На рисунке изображен куб докажите что прямые аа1 и в1с1 скрещивающиеся

На рисунке изображен куб докажите что прямые аа1 и в1с1 скрещивающиеся

ЛЕКЦИЯ 7: СЕЧЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

Рассмотрим вопрос об исследовании и построении сечений многогранников плоскостью. Задачи на построение сечений многогранников, определение вида сечений или вычисление элементов этих сечений часто включаются в различные контрольные и проверочные работы, конкурсы и олимпиады по математике. Решение таких задач способствует развитию пространственных представлений, выработке практических навыков изображения пространственных фигур.

Выясним, какими могут быть сечения куба плоскостью.

Если плоскость пересекает три ребра куба, выходящих из одной вершины, то в сечении получается треугольник (рис. 1). При этом если отсекаемые плоскостью отрезки ребер равны, то в сечении получается равносторонний треугольник, если равны два отрезка из трех, то получается равнобедренный треугольник, наконец, если все три отрезка различны, то в сечении получается разносторонний треугольник.

Выясним, какие четырехугольники могут получаться в сечении куба плоскостью.

Ясно, что если плоскость параллельна одной из граней куба, то в сечении получается квадрат (рис. 2). Если плоскость параллельна одному из ребер куба, то в сечении получается прямоугольник (рис. 3). Если плоскость пересекает четыре параллельных ребра куба, то в сечении получается параллелограмм (рис. 4).

Самостоятельно выясните, может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) трапеция; б) равнобедренная трапеция; в) неравнобедренная трапеция; г) прямоугольная трапеция; д) тупоугольная трапеция?

Поскольку для любых четырех граней куба обязательно найдутся две из них, параллельные между собой, то в четырехугольнике, являющемся сечением куба плоскостью обязательно найдутся две параллельные стороны. Таким образом, в сечении куба плоскостью не может получиться четырехугольник, у которого нет параллельных сторон.

Таким образом, в сечении куба плоскостью может получиться только тот пятиугольник, у которого имеется две пары параллельных сторон. В частности, не может получиться правильный пятиугольник.

Таким образом, в сечении куба плоскостью может получиться только тот шестиугольник, у которого имеется три пары параллельных сторон.

Поскольку у куба имеется только шесть граней, то в сечении куба плоскостью не может получиться многоугольник с числом сторон, большим шести.

Рассмотрим теперь вопрос о построении сечений многогранников.

Для построения более сложных сечений используют метод «следов», заключающийся в нахождении точки пересечения прямой и плоскости по заданным двум точкам этой прямой и их проекциям на плоскость.

Решим несколько предварительных задач на построение.

Используя этот метод, решим задачи на построение сечений куба, пирамиды и призмы.

3. Через середину ребра куба, перпендикулярно скрещивающейся с этим ребром диагонали, проведено сечение. Определите его вид.

Ответ: Правильный шестиугольник.

4. Какой фигурой является сечение куба плоскостью, которая проходит через две противоположные вершины нижнего основания и середи­ну одного из ребер верхнего основания? Найдите его периметр, если дли­на ребра куба равна 1.

Ответ: Равнобедренная трапеция периметра

6. Может ли в сечении куба плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке 15?

7. Выясните, какие могут быть сечения правильного тетраэдра плоскостью.

Ответ: Правильный, равнобедренный и разносторонний треугольники; квадрат, прямоугольник и четырехугольник с непараллельными сторонами.

10. Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке 16?

11. Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью?

Ответ: Треугольник, четырехугольник, пятиугольник.

12. Определите вид сечения правильной треугольной призмы плос­костью, проходящей через сторону нижнего основания и середину скрещи­вающейся с ней стороны верхнего основания.

Ответ: Равнобедренная трапеция.

13. Верно ли утверждение о том, что в сечении правильной шестиу­гольной призмы плоскостью, проходящей через середины двух соседних бо­ковых ребер и вершину верхнего основания, принадлежащей смежной боко­вой грани, получается равнобедренная трапеция?

14. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три точки, расположенные так, как показано на рисунках 17, 18.

18. Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки, указанные на рисунке 20.

19. Меньший куб поставлен на больший таким образом, что они име­ют общую вершину и их грани попарно параллельны (рис. 21). Постройте сечение полученной фигуры плоскостью, проходящей через три точки, которые принадлежат скре­щивающимся ребрам меньшего куба.

Сечения цилиндра плоскостью можно рассматривать как параллельные проекции основания цилиндра на эту плоскость. Поэтому, если плоскость параллельна плоскости основания, то в сечении получается круг, равный основанию. Здесь мы докажем, что если плоскость сечения составляет некоторый угол с плоскостью основания цилиндра и не пересекает основания, то в сечении будет фигура, ограниченная эллипсом.

Отрезок прямой, проходящей через середину большой оси и перпендикулярной этой оси, соединяющий две точки эллипса, называется малой осью эллипса.

Для того чтобы нарисовать эллипс потребуется нить и кнопки. Прикрепим концы нити к фокусам. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бу­маге эллипс (рис. 23).

Теорема. Если плоскость сечения составляет некоторый угол с плоскостью основания цилиндра и не пересекает основания, то в сечении будет фигура, ограниченная эллипсом.

На рисунке 25 показано построение точек эллипса, получающегося как сечение боковой поверхности цилиндра плоскостью.

Рассмотрим еще одно свойство сечений цилиндра плоскостью, а имен­но, связь этих сечений с тригонометрическими функциями.

