOD и четырехугольника ABCD, если OA = 12, OD = 8, CD = 2.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что Найдите BC, если AB = 12.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В трапеции KLMN известны боковые стороны KL = 36, MN = 34, верхнее основание LM = 10 и Найдите диагональ LN.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Площадь равнобедренной трапеции равна Угол между диагональю и основанием на 20 градусов больше угла между диагональю и боковой стороной. Найдите острый угол трапеции, если ее диагональ равна 2.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дан параллелограмм ABCD. Точка M лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 2 : 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCM равна 60.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 8 и 18. Найдите основания этой трапеции.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В ромбе ABCD со стороной 2 и углом 60° проведены высоты CM и DK. Найдите длину отрезка MK.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Диагонали трапеции равны 13 и а высота равна 5. Найдите площадь трапеции.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В трапеции ABCDВС и AD — основания. Биссектриса угла А пересекает сторону CD в ее середине — точке Р.
а) Докажите, что ВР – биссектриса угла АВС.
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AP = 8, BP = 6.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и АС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О.
а) Докажите, что площади треугольников АОВ и СОЕ равны.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Пусть О — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Периметры треугольников AOB, BOC, COD и DOА равны между собой.
А) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник DOA, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC и COD равны соответственно 3, 4 и 6.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. ВН — высота к большему основанию CD, EF — средняя линия трапеции.
а) Докажите, что BH = DH.
б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Трапеция ABCD с углами при одном основании и описана около круга.
а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой
б) Найдите площадь прямоугольной трапеции если а площадь вписанного круга равна
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD и CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF = FG.
а) Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок EН на три равных части;
б) Найдите EF, если BC = 3, AD = 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В трапеции параллельно основаниям проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах: KL, MN, RS и TQ. Известно, что первый отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, второй — делит ее на два подобных четырехугольника, третий — соединяет середины боковых сторон, четвертый разбивает трапецию на две равновеликие части.
а) Найдите длины этих отрезков.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В равнобокой описанной трапеции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD — основания, проведены: 1) биссектриса угла B; 2) высота из вершины С; 3) прямая, параллельная AB и проходящая через середину отрезка CD.
а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD, если известно, что BC = 8, AD = 18.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В трапеции ABCD площадью, равной 30, диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, а ∠BAC = ∠CDB. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K.
А) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная.
Б) Найдите площадь треугольника AD, если известно, что ∠ AKD=30°, а BC
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В четырехугольник ABCD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM — параллелограмм.
а) Докажите, что ABCD — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В параллелограмме (отличном от ромба) проведены биссектрисы четырех углов.
А) Докажите, что в четырехугольнике, ограниченном биссектрисами, диагонали равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOB и COD равны.
а) Докажите, что точки A и D одинаково удалены от прямой ВС.
б) Найдите площадь треугольника AOB, если известно, что AB = 13, BC = 10, CD = 15, DA = 24.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC = 1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части.
а) Докажите, что точка M — середина стороны АD параллелограмма.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АN, AС, BM и BD равна 16.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, M, P, E — середины сторон AB, BC, CD, и DA соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника KMPE равна половине площади четырёхугольника ABCD.
б) Найдите большую диагональ четырёхугольника KMPE, если известно, что AC = 6, BD = 8, а сумма площадей треугольников AKE и CMP равна
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В параллелограмме АВСD диагональ ВD равна стороне AD.
а) Докажите, что прямая СD касается окружности ω, описанной около треугольника АВD.
б) Пусть прямая СВ вторично пересекает ω в точке К. Найдите КD : AC при условии, что угол ВDA равен
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана трапеция ABCD с основаниями АD и BС. Окружности, построенные на боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках Р и К.
а) Докажите, что прямые РК и ВС перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что АD = 20, BC = 6, AB = 16, DC = 14.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Диагонали АС и СЕ правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что АМ : АС = СN : СЕ и точки В, М и N лежат на одной прямой.
а) Докажите, что точки В, О, N и D лежат на одной окружности (точка О — центр шестиугольника).
б) Найдите отношение АМ : АС.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны АD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ АС в точке Р, АB = PD.
а) Докажите, что отрезок ВЕ перпендикулярен диагонали АС.
б) Найдите площадь параллелограмма, если АВ = 2 см, ВС = 3 см.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ.
а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС.
б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.
а) Докажите, что CO = KO.
б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что сумма углов А, В, С, D, E в вершинах произвольной 5‐конечной везды равна 180° (рис.1).
б) Найдите площадь 5‐конечной звезды, вершины которой совпадают с пятью вершинами правильного шестиугольника, если известно, что сторона последнего равна 6 (рис. 2).
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольнике АВС точка М — середина АС.
а) Докажите, что длина отрезка ВМ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон АВ и ВС.
б) Окружность проходит через точки В, С, М. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой АВ, если известно, что АВ = 5, ВС = 3, ВМ = 2.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В трапеции ABCDBC||AD, Прямая, перпендикулярная
стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а сторону CD — в точке N.
а) Докажите подобие треугольников АВN и DCM
б) Найдите расстояние от точки А до прямой ВN, если МС = 5, ВN = 3, а расстояние от точки D до прямой МС равно 6.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Два борта бильярдного стола образуют угол 7°, как указано на рисунке. На столе лежит бильярдный шар A, который катится без трения в сторону одного из бортов под углом 113°. Отражения от бортов абсолютно упругие. Сколько раз шар отразится от бортов?
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне BC треугольника ABC отмечена K точка так, что AK = 4, ВК = 9, КС = 3. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD и
а) Докажите подобие треугольников АВС и АКС;
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р — середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD = 3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, AD = 2BC.
