На ребре bb1 прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 взята точка f так что
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T − середина ребра B1C1. Известно, что AD = 10, AA1 = 16.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Значит, треугольники D1A1E и TB1F подобны, причём прямые D1A1 и B1C1 параллельны, прямые A1E и B1F тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA1.
Следовательно, EF = D1T, и трапеция EFTD1 равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.
На ребре bb1 прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 взята точка f так что
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 6 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AD = 30, AA1 = 35.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Значит, треугольники D1A1E и TB1F подобны, причём прямые D1A1 и B1C1 параллельны, прямые A1E и B1F тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA1.
Следовательно, EF = D1T, и трапеция EFTD1 равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.
Тогда площадь трапеции равна
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
На ребре bb1 прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 взята точка f так что
На ребре BB1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка F так, что B1F : FB = 3 : 4. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AD = 12, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость FTD1 делит ребро AA1 в отношении 6 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью FTD1.
На ребре bb1 прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 взята точка f так что
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
а) В плоскости AA1D1 проведём через точку E прямую, параллельную TF. Пусть она пересекает ребро A1D1 или его продолжение в точке G. Плоскость EFT проходит через точку G. Треугольник EGA1 подобен равнобедренному треугольнику FTB1, в котором FB1 = B1T = 1. Отсюда EA1 = A1G = 2, значит, точка G совпадает с точкой D1.
б) В плоскости BB1C1 из точки B1 опустим перпендикуляр B1K на отрезок FT. В плоскости EFT через точку K проведём перпендикуляр к FT, который пересекает ED1 в точке L. Тогда ∠B1KL — угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1 или смежный с ним. Из равнобедренного треугольника FB1T
Из равнобедренной трапеции EFTD1 находим
Точка L — середина отрезка ED1, поэтому она удалена от сторон AA1 и AD1 параллелепипеда на 1. Значит, B1L является диагональю параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 4. Отсюда Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим
На ребре bb1 прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 взята точка f так что
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T − середина ребра B1C1. Известно, что AD = 10, AA1 = 16.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Значит, треугольники D1A1E и TB1F подобны, причём прямые D1A1 и B1C1 параллельны, прямые A1E и B1F тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA1.
Следовательно, EF = D1T, и трапеция EFTD1 равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
AD = 10, AA1 = 16.
AD = 30, AA1 = 35.
AD = 12, AA1 = 14.
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим
