На ребре вв1 прямоугольного параллелепипеда авсда1в1с1д1 взята точка f так что

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

На ребре вв1 прямоугольного параллелепипеда авсда1в1с1д1 взята точка f так что

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 5 : 3, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 5 : 11, а точка T − середина ребра B₁C₁. Известно, что AD = 10, AA₁ = 16.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Значит, треугольники D₁A₁E и TB₁F подобны, причём прямые D₁A₁ и B₁C₁ параллельны, прямые A₁E и B₁F тоже параллельны. Поэтому прямые ED₁ и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D₁, то получается, что в плоскости AA₁D₁D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.

б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA₁.

Следовательно, EF = D₁T, и трапеция EFTD₁ равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.

Тогда

Источник

На ребре вв1 прямоугольного параллелепипеда авсда1в1с1д1 взята точка f так что

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

а) В плоскости AA₁D₁ проведём через точку E прямую, параллельную TF. Пусть она пересекает ребро A₁D₁ или его продолжение в точке G. Плоскость EFT проходит через точку G. Треугольник EGA₁ подобен равнобедренному треугольнику FTB₁, в котором FB₁ = B₁T = 1. Отсюда EA₁ = A₁G = 2, значит, точка G совпадает с точкой D₁.

б) В плоскости BB₁C₁ из точки B₁ опустим перпендикуляр B₁K на отрезок FT. В плоскости EFT через точку K проведём перпендикуляр к FT, который пересекает ED₁ в точке L. Тогда ∠B₁KL — угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁ или смежный с ним. Из равнобедренного треугольника FB₁T

Из равнобедренной трапеции EFTD₁ находим

Точка L — середина отрезка ED₁, поэтому она удалена от сторон AA₁ и AD₁ параллелепипеда на 1. Значит, B₁L является диагональю параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 4. Отсюда Из теоремы косинусов для треугольника B₁KL находим

Ответ: б)

Источник

На ребре вв1 прямоугольного параллелепипеда авсда1в1с1д1 взята точка f так что

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 5 : 3, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 5 : 11, а точка T − середина ребра B₁C₁. Известно, что AD = 10, AA₁ = 16.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Значит, треугольники D₁A₁E и TB₁F подобны, причём прямые D₁A₁ и B₁C₁ параллельны, прямые A₁E и B₁F тоже параллельны. Поэтому прямые ED₁ и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D₁, то получается, что в плоскости AA₁D₁D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.

б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA₁.

Следовательно, EF = D₁T, и трапеция EFTD₁ равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.

Тогда