а) Докажите, что точка Q — середина отрезка AR
б) Найдите площадь треугольника APQ.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дан прямоугольник ABCD. Окружность с центром в точке В и радиусом АВ пересекает продолжение стороны АВ в точке М. Прямая МС пересекает прямую AD в точке К, а окружность во второй раз в точке F.
а) Докажите, что DK = DF.
б) Найдите КС, если BF = 20, DF = 21.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Оказалось, что отрезок АК пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ = ВС.
а) Докажите, что ВК = КE.
б) Найдите площадь четырехугольника CDEК, если известно, что АВ = 13, АЕ = 7, АD = 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD. Отрезок LM содержит точку K. Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD трапеция.
б) Найдите радиус этой окружности, если и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В четырехугольнике ABCD через каждую его вершину проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части.
а) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен 108°?
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точка N делит диагональ трапеции ABCD в отношении Длины оснований BC и AD относятся как Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону AB в точке M.
а) Какую часть площади трапеции составляет площадь четырехугольника MBCN?
б) Найдите длину отрезка MN, если
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точки K и L являются серединами боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC. Точка M расположена на медиане AL так, что Окружность ω с центром в точке M касается прямой AC и пересекает прямую KL в точках P и Q,
а) Найти радиус окружности ω.
б) Найти периметр треугольника ABC.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Внутри параллелограмма ABCD взята точка K так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки K до прямых AD, AB и BC равны соответственно 3, 6 и 5.
а) Найдите площадь параллелограмма.
б) Окружность, описанная около треугольника CKD пересекает сторону AD в точке P. Найдите отношение
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На основаниях AD и BC трапеции ABCD построены квадраты ADMN и BCRS, расположенные вне трапеции. Диагонали трапеции пересекаются в точке T.
а) Докажите, что центры квадратов и точка T лежат на одной прямой.
б) Найдите длину отрезка RN, если а
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и AC равны соответственно 10, 8 и 6.
а) Докажите, что ABCD — прямоугольник.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана трапеция ABCD с основаниями сторона Продолжения боковых сторон пересекаются в точке K, образуя прямой угол AKD. Окружность ω проходит через точки А и В и касается стороны CD в точке P.
а) Найдите площадь трапеции.
б) Найдите радиус окружности ω.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.
б) Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 63, ВС = 25.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.
а) Докажите, что
б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 10. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника АВС вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы АВ, пересекает катет ВС в точке М.
а) Докажите,
б) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 20 и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN = AC.
а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.
б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС = 8.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точка Е — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки ВЕ и СК пересекаются в точке L.
а) Докажите, что EL — медиана треугольника КСЕ.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне АВ треугольника АВС взята точка Е, а на стороне ВС — точка D так, что АЕ = 2, CD = 1. Прямые AD и СЕ пересекаются в точке О. Известно, что АВ = ВС = 8, АС = 6.
а) Докажите, что АО : АD = 8 : 11.
б) Найдите площадь четырехугольника BDOE.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что и Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD = 20.
а) Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
б) Найдите длину радиуса вписанной в треугольник АСD окружности.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Отрезки AK, BL, CN — высоты остроугольного треугольника АВС. Точки Р и Q — проекции точки N на стороны АС и ВС соответственно.
а) Докажите, что прямые PQ и KL параллельны.
б) Найдите площадь четырехугольника PQKL, если известно, что CN = 12, AC = 13, BC = 15.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.
а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC.
б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 216 и известно отношение AC : AB = 5 : 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 2AN. Точка B — середина стороны KN.
а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.
б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точки E и F расположены соответственно на стороне ВС и высоте ВР остроугольного треугольника АВС так, что AP = 3, BE : EC = 10 : 1, а треугольник AEF является равносторонним.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки Е на АС делит отрезок АС в отношении 1 : 16, считая от вершины С.
б) Найдите площадь треугольника AEF.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В выпуклом четырехугольнике KLMN точки P и Q — середины сторон NK и LM соответственно. Диагональ КМ делит точкой пересечения отрезок PQ пополам.
а) Докажите, что площадь четырехугольника KLMN в 4 раза больше площади треугольника PMN.
б) Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон четырехугольника KLMN, если площадь PMN равна KM = 12, NL = 8.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность.
а) Докажите, что угол BCA равен 60°.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 25 и IC = 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 12, BD = 13.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.
а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.
а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 6.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD, AB = BM, MC = CD. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AD.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD — трапеция.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что BM : CM = 1 : 3 и площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AM, DM, BP и CP, равна 18.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причем AM : CM = 2 : 3 и
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N
такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 7,
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка M, такая, что CM = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка N, что AD = AN.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 4,
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Из доказанного следует, что BP=PR=RM.
следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет 
высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна
высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому
Найдем площадь треугольника BOM. Имеем:
от площади треугольника ABC?
Найдите величину угла BAD. 
если 
Найдите BC, если AB = 12.
Найдите диагональ LN.
Угол между диагональю и основанием на 20 градусов больше угла между диагональю и боковой стороной. Найдите острый угол трапеции, если ее диагональ равна 2.
а высота равна 5. Найдите площадь трапеции.
и 
описана около круга.
если 
а площадь вписанного круга равна 
Прямая, перпендикулярная
и 
Длины оснований BC и AD относятся как 
Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону AB в точке M.
Окружность ω с центром в точке M касается прямой AC и пересекает прямую KL в точках P и Q, 
а 
сторона 
Продолжения боковых сторон пересекаются в точке K, образуя прямой угол AKD. Окружность ω проходит через точки А и В и касается стороны CD в точке P.
причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 10. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
и 
Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD = 20.
BE : EC = 10 : 1, а треугольник AEF является равносторонним.
KM = 12, NL = 8.