1. В каком случае сечением цилиндра плоскостью является круг?

Ответ: В случае, если плоскость сечения параллельна плоскости основания цилиндра.

2. Что будет сечением цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра?

3. Какую форму принимает поверхность воды в круглом наклоненном стакане?

4. Нарисуйте цилиндр и плоскость, пересекающую его боковую поверхность по эллипсу.

5. Может ли в сечении цилиндра плоскостью получиться: а) круг; б) прямоугольник; в) параллелограмм; г) трапеция д) треугольник?

Ответ: а), б) Да; в), г), д) нет.

6. Могут ли в сечениях цилиндра плоскостью получаться фигуры, отличные от круга, прямоугольника и эллипса?

Ответ: Да, если сечение пересекает боковую поверхность и основания цилиндра.

7. Используя карандаш, бумагу, нить и кнопки, нарисуйте эллипс.

9. Докажите, что сумма расстояний от любой точки эллипса до фоку­сов равна длине большой оси эллипса.

10. Докажите, что расстояния от концов малой оси эллипса до его фокусов равны половине большой оси.

11. Нарисуйте цилиндр и постройте несколько точек эллипса, получающегося в сечении его боковой поверхности плоскостью.

15. Докажите, что если исходный прямоугольник свернуть в прямой круговой цилиндр не единичного, а некоторого другого радиуса a и про­извести с этим цилиндром аналогичные операции, то получится кривая, задаваемая уравнением y = a · sin ( ).

Для данного конуса рассмотрим коническую поверхность, образованную прямыми, проходящими через вершину конуса и точки окружности основания конуса (рис. 31).

Сечения конической поверхности плоскостью можно рассматривать как центральную проекцию окружности основания конуса на эту плоскость. Поэтому, если плоскость параллельна плоскости основания и не проходит через вершину конуса, то в сечении конической поверхности получается окружность.

Исследуем другие возможные случаи сечения конической поверхности плос­костью, не проходящей через вершину конуса.

Теорема. Если плоскость образует с осью конуса угол, больший, чем угол между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается эллипс.

Доказательство. Докажем, что с умма расстояний от произвольной точки сечения до двух данных то­чек есть величина постоянная.

На рисунке 33 показано построение точек эллипса, получающегося как сечение конуса плоскостью.

Теорема. Если плоскость образует с осью конуса угол, равный углу между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается парабола.

На рисунке 35 показано построение точек параболы, получающейся как сечение конуса плоскостью.

Теорема. Если плоскость образует с осью конуса угол, меньший угла между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается гипербола.

Доказательство. Напомним, что гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек плоскости постоянен.

Впишем в коническую поверхность сферы, касающиеся плоскости сечения в некоторых точках F ₁ и F ₂ и конической поверхности по окружностям C ₁ и C ₂ соответственно.

На рисунке 37 показано построение точек гиперболы, получающейся как сечение конуса плоскостью.

Интерес к коническим сечениям особенно возрос после того, как Г. Галилей (1564-1642) установил, что тело, брошенное под углом к горизонту, двига­ется по параболе, а И. Кеплер сформулировал законы движения планет, согласно которым они описывают эллипсы. Позднее было установлено, что кометы и другие небесные тела движутся по эллипсам, параболам или ги­перболам в зависимости от их начальной скорости.

Так, если скорость космического корабля при выходе на орбиту Зем­ли составляет 7,9-11,1 км/с (первая космическая скорость), то он будет двигаться вокруг Земли по эллиптической орбите.

Если его скорость составляет 11,2-16,7 км/с (вторая космическая скорость), то он будет двигаться по параболической орбите и покинет зону земного притяжения. Однако он не сможет выйти за пределы Солнеч­ной системы.

Если же его скорость больше 16,7 км/с (третья космическая ско­рость), то он будет двигаться по гиперболической орбите и уйдет за пределы Солнечной системы.

1. В каком случае сечением конуса плоскостью является круг?

Ответ: В случае, если плоскость сечения параллельна плоскости основания конуса.

2. Что будет сечением конуса плоскостью, проходящей через ось конуса?

3. Может ли в сечении конуса плоскостью получиться: а) круг; б) треугольник, в) прямоугольник?

Ответ: а), б) Да; в) нет.

4. Могут ли в сечениях боковой поверхности конуса плоскостью получаться фигуры, отличные от окружности, эллипса, параболы, гиперболы?

Ответ: Да, если сечение проходит через вершину конуса.

5. Какой фигурой является сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

Ответ: Равнобедренный треугольник.

6. Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной конусообразной колбе?

Ответ: В зависимости от угла наклона будет эллипс, парабола или гипербола.

7. Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса. Какую форму имеет освещенный фонариком участок ровной поверхности в зависимости от угла наклона фонарика?

Ответ: Эллипс, парабола или гипербола.

8. Может ли центральная проекция сферы быть фигурой, ограниченной: а) окружностью; б) эллипсом; в) параболой; г) гиперболой?

9. Через центр основания конуса и середину образующей проведена плоскость. Что представляет собой сечение конуса этой плоскостью?

Ответ: Фигура, ограниченная параболой.

Ответ: Фигура, ограниченная а) гиперболой; б) параболой; в) эллипсом.

11. Образующая конуса в два раза больше радиуса основания. Под каким углом к оси нужно провести сечение конуса плоскостью, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?

12. Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной, равной единице. Через середину образующей проведено сечение конуса плоскостью, перпендикулярной этой образующей. Найдите площадь сечения.

Источник